2020年高考“計數原理、概率與統計”專題命題分析

周遠方 李冉 徐新斌

摘 ?要：2020年高考數學對計數原理、概率與統計的考查，通過真實問題情境，落實五育并舉，體現時代特色，充分發揮了概率與統計內容的育人價值. 命題立足基礎，貼近教材，注重通性、通法，突出統計思維，考查關鍵能力，充分展示了數學在生活中的科學價值、應用價值和文化價值. 試題體現了基礎性、綜合性、應用性和創新性的考查要求，科學實現了本專題內容的甄別功能和積極導向作用，對今后復習備考有良好的指導價值.

關鍵詞：高考數學;概率與統計;計數原理;命題分析;復習建議

概率論是研究隨機現象規律性的數學學科，概率是隨機事件發生的可能性大小的度量;統計學是通過收集數據和分析數據來認識未知現象的一門科學，它可以為人們制定決策提供依據. 學會收集、整理和分析數據，從生活中的隨機性問題分析出內在的穩定性，提升學生的數學抽象、數據分析、數學建模及數學運算和邏輯推理等素養，是高中階段學生學習計數原理、概率與統計的基本要求. 歷年高考中考查計數原理、概率與統計多以基礎題、中檔題出現，考查的重點是古典概型、計數原理、二項式定理、樣本估計總體等主干知識.

2020年高考，山東省、海南省分別首次使用教育部考試中心命制的不分文、理科的新高考全國Ⅰ卷和新高考全國Ⅱ卷;北京市、上海市、天津市、浙江省、江蘇省仍為自主命題，且都不分文、理科，共5套數學試卷;其余各地區均使用教育部考試中心命制的全國Ⅰ卷、全國Ⅱ卷和全國Ⅲ卷的文、理科數學試題，共3套6份試卷. 因此，2020年的高考共有10套13份數學試卷，每份試卷都對計數原理、概率與統計進行了考查. 本文將對13份試卷中的計數原理、概率與統計的考查情況進行分析，總結試題特點和規律，以便對2021年復習備考提供參考.

一、考查內容分析

2020年高考命題以《中國高考評價體系》為指南，落實立德樹人根本任務，貫徹德智體美勞全面發展的教育方針，堅持知識為基、能力為重、素養導向和價值引領的命題原則，充分發揮了數學試題的區分選拔功能和正確導向作用. 2020年計數原理、概率與統計試題以科學的生產生活情境為背景，通過創新試題情境，著重考查了學生的數學閱讀理解和信息整理能力，以及數學抽象、數據分析、數學建模和數學運算等核心素養. 試題在保持總體穩定的前提下，大膽創新，既突出了數學的通用性和基礎性，又體現了數學的文化價值，彰顯了育人功能.

統計表明，2020年計數原理、概率與統計的考查特點，主要體現在以下幾個方面.

（1）注重考查基礎知識、基本技能和基本數學思想方法的基礎題. 例如，古典概型、樣本數據的計算、二項式定理特定項系數的計算等問題.

（2）注重考查計數原理、獨立事件概率的計算等稍具綜合性的中檔題.

（3）突出科學價值和育人功能的情境題. 例如，種子發芽率問題、工廠加工決策問題、空氣質量問題、信息熵問題等.

在2020年的13份高考數學試卷中，關于概率、統計與計數原理的試題，客觀題主要考查樣本數據的計算、選擇和數學建模，以及二項式定理等內容. 主觀題則通過實際應用考查數據處理和數學運算等為主. 突出應用性的同時，重在考查學生建立模型、分析和處理數據的能力，有效地檢測了學生對統計推斷、數學建模等數學思想與方法的掌握程度.

1. 考點布局合理，題型一應俱全

2020年全國各地高考試題總體來看，對概率、統計與計數原理的覆蓋面廣，既重點考查了古典概型、建立概率模型、二項式定理等必備知識，又通過處理樣本數據、用頻率估計概率、樣本估計總體和獨立性檢驗等知識載體，有效地考查了學生的基本數學思想方法、關鍵能力和學科素養. 從題型上看，選擇題、填空題、解答題三種題型，一應俱全.

2. 題量分值各異，文、理科差異減小

2020年的13份數學試卷中，涉及概率、統計與計數原理的試題，大多數試卷保持大小兼顧，只有上海卷和浙江卷中沒有出現解答題，具體分布情況如表1所示.

統計表明，三套全國卷的文、理科相關試題數量及分數值差異不大，其中全國Ⅰ卷文、理科及全國Ⅱ卷和全國Ⅲ卷的理科均為“兩小一大”，全國Ⅱ卷和全國Ⅲ卷文科均為“一小一大”，分值在17 ～ 22分之間. 其他試卷題量各不相同，客觀題數量從一道到三道，主觀題數量從零道到一道，各有差異，分值6 ～ 27分各不相同.

由于在《普通高中數學課程標準（實驗）》和考試大綱中，文、理科對于概率、統計與計數原理的要求有所差別，同時新高考相較原來課程內容有一定的更新，導致對應的文、理科試卷有較多的姊妹題出現，同時又存在一定的差異;各卷試題雖然題量分值差異較大，但試題的背景及知識點同根同源.

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）中對于概率、統計與計數原理的考查不再有文、理分科的區別，因此全國6份試卷中文、理科完全相同的題量增加，傳遞了新高考命題文、理科同題的信號.

3. 總體難度穩定，突出通性、通法

2020年高考數學試題根據學科特點，科學調控試卷難度，充分體現了“低起點、多層次、高落差”的科學調控策略. 13份數學試卷中的概率、統計與計數原理試題總體難度平穩、層次清晰，突出對基礎知識、基本思想和關鍵能力的考查;情境真實，背景豐富，突出運用概率與統計知識和方法考查理性思維、數學應用等學科素養的特點. 例如，全國Ⅰ卷文科試題將概率問題的考查從18題變為17題，其中第（1）小題考查的是利用頻率估計概率的問題，第（2）小題考查的是利用平均數來進行決策的問題，兩道小題的設計都遵循低起點和低難度，從數學概念、數學方法等方面入手，面向全體學生，體現注重考查基礎知識、回歸教材的特點. 這些做法充分體現了在考查必備知識的基礎上，突出對通性、通法的考查.

二、命題思路分析

2020年高考數學概率、統計與計數原理試題，面向全體學生，以豐富的背景為依托，重點考查學生的數據分析、數學建模、數學抽象、邏輯推理和數學運算素養. 命題重視計數原理、概率與統計的重點內容和主干知識，加大對核心概念和思想方法的考查力度;命題在遵循基礎性、綜合性、應用性和創新性的考查要求的同時，加大對試題情境的創新力度，多數試題背景源于社會生產實際，令人耳目一新，體現了數學與生活的密切關聯;命題通過具有濃厚時代氣息的現實問題，加大對數學閱讀與理解能力、信息提取與整合能力、語言表達與運用能力的考查力度，全面檢測學生的概率、統計與計數原理的必備知識、關鍵能力和學科素養.

1. 注重基礎考查，突出主干內容

2020年的13份高考數學試卷中都有關于概率、統計與計數原理的基本內容的考查，主要涉及建立模型、樣本數據的計算、數據分析、古典概型、計數原理等，都以容易題和中檔題出現. 這種做法既體現了高考聚焦數學概念、強調基礎性的命題指導思想，又有利于學生形成用數學的方式思考問題的習慣.

【評析】此題主要考查利用散點圖選擇回歸方程模型的問題，是統計的主干知識. 學生需要分析散點圖后結合函數圖象的知識選擇合適的回歸模型. 該題圍繞主干內容，文、理同題共用，考查基本的數學概念、思想和方法，既考查了學生對基礎知識的掌握情況，又體現了高考試題文、理趨同的變化.

【評析】此題主要考查平均數和中位數的概念與計算，要求學生根據已知條件，列出關于a，b的方程，從而求解. 此題在考查學生基礎知識的掌握情況的同時，又需要學生具備基本的數據分析和數學運算素養，充分體現了《標準》對通性、通法的考查要求.

【評析】此題主要考查標準差的大小比較，考查方差公式的應用，考查學生的運算求解能力，能讓大多數學生得分，屬于基礎題. 解決此題既可以利用標準差的計算方法直接計算比較大小，又可以通過分析數據的離散程度判斷標準差最大的一組. 通過基礎知識考查了不同學生處理數據水平的差異，較好地發揮了高考的區分功能.

2. 注重貼近教材，引導教學回歸

教材是實現數學課程目標、發展學生數學學科核心素養的重要學習資源. 高考試題千變萬化，對教材習題的改編卻始終是高考試題的重要組成部分. 在立足于《標準》的基礎上，對教材題型的改編體現了新高考命題回歸教材、貼近教學改革的命題思路，從而使高考命題有了良好的教學導向，也可以較好地達到考查學生對學習目標的掌握情況的目的.

【評析】此題由人教A版《普通高中課程標準實驗教科書·數學（選修2—3）》第一章復習參考題A組第8題第（4）小題改編而成，主要考查了二項式定理及其展開式的通項公式. 學生只需對通項中的指數賦值就能作答，考查學生運用轉化與化歸思想分析和解決問題的能力. 這種設計源于教材、素材取自于教材的試題還有很多，這些試題充分詮釋了教材的重要性，重在引導中學教學遵循教育規律、回歸課堂，用好教材，避免超綱學、超量學，引導學生回歸數學學習的本真.

3. 注重統計思維，考查關鍵能力

統計思維是基于問題、收集數據、分析數據、解讀數據的過程，是在獲取數據、從數據中提取信息、論證結論可靠性等過程中表現出來的一種思維模式. 只有具備統計思維才能掌握數據分析的關鍵，才能養成閱讀、理解、辯證思考統計信息及做出決策的統計素養. 在概率、統計與計數原理內容的考查中，注重以現實問題為背景、以統計數據為載體，將關鍵能力與統計思維有機結合，突出統計推斷、數學建模和數學化等思想方法，考查學生對概率與統計思想方法的理解、掌握和運用程度.

【評析】此題以沙漠治理為背景設計，選取生態問題切入，提取并分析數據，利用樣本估計總體，計算野生動物數量的估計值，然后根據數據選擇合適的抽樣方法，主要考查學生的數據處理能力和創新應用能力，以及分析問題和解決問題的能力. 沙漠治理問題是一項長期而艱巨的任務，治理效果可以通過植被狀況和生物多樣性來反映，這種真實的問題情境既具有現實意義，又是學生運用所學知識能夠解決的問題，試題研究結論既反映了我國在環境治理方面的成就，又體現了立德樹人的教育宗旨.

【評析】此題以判斷到公園進行體育鍛煉的人次與當天的空氣質量狀況是否有關為背景，給出某市100天中每天的空氣質量等級和當天到某公園鍛煉的人次的數據表，重點考查學生運用概率與統計思想解決統計模型的能力. 試題通過計算對應空氣質量等級出現的頻率，用頻率估計概率、用頻數分布表來估計總體的平均數，是一道考查統計推斷方法的好題. 同時需要學生利用建模的思想，根據頻數分布表建立2 × 2列聯表模型，判斷鍛煉人次與空氣質量的相關程度. 試題設問梯次遞進、銜接自然，展示了數據整理、顯示、分析、建模和應用，以及統計推斷的全過程，引導學生關注生活中的數學問題，學會用統計思維解決實際問題.

4. 注重情境創新，考查數學應用

創新是一個民族進步的靈魂，是一個國家興旺發達的不竭源泉，是引領發展的第一動力. 創新試題情境設計新穎靈活、不落俗套，脫離一般的解題套路，采取多樣化的形式、多角度的設問、不唯一的答案，真實地考查數學應用. 2020年概率、統計與計數原理試題體現了創新導向，通過創新試題的素材背景、呈現形式和設問方式，將統計思維作為重點目標，將應用性作為重點要求，突出考查學生的統計思維、創新能力和數學應用. 大多數試題以概率、統計與計數原理的基礎知識為載體，借助開放性、探索性和創新性問題，讓學生從不同的角度認識問題，鼓勵學生主動思考、發散思維，激發學生的想象力和思想的張力，把學生從標準答案中解放出來，而不是注重刷題和訓練的技巧.

【評析】此題以信息論之父香農（C.E.Shannon）提出的“信息熵”的概念為背景，給出了信息熵的數學定義和計算信息熵的數學表達式，要求學生結合對數運算、對數函數的性質和不等式的基本性質，判斷信息熵的相關數學性質. 學生需要提取條件信息，在理解信息熵的數學定義的基礎上，分析信息熵具有的非負性、對稱性、確定性和單調性等性質，對學生借助已有知識獲取新知識的能力、對新概念的理解能力和對新問題的探究能力都有較高要求. 信息熵在數學上量化了通訊過程中信息漏失的統計本質，具有劃時代的意義. 因此，試題對激發學生學習數學的興趣、體會數學的應用價值、提高探究能力都有著積極的引導作用.

【評析】此題將概率知識與數列問題有機結合，具有一定的創新性，主要考查古典概型、概率中遞推關系、構造法求數列通項、數學期望公式等知識和方法，考查學生的綜合分析求解能力. 需要學生通過探索第n - 1次操作后的結果與第n次操作后的結果的遞推關系構造新數列，體現了實踐能力和創新意識在解決問題中的重要性. 此題的知識與方法跨度較大，平時不多見，對學生的綜合能力要求較高，對學生的數學建模、邏輯推理、數學運算等核心素養水平有較好的檢測和區分功能，是難得的好題.

5. 緊跟時代步伐，展現育人價值

知識來源于生活，也服務于生活，數學學習離不開生活. 概率、統計與計數原理是數學與其他領域交叉最多的主題內容，2020年高考數學試題中不乏見到與生活息息相關的實際問題，這些實際問題的背景豐富多彩，體現了數學在科技生活中的應用價值，有助于學生養成用數學眼光發現問題、用數學方法提出問題、用數學思維解決問題的習慣.

例10 （全國Ⅱ卷·理3 / 文4）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網上銷售業務，每天能完成1 200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓. 為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作. 已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過1 600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概括不小于0.95，則至少需要志愿者（ ? ?）.

（A）10名 （B）18名 （C）24名 （D）32名

【評析】此題以疫情防空期間志愿者參加配貨工作為背景設計，立足于考查概率與統計的基礎知識、基本方法和基本能力，要求學生能讀懂試題內容，理解信息、提取信息，并能建立概率模型分析問題和解決問題. 試題緊扣疫情期間大規模網購配貨的真實情景，學生十分熟悉，體現了生活中處處有數學，展現了數學的科學價值、應用價值和育人價值. 試題的情境具有濃厚的時代氣息，弘揚了志愿精神，具有積極的教育意義.

例11 （全國Ⅰ卷·文17）某廠接受了一項加工業務，加工出來的產品（單位：件）按標準分為A，B，C，D四個等級. 加工業務約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費90元，50元，20元;對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費50元. 該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業務. 甲分廠加工成本費為25元 / 件，乙分廠加工成本費為20元 / 件. 廠家為決定由哪個分廠承接加工業務，在兩個分廠各試加工了100件這種產品，并統計了這些產品的等級，整理如下.

（1）分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產品為A級品的概率;

（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產品的平均利潤，以平均利潤為依據，廠家應選哪個分廠承接加工業務？

【評析】此題以廠家生產工作為背景，需要學生建立模型，利用平均數分析兩個分廠的生產利潤，契合社會熱門的利用大數據服務生產生活的話題，體現數學在現實生活和勞動教育中起著至關重要的作用. 試題以產品標準、產品質量和平均利潤為依據，將勞動教育與數學課程有機結合，有利于促進學生樹立正確的勞動觀念、勞動態度和勞動精神.

6. 貫徹評價體系，落實五育并舉

《中國高考評價體系》（以下簡稱《體系》）是高考命題的理論基礎和實踐指南，貫徹高考評價體系要體現立德樹人、服務選才、引導教學的核心功能，要結合學科特點，全面落實“五育并舉”的要求. 2020年高考數學計數原理、概率與統計試題，貫徹落實高考評價體系學科化的具體要求，將我國社會主義建設成果、社會生產勞動實踐、體育運動項目等問題情境與數學基本概念有機結合，在體現運用計數原理、概率與統計的知識、思想和方法，考查邏輯推理、數學建模、數據分析等學科素養的同時，全方位考查學生的數學閱讀理解能力.

例12 （全國Ⅰ卷·理19）甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空;每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰;當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束.

經抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空. 設每場比賽雙方獲勝的概率都為[12.]

（1）求甲連勝四場的概率;

（2）求需要進行第五場比賽的概率;

（3）求丙最終獲勝的概率.

【評析】此題以羽毛球比賽為背景，將概率問題融入羽毛球比賽的約定賽制之中，意在考查學生對概率基礎知識的掌握程度，對事件進行分析、分解和轉化的能力，以及邏輯思維能力. 需要學生根據賽制建立模型，列出符合題目條件的基本事件，再進行解答. 羽毛球一直是中國的體育運動強項，以此為背景，有利于增強學生的民族自豪感與自信心. 類似的還有全國新高考Ⅰ卷（Ⅱ卷）第5題，以學生喜愛的足球和游泳運動為背景設計了簡單的計算問題，考查學生對統計數據的理解和應用能力，有利于體現數學在體育運動中的應用，激發學生參加體育運動的興趣.

【評析】這3道試題分別以精準扶貧工作、垃圾分類宣傳和做場館志愿者為背景設計計數問題，考查學生對計數原理的理解程度，充分體現應用題貼近時代、貼近社會、貼近生活的特點. 試題的情境時代特色鮮明，設計源于教材、注重基礎，充分體現了立德樹人的教育理念.

三、復習備考建議

1. 立足于數學內容本身，構建知識結構體系

《標準》要求，高考數學試題要圍繞數學本身，強調基礎性. 2020年高考概率、統計與計數原理命題，進一步強化對“四基”的考查，進一步體現基礎知識在考試中占有重要地位.

在復習中，要重視對基本概念、定理、方法的理解和運用，突出通性、通法，既不能只將目光集中在具體的問題上，也不要人為地拔高要求，而應該注意把握核心概念的內涵和外延，強化對知識的梳理，在系統地掌握基礎知識和基本技能的基礎上，加強基本思想方法的滲透，形成計數原理、概率與統計的網絡化知識結構體系，提高解題能力.

2. 立足于精準落實基礎，發揮教材引領功能

數學教材為教學提供學習主題、基本線索和具體內容，是實現數學課程目標、發展學生數學學科核心素養的重要資源. 同時，教材也是高考數學命題的重要素材. 特別是針對本專題的新增內容，教師要在深入研究教材內容變化的基礎上，充分發揮教材的引領功能，可以在教材的基礎上進行引申、推廣、變通和拓展. 回歸教材是高效備考的重要途徑，要高屋建瓴地審視高中概率與統計的內容，做到吃透教材、用活教材，真正發揮教材的根基作用.

復習時要從新舊教材增減內容出發，抓牢“三階段”，抓準復習節奏，做到落實教材、控制長度;整合教材、縮短寬度;拓展教材、優化深度. 貫通“四環節”，精準落實基礎，做到重品章引言、章小結，建構知識結構;重溫公式定理推導，提升認知高度;重整教材重點習題，夯實通性、通法;重現教材典型例題，規范解題格式. 最終實現深度復習的“三變”：一變脫離教材為追本溯源;二變題型套路為溫故知新;三變過度訓練為有效綜合.

3. 立足于知識交會綜合，發展數學建模能力

2020年概率與統計試題，進一步嘗試“重心后移”的命題策略，通過增加思維量，把考查的重點后移到對數據的分析、理解和找規律上. 進一步增加數據闡釋的選擇性、開放性和多樣性，學生只要給出合理的解釋都可以得分，鼓勵學生創造性地解答問題. 同時以現實生活中的實際情境為背景命題，增加閱讀量，并與其他專題相結合，形成綜合性的能力考查，注重在不同知識的交會處命題而形成的綜合性問題.

復習時應著眼于訓練學生的數學閱讀理解能力，加強學生用數學的方法理解問題、分析數據的訓練，提升從材料中抽象出合適的數學模型的能力. 同時要著重梳理概率、統計與計數原理與其他專題知識的聯系，形成知識結構體系.

4. 立足于數學思想方法，提升數據分析素養

本專題內容對于概率與統計的思想、或然與必然的思想和特殊與一般的思想等有較高的要求. 從近幾年高考命題可以看出，高考命題正在朝著淡化特殊解題技巧、注重對數學思想方法的理解與運用的方向發展. 近幾年概率、統計與計數原理的高考命題趨勢，需要學生選擇合適的收集數據、統計數據、分析數據的方法，建立合適的數學模型，進行推斷、得出結論.

復習時應關注學生對這些數學思想方法的滲透，讓學生掌握用概率與統計思想分析問題的習慣，掌握概率與統計問題的一般解決方法，真正養成從數學角度認識世界，用數學思維思考問題，用數學方法解決問題的習慣. 計數原理、概率與統計的復習不能搞題型套路的教學，否則，學生一旦面對新的問題情境，就會顯得手足無措和力不從心. 只有站在概率與統計的思想高度來引領復習，才能讓學生真正實現舉一反三，提高解決實際問題的能力.

5. 立足于研究高考試題，把握數學命題趨勢

《體系》引領下的新高考數學命題正在由能力立意向素養導向變革，2020年的高考試卷除舊高考全國卷外均已不再分文、理科，新高考數學在題型和試卷結構上適度創新，引入了多選題和結構不良題，體現了文、理不分科后數學考試的特點. 新高考會進一步體現考主干、考能力、考素養，重思維、重應用、重創新的做法，會進一步展現重視考查學生“四基”“四能”的特點，會進一步實現讓學困生有獲得感、讓中等生有提升感、讓優等生有成就感的意圖.

計數原理、概率與統計的內容在《標準》中調整最大，地位更加凸顯，特別是它在形成學生的統計推斷思維、數學建模能力和數據分析素養的過程中有著不可替代的作用. 在2020年的絕大多數高考試卷中，關于本專題的考查達到15分以上，個別試卷關于本專題的考查達到了27分，這充分說明本專題內容在高考中的重要地位. 在不分文、理科的新高考命題中，本專題會進一步加強題量分值的考查力度，加強試題情境的創新力度，加強試題難度的調控力度，真正實現高考的選拔評價功能，助力素質教育發展.

復習時應根據本專題內容的考查特點和命題趨勢，采取針對性更強的綠色備考策略，實施貼近教材的深度復習方案，擺脫教輔資料和題海戰術的束縛，讓教材在復習中發揮更好的作用，揭示數學教學的本來面目，促進高中數學教學真正從“育分”回歸到“育人”.

四、模擬試題欣賞

1. 已知隨機變量[ξ]的分布列如表7所示.

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