讓新知自然生長
——以“二元一次方程（組）”單元教學起始課為例

■朱華慶

【教學目標】

1.理解二元一次方程、二元一次方程組及其解的概念。

2.會用已有知識探究二元一次方程及方程組的解法。

3.感知單元知識架構，體會問題到數學再回到問題的建模思想。

4.培養探究問題的習慣、能力，體會重要的數學思想。

【難點】探究方程的解；會用數學方法來探究實際問題。

【重點】類比概念、單元知識結構來探究問題。

【教學流程】

一、復習舊知，搭建框架

師：我們剛學完了一元一次方程，都學習了哪些知識？

生：學了什么是一元一次方程。

師：也就是一元一次方程的概念。

師：一元一次方程的概念是什么？（師生互動，點出元和次的意義。）

師：學習了一元一次方程的概念后還學習了哪些知識？

生：一元一次方程的解，一元一次方程的解法，一元一次方程的應用。

這個環節重在回顧一元一次方程單元結構，對重點知識進行喚醒，為后續學習作鋪墊。

二、類比舊知，激活新知

師：下面請同學們用所學的知識來解決實際問題（PPT 呈現問題）：小明到商店買文具，若買 3 支鉛筆和 2 本筆記本，需花費 7 元；若買 2 支鉛筆和4 本筆記本，需花費10 元。求鉛筆和筆記本的單價分別是多少元？

（學生用一元一次方程解決問題，教師板書規范過程。）

師：用一元一次方程解決剛才的問題，難點在哪里？

師：能否找到合適的數學方法化解這個難點？

生：直接設筆記本的單價為y元。

師：為什么？

生：這樣表示筆記本的單價更加簡單，更容易想到。

師：你還能根據等量關系列出等式嗎？

（學生經過嘗試后，列出兩個方程，教師板書。）

師：你們認為這兩個方程應該怎么命名？為什么？

生：二元一次方程，因為它含有兩個未知數，含有未知數的項的次數是一次。

師：這就是我們今天要學習的二元一次方程。這兩種方法你們選哪一種？為什么？

生1：選第二種，容易想到，而且列方程比較簡單。

生2：我選第一種，因為第一種可以算出來，第二種不會算。

（以此為切入點，引導學生探究二元一次方程。）

師：你認為什么是二元一次方程？

生1：含有兩個未知數，含有未知數的項的次數是一次的方程就是二元一次方程。

生2：還必須是整式方程。

師：xy=1是二元一次方程嗎？

生1：是的，符合上面3個條件。

生2：不是，xy是2次。

師：xx=1是什么方程？是一元一次方程嗎？

生：不是，因為 xx=1 就是 x2=1，未知數 x 是 2次了。

師：那么xy=1是二元一次方程嗎？

生：不是。

師：怎么修改？

（幫助學生提煉、完善概念；PPT 呈現二元一次方程辨析題。）

師：了解了二元一次方程的概念，我們下一步研究什么內容？

生：方程的解。

師：什么是二元一次方程的解？

生：使方程兩邊的值相等的未知數的值。

師：你能求出二元一次方程的解嗎？說一說你怎么求的？（PPT 呈現：用列表找二元一次方程2x+4y=10的解。）

師：兩種方程的解有何不同之處？（PPT 呈現表格：一元一次方程與二元一次方程解的對比。）

通過這個環節，學生初步感知探究方程的基本思路、方法，同時，新問題的出現為下面活動找到了探究的切入點。

三、探究新知，感知方法

師：為什么二元一次方程的解是無數組？

生：兩個未知數，一個變化了，另一個也會發生改變。

師：我們發現1 個二元一次方程是無法求出唯一解的，怎么辦？

生：要兩個二元一次方程。

師：這就是即將要學習的二元一次方程組。我們可以從哪些方面探究二元一次方程組？

生：概念、方程組的解、解方程組、應用。

師：什么是二元一次方程組？

生1:含有兩個未知數，未知數的項的次數是一次的整式方程。

生2：兩個二元一次方程構成方程組。

（教師引導學生完善二元一次方程組的概念，通過PPT對概念加強理解。）

師：在了解了二元一次方程組的概念后，接下來探究什么？

生：二元一次方程組的解。

師：什么是二元一次方程組的解？

生：使方程成立的未知數的值。

師：使哪個方程成立的未知數的值，為什么？

生：使兩個方程都成立的未知數的值。

師：這兩個方程中，x、y值是否相等？為什么？

生：相等。因為它們代表的含義相同，x 表示鉛筆的單價，y表示筆記本的單價。

師：所以，未知數的值必須同時滿足兩個方程才是方程組的解。為了表達這兩個方程之間的關聯性，我們必須在兩個方程前面加一個大括號，方程的解也必須有大括號，因為它們是有關聯的。（教師出示PPT，讓學生用列表法找方程組的解。）

這個環節主要是了解方程組的概念，會通過列表找到方程組的解，理解方程組解的關聯性。

四、探究解法，認知本質

師：剛才是怎么找到方程組的解的？

生：找兩個方程相同的解，就是方程組的解。

師：這種求方程組的解的方法有什么缺陷？

生：如果數據較大，或者解是小數，通過列表找解就比較困難了。

師：是否可以從數學運算的角度來探究，把方程組的解算出來？

生：可以，買3 支鉛筆和2 本筆記本，需花費7元，那么買6支鉛筆和4本筆記本就是14元，而買2 支鉛筆和4 本筆記本，需花費10 元，所以4支鉛筆就是4 元，所以鉛筆每支1 元，然后筆記本就是2元一本。

師：能否用數學符號把等式表示出來。

生：可以，將3x+2y=7表示為①式，將6x+4y=14表示為③式，將2x+4y=10表示為②式。

師：剛才的等式對你解方程組有何啟發？

（通過對三個等式的對比分析，初步了解方程組解法的本質；教師板書解方程組的規范過程，告知學生加減消元法的由來。）

師：還有其他方法嗎？剛才我們是怎么解的？關鍵的突破在哪里？

生：③-②的時候y沒有了。

師：這時變成了什么方程？

生：一元一次方程。

生：會。

師：與2x+4y=10 對比一下，解這個二元一次方程的困難是什么？

生：因為它有兩個未知數。

師：能否把兩個未知數轉化為一個未知數？

生：根據題目中的數量關系可以得到。

師：能否從數學運算的角度得到？例如二元一次方程3x+2y=7有什么用？

（師生共同板書解方程組的規范過程。）

師：這個解法叫代入消元法。所以解二元一次方程組的關鍵是什么？

生：把二元化為一元。

師：怎么轉化？（進一步引導學生感知解二元一次方程組的本質——消元。）

這個環節主要是探究二元一次方程組的解法，讓學生理解解法的本質。

五、課堂總結，感悟提升

師：這節課同學們有哪些收獲？（PPT 呈現結構圖。）

生：知道了研究二元一次方程組的一般過程——概念，方程的解，解法，應用。

師：本節課還有哪些是你印象最深刻的地方？

生1：研究問題的方法，類比思想、轉化思想，把二元一次方程轉化為一元一次方程。

生2：二元一次方程組的解法。

師：同學們說得都很好。本節課我們通過學習整章的內容，了解了學習二元一次方程組的必要性，也知道了研究方程的一般思路，更學到了研究數學的方法：類比，轉化，方程思想等。如果到九年級學習一元二次方程呢？甚至是三元一次方程，你會研究嗎？

（對本節課的重要的內容、思想方法予以總結，為以后學習埋下伏筆。）

【教學反思】

李尚志教授說過，一條重要的核心素養是舉一反三的能力，就是能利用舊知識解決新問題的能力，層次更高一點，就是利用舊知識生長新知識的能力。

通過本節課的學習，學生體會從整體認知的角度來看待問題，從類比舊知識中感知新知，在探究解法的過程中運用轉化思想，感知數學問題的本質，從而為探究問題積累方法、經驗。

就本節單元課而言，應該處理好如下幾個問題：

學生層面：1.學二元一次方程組的必要性（為什么學）；2.探究方程的一般思路（怎么學）；3.感知數學與問題的建模思想（有什么用）。

教師層面：明暗兩條線路推進。

1.探究的方程思路（明線）。

問題的引入（學習的必要性、興趣點）→概念的形成、理解（類比舊知激活新知）→解法的探究（探究的切入點）→解法的選擇與總結→解決問題。

2.對單元課“整體感知”的設計（暗線）。

（1）了解研究實際問題的思路：實際問題→抽象為數學問題→提煉出數學方法→實際問題。感知數學知識生長的必要性。

（2）理解探究方程的思路：概念的發現→概念類比→概念的提出→概念的深化，解法的提出→解法的類比→解法的猜想→解法的提煉。感知數學概念、方法生長的合理性。

當然，一節好課的標準有很多，除了課堂的設計之外，首先要更多關注學生的成長，例如對于探究的興趣和習慣的培養，課堂上最后對三元一次方程的提問，會帶給學生很多遐想；其次要關注學生的學情，不同的學情在上單元起始課時有較大的出入，特別是在教師引導和學生互動方面以及學生能否真正感悟到本節課的真諦，大為不同