高階一致橢圓型算子第二特征值上界估計的不等式

趙曉蘇，錢椿林

(蘇州市職業大學數理部，江蘇 蘇州 215104)

1 本文主要結果

設Ω?Rm(m≥2)是有界區域，Ω具有逐片光滑的邊界?Ω，考慮下列特征值問題：

(1.1)

μ1≤ai1i2…is(x)≤μ2，i1,i2,…,is=1,2,…,m

(1.2)

v1≤bj1j2…jr(x)≤v2，j1,j2,…jr=1,2,…,m

(1.3)

其中0<μ1≤μ2，0

關于問題(1.1)的等號兩邊都是調和算子的第二特征值估計，目前已有結果，問題(1.1)的等號左端是一致橢圓型算子，等號右端是調和算子的第二特征值估計，也已有結果，問題(1.1)的等號左端是四階一致橢圓型算子，等號右端是二階一致橢圓型算子的第二特征值估計，可參見文獻。問題(1.1)的等號左端是高階一致橢圓型算子，等號右端r是二階一致橢圓型算子的第二特征值估計。在本文中，研究問題(1.1)的等號左端是高階一致橢圓型算子，等號右端是r階一致橢圓型算子。將文獻[1]中的問題進一步推廣，并文獻[2]中的方法加以改進，對于問題(1.1)得到了可由第一特征值來估計第二特征值上界的估計不等式，并且估計的系數與區域度量無關，所得結果在力學和微分方程的研究中有著廣泛的應用。

定理 設λ1，λ2是問題(1.1)的兩個第一、第二特征值，且0<λ1<λ2，則有

(1.4)

2 定理的證明

(2.1)

利用分部積分和(2.1)，得

(2.2)

利用分部積分和(2.2)，有

(2.3)

利用(1.2)和(2.3)，得

(2.4)

利用(1.3)和(2.2)，有

(2.5)

設

φk(x)=(xk-qk)u

其中

式中

利用分部積分，直接計算得

(2.6)

(2.7)

從(2.7)知，φk與u帶權正交，且滿足

利用Rayleigh定理，成立著

(2.8)

計算得

(2.9)

式中

利用分部積分和φk(x)=(xk-qk)u，有

(2.10)

結合(2.9)和(2.10)，得

(2.11)

設

利用式(2.11)，有

(2.12)

利用(2.8)和(2.12)，有

(2.13)

設

引理1：設u是問題(1.1)所對應第一特征值λ1的特征函數，則

證：對于(a)，利用數學歸納法，當t=1時，等式(a)顯然成立。假設對t=k等式(a)也成立。

當t=k+1時，由歸納假設，可得

故引理1(a)成立。

對于(b)，繼續使用歸納法，t=1時，利用(2.5)的右端，不等式顯然成立。假設t=k時，不等式成立，即有：

當t=k+1時，利用分部積分、Schwarz不等式和歸納假設，得

化簡整理，有

即引理1(b)成立。

對于(c)，反復運用引理1(b)及(2.4)式，得

由引理1(a)及(2.4)式，有

(2.14)

引理2：設u是問題(1.1)屬于第一特征值λ1的特征函數，則

證：關于(a)，由引理1(a)、(c)及(2.5)式和Schwarz不等式，可得

整理后引理2(a)成立。

對于(b)，利用(1.3)，引理1(a)和Schwarz不等式，有

即引理2(b)成立。

對于(c)，利用(1.3)，引理1(a)和引理2(a)，當p≠q時，有

同樣的，當p=q時，得

故，有

故引理2(c)得證。

引理3：在引力2的假設下，有

證：對于(a)，利用(1.2)和Schwarz不等式，得

當p≠q時，利用引理1(a)和引理1(c)，取t=s-1，有

類似地有

當p=q時，同樣可得

所以，得

對于(b)，利用Schwarz不等式，引理1(a)和引理1(c)，類似地，有

引理4：設是問題(1.1)的第一特征值，則

證：利用分部積分和φk(x)=(xk-qk)u，得

(2.15)

利用分部積分，得到

(2.16)

(2.17)

利用(2.15)、(2.16)和(2.17)，有

(2.18)

利用(2.18)，引理2和引理3，得

引理5：對于φk與λ1(k=1,2,…,m)，有下列不等式成立

證：利用分部積分和φk(x)=(xk-qk)，得

(2.19)

利用(2.19)，有

(2.20)

利用(2.20)和(2.5)，有

(2.21)

利用(2.21)、(1.3)、引理1(c)和Schwartz不等式，得

由上式引理5得證。

定理的證明：由引理4、引理5及(2.13)，可得

經整理即得定理。