2020年高考“圓錐曲線與方程”專題解題分析

秦文波 張曉斌

摘 ?要：在2020年高考數(shù)學(xué)試卷中，對圓錐曲線與方程專題的考查以主干知識為主，在立足“四基”的基礎(chǔ)上重視對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)思想方法的考查. 通過對2020年13份高考數(shù)學(xué)試卷中的圓錐曲線試題進行知識分析和解法分析，為圓錐曲線與方程專題的復(fù)習(xí)提供一些建議.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線;標(biāo)準(zhǔn)方程;幾何性質(zhì);基本問題;核心素養(yǎng)

在2020年的高考數(shù)學(xué)試卷中，本專題相關(guān)試題難度適中，考查內(nèi)容全面，橢圓、雙曲線和拋物線全覆蓋，定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)（如對稱性、漸近線、離心率等）、直線與圓錐曲線的綜合等考點均有涉及. 在重點考查平面解析幾何基本方法和基本思想的同時，重視考查學(xué)生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

一、核心考點與典型試題分析

1. 圓錐曲線的定義

用圓錐曲線的定義將幾何條件“點在圓錐曲線上”代數(shù)化是非常重要的思想，解題時需要一以貫之.

【評析】該題主要考查拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，屬于基礎(chǔ)題，解決問題的關(guān)鍵是用拋物線的定義得到焦半徑公式.

2. 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

求解圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是研究圓錐曲線性質(zhì)的第一步，常出現(xiàn)在解答題第（1）小題，使用的方法是直接法、定義法、相關(guān)點法和待定系數(shù)法，在每年高考中均有涉及. 圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程之間的區(qū)別與聯(lián)系同樣不容小覷.

【評析】該題主要考查圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，屬于中檔題，熟悉圓、橢圓和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程之間的區(qū)別是求解的關(guān)鍵.

3. 圓錐曲線的簡單幾何性質(zhì)

（1）對稱性.

橢圓、雙曲線和拋物線都是軸對稱圖形，在解題時，如果學(xué)生能從問題的幾何特征出發(fā)，分析試題中描述的圖形是否具有對稱性，則對于簡化計算是非常有幫助的.

【評析】該題主要考查雙曲線焦距的求法，涉及三角形面積和直線與雙曲線交點的求法，解題的關(guān)鍵是掌握雙曲線的漸近線方程和用均值不等式求最值的方法. 屬于中檔題.

4. 直線與圓錐曲線綜合問題

（1）距離.

距離是平面解析幾何中的基本問題之一. 以圓錐曲線為載體考查距離的形式有很多，如長度問題、面積問題、比例問題和對稱性問題等，掌握兩點間距離公式是求解此類問題的基礎(chǔ).

【評析】該題以拋物線為載體，考查平面幾何中的基本問題——距離. 該題中所求距離為拋物線的焦點弦長，需要利用拋物線的定義、直線與拋物線方程聯(lián)立，以及過焦點的弦長公式等. 屬于基礎(chǔ)題.

（2）位置關(guān)系.

位置關(guān)系是平面解析幾何中的另一基本問題. 在圓錐曲線試題中將位置關(guān)系作為幾何條件或者目標(biāo)問題的情況非常普遍，學(xué)生需要熟練掌握它們的代數(shù)化方式. 常見的有平行、垂直和夾角.

【評析】該題主要考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，解決問題的關(guān)鍵是將幾何條件“垂直和平行”代數(shù)化，屬于基礎(chǔ)題.

（3）范圍和最值問題.

在圓錐曲線中，求范圍和最值的首要步驟是幾何分析，基本思想是函數(shù)思想，基本工具是均值不等式和導(dǎo)數(shù).

【評析】該題的第（2）小題主要考查最值的求法，解決問題的關(guān)鍵是清楚運動變化產(chǎn)生的原因. 由于運動變化是由點[P]的運動引起的，因此可以用“設(shè)點法”，通過設(shè)主動點[P]的坐標(biāo)來表達被動點[Q]的坐標(biāo)，最后借助二次函數(shù)的最值求解.

（4）定點、定值問題.

解析幾何的引入有利于更好地研究運動，運動中的不變性（定點、定值和最值）一直是考查的重點. 對于是否為定值和是否為定點，主要通過幾何分析和代數(shù)運算來判斷.

【評析】該題的第（2）小題主要考查借助橢圓方程研究橢圓的性質(zhì)——直線過定點，解決問題的關(guān)鍵是清楚直線[CD]變化的原因. 由于直線[CD]的變化是由點[P]引起的，故采用“設(shè)點法”，設(shè)出點[P]的坐標(biāo)，并將其作為主動點，用點[P]的坐標(biāo)表示出直線[CD]的方程，最后將方程整理為“點斜式”，然后順利獲解.

二、典型解法分析

1. 直譯法

直譯法就是在解決圓錐曲線問題的過程中，將幾何條件代數(shù)化，建立關(guān)系式，利用數(shù)學(xué)運算求解獲得結(jié)果. 直譯法強調(diào)的是對條件的逐個使用、翻譯，以及運算程序的實施.

【評析】該題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率，拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程. 解決問題的關(guān)鍵是將試題中的幾何條件代數(shù)化，利用方程思想求解未知數(shù). 該題屬于中檔題，采用直譯法即可順利獲解.

2. 設(shè)而不求法

（1）設(shè)點法.

當(dāng)幾何問題是由點的運動變化引起，同時用主動點能順利地將幾何條件代數(shù)化并且代數(shù)運算切實可行時，學(xué)生可以用點來刻畫幾何問題，選用“設(shè)點法”來求解問題.

【評析】該題的第（2）小題主要考查最值問題. 由于[△AMN]面積的變化是由點[N]的運動引起的，故可采用“設(shè)點法”求解. 解決問題的關(guān)鍵是借助橢圓的參數(shù)方程設(shè)出點[N]的坐標(biāo). 屬于中檔題.

（2）設(shè)線法.

在很多情況下，不能用點來刻畫幾何問題，或者理論上能用點來刻畫，但代數(shù)運算相當(dāng)煩瑣，導(dǎo)致學(xué)生在短時間內(nèi)無法求解試題，這時學(xué)生應(yīng)該在此基礎(chǔ)上，用直線來刻畫幾何問題，即用直線方程中的兩個參數(shù)（斜率和截距）來刻畫幾何問題，選用設(shè)線法，用這兩個參數(shù)使幾何條件代數(shù)化，借助設(shè)而不求的思想實現(xiàn)代數(shù)運算，巧妙解題.

在用直線來刻畫幾何問題的試題中，由于直線的參數(shù)有兩個，因此一般可以分為三類試題：用直線的斜率刻畫幾何問題（包括斜率和斜率的倒數(shù)）;用直線的截距刻畫幾何問題（包括橫截距和縱截距）;用直線的截距和斜率共同刻畫幾何問題.

【評析】該題的第（2）小題主要考查橢圓的性質(zhì). 通過數(shù)形結(jié)合發(fā)現(xiàn)原問題等價于求點[P]和點[Q]縱坐標(biāo)之比，由于整個運動變化是由直線[MN]繞著點[B]運動引起的，故可采用“設(shè)線法”來求解. 用斜率[k]來刻畫直線的旋轉(zhuǎn)，通過引入斜率[k]設(shè)出直線方程，再根據(jù)試題條件，將點[P]和點[Q]的縱坐標(biāo)用斜率[k]表示出來，最后順利獲解.

3. 設(shè)而要求法

【評析】該題通過設(shè)出點[M]的坐標(biāo)和點[M]到直線[AB]的距離，將試題中的幾何條件代數(shù)化，借助函數(shù)與方程的思想求得點[M]的坐標(biāo)，這是典型的設(shè)而要求的方法.

4. 幾何分析法

從問題本身考慮，平面解析幾何是幾何學(xué)的一個分支，簡單明了的幾何分析是必要的;從方法論來考慮，平面解析幾何是用代數(shù)的方法研究幾何問題;就高中數(shù)學(xué)而言，應(yīng)該側(cè)重代數(shù)化. 高考對圓錐曲線的考查是在兩者之間尋求一種平衡，在側(cè)重考查代數(shù)運算的同時，也重視對幾何分析的考查. 而且，在某些情況下，利用幾何分析法求解圓錐曲線試題會簡化運算，提高答題速度，需引起高度重視.

下面以例11第（2）小題的解答為例.

【評析】該解法借助圖形特征，將原問題轉(zhuǎn)化為求橢圓的切線，使得運算簡化，體現(xiàn)了利用幾何性質(zhì)分析的重要性.

三、備考建議

1. 幾何分析，關(guān)注本質(zhì)，優(yōu)化解題策略

平面解析幾何是用代數(shù)的方法研究幾何問題，解析是方法，幾何才是本真. 解析的核心思想是幾何問題代數(shù)化. 對于圓錐曲線問題，如果學(xué)生只會將幾何問題代數(shù)化，通過展開代數(shù)運算來求解問題，這樣難免會增加運算量、加大解題難度. 如果在用代數(shù)方法、代數(shù)知識解題的同時，能充分抓住問題的幾何特征，往往能簡化運算，起到事半功倍的效果. 因此，在解題時，要把數(shù)形結(jié)合、幾何分析放在首位.

2. 回歸教材，注重基礎(chǔ)，立足系統(tǒng)構(gòu)建

良好的知識結(jié)構(gòu)是解決問題的關(guān)鍵，對于本專題的復(fù)習(xí)，學(xué)生要構(gòu)建圓錐曲線與方程的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗. 這就需要回歸教材，將教材的知識體系作為復(fù)習(xí)的主要依據(jù)，對圓錐曲線基礎(chǔ)知識進行全面梳理，并對基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗進行總結(jié)、歸納.

3. 加強練習(xí)，建立模型，重視素養(yǎng)發(fā)展

在構(gòu)建圓錐曲線的知識結(jié)構(gòu)體系后，學(xué)生需要加強練習(xí)（最好是教材原題和高考真題），并對練習(xí)題進行歸納、總結(jié)和分析，建立若干問題模型. 例如，“用定義求解問題的模型”“用對稱性求解問題的模型”“離心率模型”“定點模型”和“范圍、最值模型”等. 建立起諸多模型之后，學(xué)生就能化有形為無形，提高分析問題和解決問題的能力，最終實現(xiàn)快速、精準(zhǔn)解題.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]吳彤，徐明悅. 2019年高考“圓錐曲線與方程”專題命題分析[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2019（9）：24-27.

[3]喻崢惠，吳彤. 2019年高考“圓錐曲線與方程”專題解題分析[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2019（9）：28-36.