肺結核隨機SEIQR模型的穩定性

王來全，魏成花，李 碩

(1.昌吉職業技術學院 基礎部,新疆 昌吉 831100；2.昌吉高新技術產業開發區管委會 產業局, 新疆 昌吉 831100；3.昌吉學院 數學系,新疆 昌吉 830046)

作為傳染病學和數學理論的交叉學科的傳染病數學模型理論迅速發展起來,許多學者對確定性傳染病模型的持久性和平衡點的穩定性做了研究并得到很好的結果。文獻[1]分析了一類具有接種免疫和潛伏期的SEIR傳染病模型的全局性,但沒有考慮潛伏期疾病的傳播情況。文獻[2]研究了一類具有雙線性發生率的潛伏期與傳染期均傳染的SEIQR傳染病模型,但沒有考慮對染病者和隔離者進行恢復治療的情況。文獻[3]說明對染病者采取隔離措施是控制肺結核蔓延的重要措施,但是,很少有討論傳染病模型在肺結核病防控中的應用。近年來,學者用飽和發生率研究了確定性傳染病模型[4],但是人群的生存環境充滿了隨機性(如波動，噪聲，地震等干擾因素),人群易受到持續的干擾[5],導致傳染病的傳播具有隨機性。肺結核是危害群眾健康的呼吸道傳染病,易于受到氣候等因素的影響,所以考慮肺結核傳播過程中存在的隨機模型尤為重要。基于文獻[6-7]的理念,本文討論潛伏者和染病者在不同的感染率下,對染病者和隔離者實施治療的一類具有非線性發生率的肺結核隨機SEIQR模型,利用Lyapunov函數分析模型正解的全局存在性及唯一性,討論無病平衡點E0的p-階指數穩定。

1 模型的建立

本文將總人口Nt分成易感者St、潛伏者Et、染病者It、隔離者Qt、恢復者Rt,A為易感人群的輸入量,假設新生兒均為易感者,βE,βI分別表示肺結核潛伏者和患病者的傳染率,θ為飽和接觸率,μ為死亡率,從潛伏者到發病者的轉化率為ξ,對潛伏者的隔離措施為σ,對病人的治療率為ρ,在隔離期的治療率為σ0,r表示對染病者的隔離措施,δ表示噪聲的干擾,Bt是布朗運動，t是時間變量。根據生物意義,以上參數均為正數。建立如下隨機模型：

(1)

2 預備知識

把文獻[7]中的引理3.3與引理3.4記為本文的引理1與引理2。

引理1假設存在一函數V(t,x)∈C1,2,(t,x)∈(R+×Rm),滿足不等式:

K1|x|p≤V(t,x)≤K2|x|p,

LV(t,x)≤-K3|x|p。

其中：K1>0；K2>0；K3>0；p>0。則系統

的無病平衡點p-階指數穩定。

引理2 根據Yang不等式,令p≥2,ε>0,x,y>0,則不等式成立:

3 平衡點及基本再生數

本文計算出系統(1)的無病平衡點為E0(S0,0,0,0,0),基本再生數R0。其中:

假設δ=0,當R0>1時,系統(1)存在一正的平衡點E*(S*,E*,I*,Q*,R*)。其中:

令X(t)=(St,Et,It,Qt,Rt)。系統(1)的解集為

4 正解的全局存在性及唯一性

定理1 對任意給定的初值(St0,Et0,It0,Qt0,Rt0)∈Δ,系統(1)存在唯一的正解依概率1位于Δ中。

P(τm≤T)≥ε(?m≥m1)

(2)

根據伊藤公式[7],得

(3)

則

=

(4)

對式(3)兩端分別從0到τm∧T積分,并取期望得

(5)

對m≥m1,令Ωm={τm≤T},由式(5)得

由式(2)和式(5)得

其中IΩm表示Ωm的示性函數。

從上述證明得到τ=+,顯然能得出P{τ=}=1,與式(2)矛盾,也就是說,X(t)依概率1不會在有限時間內爆破。

5 無病平衡點的全局漸近穩定性

根據文中引理1和引理2得到系統(1)的無病平衡點E0的p-階指數穩定。

選取

使得引理1中的不等式成立。

則

對所有的t≥0,X(t)∈Δ,得

由文中引理1和引理2得

其中:

Λ5=-λ4pμ+λ4σ0(p-1)ε+λ4ρ(p-1)ε。

6 結論

考慮了具有非線性發生率的肺結核隨機SEIQR模型,得到基本再生數R0,定理1利用Lyapunov函數分析了模型正解的全局存在性及唯一性,定理2討論了隨機SEIQR模型的無病平衡點的p-階指數穩定,證明了隨機SEIQR模型的無病平衡點圍繞確定性模型平衡點的漸近行為:如果隨機擾動δ較小,系統(1)的平衡點的漸近穩定性將接近δ=0時確定性SEIQR模型的平衡點的漸近穩定性。