高中生圓錐曲線學習障礙及對策淺析

鄧瑾

圓錐曲線是眾多知識的交匯點，引起了各類數學思想方法的碰撞，對于提升學生知識水平、拓展思維能力有著巨大的促進作用，為高等數學的學習做好了鋪墊。

學生在圓錐曲線的學習過程中主要面臨以下障礙：

（1）對于圓錐曲線這部分知識是有畏難情緒的，自信心不足，對圓錐曲線不感興趣，存在著情感上的障礙;（2）對基礎知識的理解不到位、掌握不牢固，缺乏系統性的邏輯思維和求解方法，在理解題意方面存在困難，無法將數和形結合在一起;（3）計算能力較差，在緊張焦躁情緒的影響下，學生會出現低級運算出錯、無法正確選擇計算方法等現象;（4）對于數學思想方法認識不深刻，理解不充分，無法靈活運用，不能合理運用數形結合思想、函數與方程思想、分類討論思想求解題目;（5）沒有認識到自己處于學習的主體地位，習慣于被動的接受知識，不能主動進行知識的建構和遷移。

針對學生存在的學習障礙，提出以下解決對策。

一、樹立學習信心，消除情感障礙

（一） 增加學習趣味性

圓錐曲線這一部分知識點本身比較單調，在教學中以現實例子和情境為基礎，以建構主義學習理論為指導，充分發揮教師的引導、幫助作用，促進學生積極、有效的進行知識和方法的建構。

在開始學習圓錐曲線時，可以先簡單介紹圓錐曲線發展史，讓學生體會自然與數學相結合產生的有序美、和諧美，引起學生學習圓錐曲線的興趣和求知欲。

在講解圓錐曲線概念時，與生活實際聯系起來。例如，油罐汽車上儲存油的油罐截面邊界是橢圓;人造噴泉噴出的水、鉛球足球運動的軌跡是拋物線;發電站的冷卻塔軸截面的邊界是雙曲線;天體運行的軌道可以是圓錐曲線中的任意一種。通過以上簡單的例子，讓學生感受到圓錐曲線在生活中應用是非常廣泛的。

在授課過程中，應該豐富自己的授課語言，注意語言表述的藝術性，避免單一的陳述知識點，在不失數學思維嚴謹的前提下，適當的加入幽默風趣的語言，形象、生動的講解知識，讓學生在輕松活潑的課堂氛圍中學習知識，增進學生對知識內容的認同感。

（二）提升學習自信心

在平時的教學中，教師多關注學生的“最近發展區”。作業、練習、測試等題目根據學生的實際水平進行設定，保證大多數同學認真思考就可以完成;再進一步細化，可以根據學生不同的學習水平，設置不同層次的作業，讓學生體驗到通過努力可以完成相關題目;根據知識重難點以及課堂講授的例題設置變式題目，逐步培養學生的遷移學習能力，使學生感受到成功的喜悅，建立學習自信心。

二、重視概念學習，克服知識障礙

（一）把握整體概念

北師大版數學選修2-1在第三章“圓錐曲線與方程”的引言部分，提供了平面截圓錐形成各圓錐曲線的示意圖。引導學生觀察圖形，發現用垂直于圓錐軸的平面截圓錐，得到圓;將平面稍稍傾斜，仍保持與圓錐側面相交，得到橢圓;當平面繼續傾斜，恰好和圓錐的一條母線平行時，得到拋物線;平面再傾斜一些，與圓錐的軸保持平行時便會得到雙曲線，也可以借助多媒體展示這個動態變化的過程。由此，讓學生明白圓錐曲線的幾種圖形是有統一性、有聯系的，這樣統一的介紹有助于學生對圓錐曲線形成整體的、全面的認識。

（二） 重視動手實踐

在給出橢圓、拋物線和雙曲線定義時，不能直接給出文字性的定義，否則學生獲得的只是一個模糊籠統的概念。讓學生動手實踐，體驗圓錐曲線圖形的形成過程，比如，將一根繩子的兩端分別固定在兩個定點上，用筆尖勾直繩子，移動筆尖，得到的動點的軌跡就是一個橢圓。在這個過程中，繩子的長度為定長，且必須大于兩個定點之間的距離，引入橢圓定義：到兩個定點F1，F2的距離之和等于常數（大于|F1F2|）的點的集合。還可以借助直尺、三角板和細繩畫拋物線，利用拉鏈畫雙曲線。通過實踐操作，學生對概念有了直觀的感知，體會到了概念中包含的各要素之間的聯系，主動建構知識，深化概念理解。

（三） 利用技術手段

在教學中，教師可以借助多媒體向學生展示圓錐曲線的豐富實例，比如上文提到的行星運動軌道、散熱塔的模型、噴泉水的軌跡等等，讓學生直觀感受圓錐曲線的應用;可以通過動畫演示各圓錐曲線圖形的畫法，讓學生體會概念中的變量與定量;可以通過幾何畫板向學生展示字母a、b、c變化時對離心率大小的影響、對于橢圓圓扁程度的影響、對于雙曲線開口闊扁程度的影響，讓學生充分認識到圓錐曲線變化的動態性，理解圓錐曲線的本質。

三、提高計算能力，跨越運算障礙

圓錐曲線解答題一般解題過程長、步驟多，教師在講課過程中要善于板演計算過程，注意書寫步驟的規范性和完整性，對重要步驟和思路進行詳細解釋，幫助學生形成完備的解題思維。學生在課堂上應該認真聽講，注意觀察老師寫的步驟，不能只關注解題突破口，避免出現“一聽就明白、一做就扣分”的情形。選擇恰當的運算方法會減小圓錐曲線題目的運算量，在平時的學習過程中，教師要做好引導、學生要做好積累，掌握常用的做題技巧。

四、滲透思想方法，健全知識體系

數學思想是數學的精髓和靈魂，它對于數學運算和數學建模有著重要的指導意義，它會影響學生的數學思維能力、解題能力和學習效率，是學生進行知識內化、形成數學觀點的重要工具。

華羅庚先生這樣闡述數形結合思想：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”，幾何圖形更加形象直觀、易于觀察，代數式子更加嚴謹、充滿邏輯，它是數學的規律性與靈活性的有機結合，圓錐曲線是數形結合的典范。在教學中，教師要引導學生養成“做題先畫圖”的習慣。

轉化化歸的實質簡單說來就是遇到復雜的問題時，能夠將題目的信息點與其他已經學過的知識建立聯系，轉化為其他條件進行表述，并且這種表述能夠幫助求解題目。圓錐曲線的綜合性題目中常常需要結合向量、解三角形、函數等知識點進行求解，教師要指導學生對此類題目進行歸納總結，感受、體會思想方法。

分類與整合思想在圓錐曲線中體現最多的就是分類討論，當遇到的題目有不止一種情形時，需要確定一個分類標準，按照標準對每一種可能的情況進行分析求解，最終再把結果綜合起來回答問題。要讓學生掌握分類討論的思想方法是沒有捷徑的，遇到題目時教師不斷地進行引導、分析，強調分類的標準，要求學生做好題目歸納和整理，通過題目的積累體會分類標準相當于增加了一個已知條件，可以優化解題思路、降低問題難度。