微動并聯(lián)機構(gòu)柔性平板移動副求解

陳海真，王紅梅，李愛軍

(山東理工大學 機械工程學院, 山東 淄博 255049)

全柔性微動并聯(lián)機構(gòu)具有無間隙、無摩擦、響應快、誤差積累小、定位精度高、結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)點，近年來在生命科學、微機電系統(tǒng)(MEMS)、超精密加工等領(lǐng)域得到了廣泛應用[1-3]。靠柔性關(guān)節(jié)的受力而產(chǎn)生的彈性變形來實現(xiàn)運動的傳遞是全柔性微動并聯(lián)機構(gòu)與傳統(tǒng)并聯(lián)機構(gòu)的區(qū)別，它的關(guān)節(jié)柔度與運動性能和力的傳遞密切相關(guān)。關(guān)節(jié)柔度是一個多元函數(shù)，影響關(guān)節(jié)柔度的因素很多，如材料性能、關(guān)節(jié)輪廓曲線形狀、關(guān)節(jié)尺寸、關(guān)節(jié)力等[4]。為了提高微動并聯(lián)機構(gòu)的設(shè)計精度，本文對柔性關(guān)節(jié)的柔度求解進行研究。

1 柔性平板移動副的柔度矩陣

柔性平板移動副常用的柔度計算公式[5]為

(1)

式中：b、l、t為移動副的結(jié)構(gòu)尺寸；E為材料的拉伸彈性模量；μ為材料的泊松比。

式(1)雖然比較簡潔，計算也比較方便，但是它給出的功能方向上柔度表達式存在較大的計算誤差。為了適應現(xiàn)代科學，高精密微動機構(gòu)的設(shè)計必須有相適應的計算方法，下面利用卡氏第二定理得出具有較高精度的柔性平板移動副柔度計算表達式。

1.1 柔性平板移動副力學計算模型

柔性平板移動副的受力簡圖如圖1所示。圖1中移動副左右對稱，變形部分薄板長度為l、厚度為t，厚板長度為a、沿z方向即橫向的寬度為b。中間CD段的厚度遠大于兩側(cè)OC段和DB段的厚度，可視為剛體。移動副上所加外載分別是彎矩M、軸向力Fx、垂直力Fy，它們作用于移動副的A點。

圖1 柔性平板移動副平面受力圖

簡化移動副受力，將移動副視為變截面三次超靜定梁。因為在移動副的兩端O、B處都各有3個約束力，為將原結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)榛眷o定系，先代之以相應的約束，除去O點原來的約束，基于原結(jié)構(gòu)在原約束處位移相一致的協(xié)調(diào)條件，再利用卡氏第二定理[6]建立補充方程，最后結(jié)合靜力平衡方程即可求得各約束力。

在工作平面內(nèi)，柔性平板移動副的靜力平衡方程為

(2)

移動副各段的軸向力、剪切力與彎矩分別為：

(3)

(4)

(5)

1.2 彈性變形應變能

平板移動副的應變能為彎曲應變能、軸向拉伸應變能、剪切應變能三部分[7]之和，即

(6)

式中：k為剪切影響系數(shù)，k=2.5；b為材料z方向的寬度；t為移動副的橫截面積；μ為材料的泊松比。總應變能的表達式為

2(R1y+Fy)[Fy(l+a)+M1+M]f4+

[Fy(l+a)+M1+M]2l}

(7)

式中：

1.3 柔度矩陣求解

由卡氏第二定理可以求解柔度矩陣[8-10]。根據(jù)卡氏第二定理和O點的約束條件可得O點沿x、y、θ的位移分量分別為：

(8)

[Fy(l+a)+M1+M]f4=0

(9)

[Fy(l+a)+M1+M]l}=0

(10)

將式(8)、式(9)、式(10)聯(lián)立,求出O點各個約束力

(11)

式中：

應用卡氏第二定理同樣得A點各方向的位移分量：

(12)

[2Fy(l+a)+M1+M+R1y(l+a)]f4+

[Fy(l+a)+M1+M](l+a)l}

(13)

[Fy(l+a)+M1+M]l}

(14)

將式(11)代入式(12)～(14)即可得到柔性關(guān)節(jié)輸出位移、所加載荷及柔度矩陣的表達式

(15)

2 柔度系數(shù)與結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系

柔度系數(shù)與平板移動副的結(jié)構(gòu)參數(shù)、材料的泊松比μ、拉伸彈性模量E有關(guān)。確定了移動副的材料后，柔度系數(shù)的大小僅取決于平板的結(jié)構(gòu)參數(shù)。利用MATLAB工具，可以得出各柔度系數(shù)與平板結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系。

平板移動副各段尺寸為：a=10 mm；寬度b的變化范圍是8～12 mm；長度l=20 mm；變形部分薄板厚度t=1～3 mm；材料為彈簧鋼65Mn，其泊松比μ=0.3；彈性模量E=190×103MPa；剪切影響系數(shù)k=2.5。在Fx作用下x方向的柔度系數(shù)為Cx-Fx，在Fy作用下y方向的柔度系數(shù)為Cy-Fy；M作用下，轉(zhuǎn)角θ方向的柔度系數(shù)為Cθ-M。通過MATLAB程序計算得到各柔度系數(shù)與平板厚度t與寬度b的關(guān)系圖，如圖2所示。

在關(guān)節(jié)厚度t與寬度b的變化范圍內(nèi)，柔度系數(shù)Cθ-Fy與Cy-M的最大值分別為2.959 4×10-19rad/N和7.809 9×10-19mm/(N·mm)；最小值分別為-8.120 5×10-19rad/N和-1.474 9×10-19mm/(N·mm)，兩個系數(shù)的值都非常小，因此可以將兩個系數(shù)的值近似看作零。

取變形部分薄板長度l=15～25 mm；薄板厚度t=1.5 mm；中間剛體部分長度a=10～15 mm；橫向?qū)挾瘸叽鏱=10 mm。各柔度系數(shù)與平板尺寸a、l的變化關(guān)系圖如圖3所示。

(a)柔度系數(shù)Cx-Fx隨l、a的變化圖 (b)柔度系數(shù)Cy-Fy隨l、a的變化圖 (c)柔度系數(shù)Cθ-M隨l、a的變化圖

在關(guān)節(jié)長度尺寸a與l的變化范圍內(nèi)，柔度系數(shù)Cθ-Fy和Cy-M的最大值分別為5.684 3×10-19rad/N和4.8945×10-19mm/(N·mm)；最小值分別為-5.6843×10-19rad/N和-4.8390×10-19mm/(N·mm)，與各柔度系數(shù)隨平板厚度t和寬度b的變化情況相似，兩系數(shù)的值都非常小，因此近似計算時可以忽略兩個系數(shù)的影響。

由以上分析，可以得到下述結(jié)論：

(1)由圖2可知，3個主要柔度系數(shù)的值，隨著平板關(guān)節(jié)厚度t和寬度b的減小都是增大的。從圖2(b)和圖2(c)可知：當關(guān)節(jié)厚度t的值較大時，柔度系數(shù)Cy-Fy與Cθ-M幾乎不受關(guān)節(jié)寬度b變化的影響。

(a)柔度系數(shù)Cx-Fx隨b、t的變化圖 (b)柔度系數(shù)Cy-Fy隨b、t的變化圖 (c)柔度系數(shù)Cθ-M隨b、t的變化圖

(2)從圖3(a)和圖3(b)可知，中間剛體部分尺寸a的變化對柔度系數(shù)Cx-Fx與Cy-Fy沒有影響，但是兩柔度系數(shù)都隨長度l的增大而增大；由圖3(c)可知：隨l的增大和a的減小，柔度系數(shù)Cθ-M的值都是增大的。

因為柔度系數(shù)Cy-M與Cθ-Fy近似為零，忽略其對計算精度的影響，移動副的簡化柔度矩陣為

(16)

柔性平板移動副沿y軸方向的輸出位移uAy為功能位移，而沿x軸方向的位移uAx及繞z軸的角位移uAθ則是由外載引起的位移誤差。為了減小誤差，要求柔性移動副非功能方向上的位移盡可能小，而功能方向上的位移盡可能大。

3 柔性平板移動副的有限元模型

用ANSYS軟件建立柔性平板移動副的有限元模型，并對其功能方向上的彈性變形進行靜力學分析。材料與前面相同，彈性平板移動副的各段長度尺寸為a=10 mm；l=20 mm；寬度b=10 mm;變形薄板部分厚度t=1.5 mm；驅(qū)動載荷Fy=200 N。柔性平板移動副功能方向上的位移云圖如圖4所示。

圖4 柔性平板移動副y方向的位移云圖

在幾組不同驅(qū)動力Fy作用下，柔性平板移動副功能方向位移及誤差的計算結(jié)果與傳統(tǒng)方法計算結(jié)果的對比見表1。

分析表1的計算數(shù)據(jù)和實驗結(jié)果可以看出，本文提出的計算方法與傳統(tǒng)的計算方法相比，計算結(jié)果的精度有了明顯提高，誤差穩(wěn)定在1.235%左右。

表1 柔性平板移動副功能方向的位移及誤差分析Tab.1 Displacement analysis and error analysis of function dimension for flexible parallel-plate prismatic pair

4 結(jié)束語

本文建立了柔性平板移動副力學簡化計算模型，基于卡氏第二定理得到了柔性平板移動副在其工作平面內(nèi)的柔度計算公式，并對各方向柔度系數(shù)隨柔性移動副結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化規(guī)律進行了分析。應用ANSYS軟件建立柔性平板移動副的有限元模型，并進行了仿真分析，通過對比分析傳統(tǒng)方法計算數(shù)據(jù)、此方法理論計算數(shù)據(jù)及有限元分析數(shù)據(jù)可知，所得柔性平板移動副的柔度計算公式計算精度有了明顯提高。本文提出柔性平板移動副的柔度計算方法，還給出了平面內(nèi)非功能方向上的柔度系數(shù)，這為生命科學、超精密加工等領(lǐng)域中高精密微動機構(gòu)的設(shè)計和精度分析提供了理論基礎(chǔ)。