函數(shù)單調(diào)性在解題中的應(yīng)用

王壯

【摘要】函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)十分重要的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性是解決函數(shù)問題中十分有力的工具.本文介紹了函數(shù)單調(diào)性在解題中的若干應(yīng)用，其中包括應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性證明不等式、解不等式、比較大小、求最值、解方程、解決實(shí)際問題，和求參變量的取值范圍等方面的問題.

【關(guān)鍵詞】單調(diào)性;不等式;最值;方程

前言

在函數(shù)的眾多性質(zhì)中，函數(shù)單調(diào)性是最為關(guān)鍵的，不論是高考的趨勢(shì)，還是新課標(biāo)內(nèi)容所提倡的數(shù)學(xué)理念.都對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性提出比較高的層次要求，但是因?yàn)樵诤瘮?shù)函數(shù)單調(diào)性學(xué)習(xí)過程中函數(shù)單調(diào)性證明和應(yīng)用是比較復(fù)雜的.這就使得學(xué)生在解題和學(xué)習(xí)過程中遇到了很多困難，所以這就要求學(xué)生要熟練掌握以及運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的定義能夠利用單調(diào)性解決各種問題，從而才能更好的應(yīng)用單調(diào)性解決問題，而在其應(yīng)用中又體現(xiàn)很多的數(shù)學(xué)思想，本文就函數(shù)單調(diào)性解決問題這一點(diǎn)進(jìn)行了整理歸類，將平時(shí)遇到的問題整理出來.

一、利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式

想要利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式，首先得構(gòu)造出函數(shù).那么就得對(duì)不等式進(jìn)行變換. 通過移項(xiàng)不等式的一邊變?yōu)?，那么另一邊就是所構(gòu)造出來的函數(shù).設(shè)為函數(shù)則原式就變成了或等關(guān)系.即證明滿足這種關(guān)系，就能證明原不等式成立.此時(shí)就用到了函數(shù)的單調(diào)性.對(duì)函數(shù)當(dāng)中包含的符號(hào)進(jìn)行具體分析，找出其中的特點(diǎn)，并且利用這些特點(diǎn)來制定具體的解決方法.這樣才能確定函數(shù)的增減性，利用函數(shù)單調(diào)性，可以推出所需要的不等式關(guān)系，從而原不等式就得到了證明.

二、利用函數(shù)單調(diào)性解不等式

想要利用函數(shù)單調(diào)性解不等式.這類問題有時(shí)候不能直接利用原不等式來證明，這時(shí)就要對(duì)原式進(jìn)行等價(jià)變換，構(gòu)造出新的不等式關(guān)系，使問題變得簡(jiǎn)單.首先要利用函數(shù)本身的性質(zhì)，對(duì)原不等式等價(jià)變換構(gòu)造出新的不等式關(guān)系，然后接下來對(duì)新的不等式進(jìn)行運(yùn)算得出結(jié)果，有時(shí)這個(gè)結(jié)果就是要解的不等式的結(jié)果，但有的時(shí)候，還需要根據(jù)實(shí)際問題具體分析才能解除不等式.

解決這類問題，核心就是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行等價(jià)變形之后再求解，那么如何進(jìn)行等價(jià)變形呢？這就是需要注意的地方了.首先觀察題中所給的各種已知條件，有的已知條件時(shí)直接給出來的而有的條件需要推導(dǎo)出來，所以這就要求學(xué)生熟練掌握式子的變形，并且能夠靈活運(yùn)用題中給的條件才能更好地解不等式.

三、利用函數(shù)單調(diào)性比較大小

想要利用函數(shù)單調(diào)性比較大小.這就需要學(xué)生對(duì)函數(shù)等等性有很深的理解，解決這種問題的基礎(chǔ)是要能夠正確的選擇考察函數(shù)，可根據(jù)定量，也就是常量和變量.作為比較的依據(jù)想比較兩個(gè)函數(shù)的大小.就得分清楚函數(shù)中兩個(gè)量的位置，通常進(jìn)行比較的是變量的大小從而比較函數(shù)的大小，這時(shí)就會(huì)利用到有特殊問題歸納出一般問題這一數(shù)學(xué)思想.所以這類問題的解決方法可以總結(jié)為想要解決一個(gè)特殊的問題，就要把它轉(zhuǎn)化成一般的問題.這樣特殊問題的解就比較明確了.

四、利用函數(shù)單調(diào)性求最值

所以解決這類問題，重要的是掌握函數(shù)單調(diào)性的定義.只有掌握了定義，才能夠更好的運(yùn)用定義來解決問題.但是單單掌握了定義是不夠的，像本題中是很好的運(yùn)用了定義，但是如果沒有選擇正確合適的賦值是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能夠達(dá)到解題的要求的，所以說賦值法對(duì)于解決問題起到了至關(guān)重要的作用，能夠正確的賦值才是解決問題的關(guān)鍵.

五、利用函數(shù)單調(diào)性解方程

利用函數(shù)單調(diào)性解方程，關(guān)鍵的是對(duì)原方程進(jìn)行合理變形，其中包含著各種數(shù)學(xué)思想有構(gòu)造函數(shù)思想，換元思想，通過方程兩邊式子的結(jié)構(gòu)和特征來進(jìn)行觀察，然后構(gòu)造出合適的方程使解題變得簡(jiǎn)單容易.這時(shí)構(gòu)造法起到了很重要的作用，構(gòu)造法可以讓從另一個(gè)角度來思考問題，可以使原有隱晦不清的特性在新構(gòu)造的對(duì)象清晰的展現(xiàn)出來達(dá)到解決數(shù)學(xué)問題的目的.

六、利用函數(shù)單調(diào)性解決實(shí)際問題

函數(shù)單調(diào)性在實(shí)際生活中的應(yīng)用主要反映在極值（最值）上，如材料優(yōu)化、資源整合、利潤(rùn)最大化路徑選擇等.首先把生活中實(shí)際問題抽象成對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，并列出有關(guān)的函數(shù)關(guān)系式;其次求的導(dǎo)數(shù)，并解方程;再次把的兩個(gè)端點(diǎn)和上一步中所求的所有極值點(diǎn)，放在一起比較它們函數(shù)值的大小，從而得出函數(shù)的最值;最后根據(jù)實(shí)際問題的定義給出答案.

結(jié)束語

本論文主要是講述了利用函數(shù)的特性能解決哪些問題，并舉出了具體的實(shí)例來說明在解決實(shí)際問題中的具體步驟，想要利用函數(shù)單調(diào)性解題，這樣的問題是有規(guī)律和套路可尋的.例如不能從題目給的已知條件考慮問題，有時(shí)還需要根據(jù)題中給的條件證明問題去構(gòu)造函數(shù)，使得問題的解決變得簡(jiǎn)單明了從而使問題輕易解決.從上面來講，學(xué)生在高中函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)，不光要學(xué)習(xí)單調(diào)性的定義，更重要的是能夠利用單調(diào)性解決各種各類的數(shù)學(xué)問題，因此教師在教學(xué)中應(yīng)該有意識(shí)的培養(yǎng)學(xué)生的綜合運(yùn)用能力.但是本論文由于受自己的專業(yè)能力和寫作時(shí)間的限制，仍存在一些不足.我會(huì)繼續(xù)努力為以后的教學(xué)做出更大的貢獻(xiàn).

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