隨機追蹤策略預測鐘差的理論分析

王玉琢 高 源 徐清華 張愛敏

(中國計量科學研究院，北京 100029)

1 引 言

“萬物互聯、聯通共享”的理念引領著人類對未來的憧憬，逐步改變著我們的生活。準確穩定的時間頻率是“互聯共享”的必要條件，是導航定位、時空信息共享的基礎。時間的穩健流逝性決定了時間計量必須滯后進行，而預測是保障當下和未來時間準確的有效手段。原子鐘作為當代主要的精密計時工具，其可預測能力一方面與其硬件性能和工作條件有著本質聯系，另一方面與原子鐘數據的處理手段和預測方法直接相關[1,2]。國際計量局(BIPM)以原子鐘可預測能力作為權重評價指標，產生協調世界時(UTC)[3,4]。美國國家標準與技術研究院(NIST)、德國聯邦物理技術研究院(PTB)等國際先進實驗室應用濾波降噪方法處理原子鐘數據、提高其可預測能力。目前，原子鐘預測方法主要包括兩類：基于最小二乘擬合的預測方法[3]和基于Kalman filter的預測方法[5,6]。前者被BIPM采用計算協調世界時(UTC)，后者被美國NIST采用計算鐘組紙面時，兩種方法各有所長，被各國時間頻率研究機構借鑒和發展。

在前期工作中，基于最小二乘擬合設計了一種魯棒性的原子鐘預測方法——隨機追蹤策略(random pursuit strategy)[7-9]，初步實驗結果表明該方法具有較好的應用前景。本文以理論視角進一步闡述了隨機追蹤策略的基本思想、預測模型、不確定度分析以及關鍵技術參數優化等問題，為后續研究工作奠定了理論基礎。

2 基本思路

隨機追蹤策略由一個預測器組構成[7-9]，其中每個預測器工作在一個獨立的子空間，所有預測器對未來預測的加權平均作為最終預測結果。具體包括如下幾個部分。

1)歷史數據

設原子鐘相位或頻率數據的測量值向量為X,每個數據點間隔時間為T，則有

X=(x1x2…xn)

(1)

式中：X——歷史數據樣本，即一臺原子鐘相對參考鐘或時標測量得到的相位差或頻率差；xt——t時刻的相位差或頻率差。

向量X作為原子鐘測量的歷史數據，用于預測原子鐘未來的相位或頻率變化。

2)隨機分組

3)擬合函數

4)定義加權

5)加權平均

(2)

6)輸出預測值

綜上所述，隨機追蹤策略是基于一個預測器組構建的加權平均預測方法，它要求一個先決條件是歷史數據向量X能代表原子鐘輸出頻率或相位的特性，且向量X中絕大部分數據具有較高的可靠性。當歷史數據與原子鐘所有表現的實際特性有較大差異時，預測方法將會失諧。雖然加權平均方法并不能保證每一次預測得到的結果均能優于或接近最優預測值，但是隨機追蹤策略提供一種降低預測方法對離群值、異常值敏感性的新思路。

3 理論分析

3.1 鐘差模型

(3)

預測器j的估計值在t時刻的公式為

(4)

基于子集內m(>3)個數據點利用最小二乘法進行擬合，組成一個超定方程為

(5)

系數矩陣A可以表示為

(6)

式中：t1,…,tm——預測器j中的m個數據點對應的時刻值。

(7)

式中：A-1——A的廣義逆矩陣。

3.2 參數的相關性

(8)

式中：αj——擬合參數(時鐘的相位、頻率和頻率漂移)；Z——t1,?,tn的真值。

K和A-1相似可以表示為

(9)

真值與測量值之間的誤差表示為

ε=X-Z

(10)

將式(10)代入式(8)擬合參數為

(11)

為了得到αji的方差，式(11)右邊兩項的方差被寫作

(12)

式中：αji——固定值，所以方差為0；εi——ε誤差向量的第i個元素，測量誤差被認為是獨立同分布的；σ——測量值和真值之間的標準偏差。

(13)

式中：kij——矩陣K中第i行第j列的元素。

由于實際應用中原子鐘輸出真值無法獲得，用殘差的標準偏差來代替σ,它的估計值可表示為

(14)

(15)

根據式(11)可知，預測器j中的任意兩個擬合系數之間的協方差為

(16)

假設誤差獨立同分布，式(16)右邊被改寫為

(17)

3.3 預測不確定度

(18)

(19)

也可寫作

(20)

其中，

(21)

將式(17)代入到式(20)，預測值的標準不確定度為

(22)

3.4 最大化可預測能力

隨機追蹤策略(RPS)的預測值由每個預測器的輸出經加權平均得到，可表示為

(23)

式中：gj——集合中預測器j中相對權重的中間變量。

+∑correlationterms

(24)

(25)

式(25)可用極值法直接求解，其解為

(26)

每個預測器的權重可以表示為

(27)

(28)

由式(28)可知，由隨機追蹤策略獲得的預測值的不確定度小于預測器組內任意單一預測器的預測不確定度，也就是說基于此種權重策略的隨機追蹤策略具有更強的系統魯棒性及預測能力。

4 結束語

隨機追蹤策略對鐘差歷史數據進行隨機抽樣分組，構建了由若干子空間構成的預測空間。綜合考慮每個預測空間內的鐘差數據特性，采用最小二乘方法建立原子鐘行為模型，構造預測空間內鐘差數據的獨立擬合函數(預測器)，多個子空間相對獨立形成預測器組。為了最小化隨機追蹤策略的預測不確定度，采用預測空間內樣本的不確定度定義了預測器權重，經加權平均合并子空間預測值形成預測結果。通過隨機分組、合并預測值等策略降低了預測方法對原子鐘異常行為的敏感性，提高了歷史數據中高質量數據點對未來預測的貢獻，進而提升了原子鐘的可預測能力，提高了預測方法的魯棒性。

前期研究工作已表明隨機追蹤策略具有一定的優勢和實用價值，著重從理論層面較為全面地闡述了基本原理和優化思路。實驗研究與理論分析也表現出了不足之處：隨機分組造成相同數據源每次預測結果不一致，即預測結果的重復性差；利用多次隨機重新分組取平均方法可有效提高重復性，但引起較大運算量、造成算法執行效率低。

解決或緩解上述問題有如下兩種思路。

1)優化隨機分組設計：將每次隨機分組修改為分組后的進出棧模式，即后續數據點逐步替代樣本空間中時間最久的數據點，每次僅替換一個數據點，僅有一個子空間及擬合函數發生變化，這樣可極大改善算法運行效率，同時可以提高算法預測的重復性。

2)提升硬件運算能力：隨機追蹤策略設計的基本結構是若干個獨立的子空間，具備天然的并行計算優勢。目前，GPU硬件成本急劇下降、運算能力不斷提升，采用GPU輔助隨機追蹤策略可大幅提升運算效率，為預測樣本數據的大規模重組提供了可能。