基于協調翹曲場的開閉口混合薄壁截面桿件約束扭轉一維有限元分析

文 穎，陳澤林

(1. 中南大學土木工程學院，長沙 410075；2. 重載鐵路工程結構教育部重點實驗室 (中南大學)，長沙 410075)

橋梁工程中廣泛應用的箱形梁屬于開閉口混合薄壁截面桿件，封閉箱體能提供顯著雙向彎曲和扭轉剛度，適應縱、橫向偏載作用，開口懸臂板則為橋面結構提供良好支撐，滿足橋梁功能要求。箱梁設計必須解決好空間彎扭分析問題。開口及全封閉薄壁截面桿件約束扭轉分析分別由基于Vlasov 假定的Timoshenko 理論和基于Umanskii假定的Benscoter 理論解決[1?3]。研究發現開、閉口斷面翹曲剛度差異明顯。因此，箱梁約束扭轉分析必須考慮開口懸臂板和閉口周邊翹曲能力的區別[4]。

具有任意截面形狀的薄壁桿件扭轉翹曲位移一般可寫成截面翹曲函數和翹曲參數的乘積形式?，F有文獻認為截面扇性坐標和廣義扇性坐標分別適用于開口和閉口周邊的翹曲函數，反映二者翹曲能力的差異，而描述翹曲沿桿件縱向變化的翹曲參數卻是一致的。徐勛等[4]、郭金瓊等[5]、周履[6]、張元海和林麗霞[7]、馬俊軍和藺鵬臻[8]、聶國雋和錢若軍[9]、Dikaros 等[10]和Qiao 等[11]采用Umanskii 第二理論，即開、閉口部分采用相同的待定翹曲參數，進行薄壁構件約束扭轉分析。但是，關于翹曲剪流沿開、閉口部分如何分布仍存在分歧，例如文獻[5, 7 ? 8, 12]認為開口部分參與閉口周邊翹曲剪流重分配，導致懸臂板產生附加剪流，而文獻[4, 6]則從懸臂板自由端剪應力為零的條件出發，認為閉口周邊將產生平衡懸臂板翹曲正應力的附加翹曲剪流。胡啟平等[13]和王曉峰和楊慶山[14]認為開口截面翹曲剪流將引起附加翹曲。產生分歧的原因在于采用Umanskii 假定后，懸臂板翹曲剪流究竟由剪應變還是根據與翹曲正應力間的平衡條件來決定?？紤]到閉口截面自由扭轉剛度遠大于約束扭轉剛度，Sapountzakis和Mokos[15]、Günay 和Timarci[16]及Cambronero-Barrientos 等[12]采用Umanskii 第一理論，假定開、閉口部分約束扭轉翹曲參數取為截面扭轉角變化率。然而，它卻無法反映翹曲剪應力引起附加翹曲，將產生不可允許的誤差[5]。綜上所述，現有文獻在開、閉口部分約束扭轉翹曲參數如何確定的問題上并未達成一致，勢必影響約束扭轉分析可靠性。

考慮到薄壁箱梁懸臂板寬度有限，且在閉口周邊面內彎翹連續性條件影響下，板件中面內形成附加翹曲剪流，本文假定截面開口部分翹曲參數等于扭轉角變化率(考慮懸臂板面內彎翹，忽略剪翹)，而閉口部分翹曲參數則滿足Umanskii 假定?？紤]開、閉口截面公共節點翹曲連續性條件，建立包含待定翹曲參數的協調翹曲模型?；诮孛鎯韧饬ζ胶鈼l件，建立閉口部分待定翹曲參數與剛性扭轉角導數間的顯式關系。依據勢能不變值原理，建立開閉口混合薄壁截面桿件約束扭轉分析的一維有限元列式。通過數值算例分析并與Umanskii 第二理論、Shell-63 單元、基于Vlasov假定的Beam-189 單元結果進行比較，論證本文方法計算翹曲位移和應力具有良好的精度。通過變化懸臂板寬及梁高，揭示不同約束扭轉分析模型計算開、閉口截面翹曲剛度變化條件下桿件翹曲應力變化規律。

1 開閉口混合薄壁截面桿件位移場

開閉口混合薄壁截面桿件位移場的建立基于如下假定：

1) 截面發生整體軸向位移和雙向彎曲轉動后仍然保持為平面；

2) 截面面內位移滿足剛性周邊假定，即忽略畸變和橫向彎曲的影響；

3) 截面閉口周邊約束扭轉翹曲函數采用以剪心為極點的廣義主扇性坐標，翹曲參數取為待定函數η(x)；

4) 截面開口部分約束扭轉翹曲函數采用以剪心為極點的主扇性坐標，翹曲參數取為扭轉角φ的變化率dφ/dx。

首先建立描述截面空間位移的笛卡兒坐標系Oxyz(如圖1 所示)，它以截面形心O為坐標原點。由于箱梁截面一般關于Oy軸左右對稱，則Oy和Oz為截面慣性主軸。取S點(αy, 0)為截面剪心。由假定2 可知，截面上任意點P(y,z)的面內位移(vp,wp)可用S點沿y和z方向的位移分量(vs,ws)以及截面繞S點剛性轉角φ來表示，故有：

圖1 開閉口混合截面布置Fig. 1 Cross sectional layout for open-closed profile

假設P點沿截面中線切線方向(稱為s軸)位移為vsp，并令s軸對z軸的傾角為α(以自z軸按右手法則轉到s軸為正)，則有：

圖2 開閉口混合截面主扇性坐標Fig. 2 Principal sectorial coordinates for open-closed profile

當開閉口混合截面發生約束扭轉時，由假定3 可知，閉口周邊任意點翹曲位移為：

不難發現，由式(14)和式(16)表示的開閉口混合截面翹曲場是連續的。

2 約束扭轉翹曲參數

由式(14)和式(16)可知，開閉口混合截面任意點翹曲應力的表達式為：

對于閉口部分：

式(19)和式(20)中，只有翹曲參數η 缺乏明確物理概念。為了建立η 與φ的關系，考慮桿件截面受力平衡關系如下：

式中，A表示全截面積。將式(19)和式(20)代入式(21)，并考慮圖2 所示的主扇性坐標分布，可知式(21)前兩項積分恒為零。由第3 項積分可得：

由于約束扭轉條件下，截面閉口部分剪應力包含沿壁厚線性分布的圣維南剪應力τs、沿壁厚均勻分布的Bredt 剪應力τB及沿壁厚均勻分布的翹曲剪應力τω。τs相比τB對截面扭矩的貢獻很小，忽略τs對截面內外扭矩平衡的影響。沿壁厚均勻分布的τB及τω可根據剪應變及材料彈性本構關系得到，故有：

3 開閉口混合截面桿件一維有限元

由前兩節討論可知，式(1)、式(14)和式(16)所描述的開閉口混合截面任意點空間位移依賴于截面平均翹曲位移、剪心線位移(vs,ws)和繞剪心扭轉角φ?？紤]如圖3 所示開閉口混合薄壁截面桿件單元ij，假定桿件截面平均軸向位移沿桿件長度方向線性變化，桿件剪心軸線撓曲及扭轉角沿桿長方向按Hermitian 三次多項式變化。因此，桿件任意截面獨立位移參數u與節點自由度d關系如下：

圖3 開閉口混合薄壁截面桿件單元Fig.3 Thin-walled element with open-closed cross section

4 數值算例

為了驗證本文提出的開閉口混合薄壁截面桿件約束扭轉分析方法和一維有限元剛度矩陣正確性，本節通過典型算例分析，并與ANSYS Beam-189 單元、Shell-63 單元及文獻結果(基于Umanskii第二理論[5,18])進行對比。要確保Shell-63 單元結果為準確解，通過施加剛性扭轉荷載及沿箱梁縱向增設橫隔板，排除箱梁截面畸變、橫向彎曲對應力分布的影響。

4.1 偏心軸向線荷載作用下懸臂箱梁約束扭轉分析

表1 懸臂箱梁約束扭轉位移和正應力Table 1 Displacements and normal stresses for warping torsion of a cantilever box girder

4.2 均布扭矩作用下簡支箱梁約束扭轉分析

文獻[8]分析了均布扭矩(mT=23.5 kN·m/m)作用下30 m 簡支箱梁的約束扭轉問題。箱梁基本幾何、材料參數及截面主扇性坐標見文獻[5]。截面形心和剪心位置參數為yo=0.955 m，αy=?0.296 m。與抗扭特性相關的截面常數包括：Iω=2.37 m6，Ipc=9.85 m4，Iωc=1.56 m6，Iωω=?0.18 m6，J=8.07 m4，JB=8.05 m4。本文方法采用2 個薄壁梁單元離散箱梁，分別采用60 個Beam-189 單元和11340 個Shell-63 單元建立簡支箱梁有限元模型。通過施加剛性扭轉荷載并沿梁長均勻布置11 道橫隔板(t=0.25 m)，最大限度地減小箱梁截面畸變對約束扭轉正應力和剪應力的影響。本文方法、Beam-189 單元模型、Shell-63 單元模型及文獻[8]的結果列于表2。Beam-189 單元模型因忽略閉口周邊剪切變形，導致扭轉角、約束扭轉正應力及翹曲剪應力偏小，而增大截面開口部分剪應力。本文方法和Shell-63 單元模型與文獻[8]的正應力結果較接近，但剪應力差異較大。例如，Umanskii 第二理論計算出位于箱梁閉口周邊⑦號點剪應力的相對誤差為4%，而開口部分⑧號點剪應力的相對誤差則達到70%。原因是懸臂板產生的附加剪流引起懸臂板自由端出現剪應力(由Umanskii 第二理論算得⑥號點剪應力為?3.87 kPa)，這顯然與物理事實不符，勢必改變懸臂板剪應力分布。同時懸臂板根部剪力流變化將改變閉口周邊剪力流分布。

表2 均布扭矩作用下簡支箱梁約束扭轉位移和應力Table 2 Displacements and stresses for warping torsion of a simply-supported box girder under the action of uniformly distributed torques

4.3 橫向集中偏載作用下簡支箱梁約束扭轉分析

表3 跨中集中偏載作用下簡支箱梁正應力和扭轉角Table 3 Normal stresses and angle of twist of a simplysupported box girder subjected to an eccentric transverse load applied at mid-span

5 參數分析

第4 節所給數值算例僅考慮特定截面下不同計算模型/方法的分析精度，本節將揭示箱梁懸臂板寬及梁高變化對采用不同計算模型/方法得到的箱梁開、閉口截面應力影響規律。以算例4.2 的簡支箱梁為研究對象，假定箱梁仍然承受均布扭矩(mT=23.5 kN·m/m)的作用。

首先考慮箱梁懸臂板寬變化對應力的影響。當箱梁頂板寬度保持不變時，為改善箱梁頂板及懸臂板橫向受力，懸臂板與頂板寬度之比通常不超過0.5。因此，假定箱梁懸臂板寬從0 m 變化到3.5 m。圖4 給出簡支箱梁跨中截面④、⑤和⑥點(如圖1 所示)正應力隨懸臂板寬的變化規律。

圖5 給出簡支箱梁端部截面(x=30)頂板正中⑦號點和懸臂板中部⑧號點剪應力隨懸臂板寬的變化曲線。

從圖4 可知，無論箱梁懸臂板寬度如何變化，本文一維梁元和Umanskii 第二理論都能準確計算跨中截面翹曲正應力，得到和Shell-63 單元模型一致的結果，這是因為它們均能適用于描述箱梁板件翹曲變形。然而，當箱梁懸臂板寬較小時，Beam-189 單元模型無法描述箱梁閉口周邊對板件翹曲的約束效應，如圖4(a)和圖4(b)所示，閉口周邊④和⑤號點正應力的計算誤差較大。隨著懸臂板寬度增大，截面閉口周邊約束效應逐漸減小，Beam-189 單元結果趨向于準確解(當懸臂板寬b2=3.5 m 時，與Shell-63 單元結果完全重合)。此外，Beam-189 單元模型能較好地模擬懸臂板翹曲，如圖4(c)所示，懸臂板自由端⑥號點正應力結果具有較高精度，說明閉口約束效應對開口部分翹曲的影響可以忽略，這也進一步證明本文針對箱梁截面開、閉口部分采取不同翹曲參數是可行的。

圖4 簡支箱梁跨中截面翹曲正應力隨懸臂板寬度變化曲線Fig. 4 Correlations between the warping normal stresses at mid-span and the width of the cantilever slab of a simply- supported box girder

Umanskii 第二理論既能運用平衡關系(簡稱為U-I 類方法)，也可由剪應變及彈性本構關系(簡稱為U-II 類方法)計算剪應力。如圖5(a)所示采用U-I 類方法計算箱梁頂板⑦號點剪應力是依據文獻[5, 8, 18]給出的公式。從圖5(a)中可以看出，U-I 類方法由于忽略箱梁懸臂板翹曲而產生的閉口周邊附加剪流，將影響閉口周邊翹曲剪流精度，導致⑦號點剪應力隨著懸臂板寬的增加偏離準確解。U-II 類方法的精度有所改善，原因是并未考慮懸臂板剪流對閉口剪流分布的影響，其實質是計算箱梁板件平均剪應力。一維梁元及Beam-189 單元模型計算⑦號點剪應力則考慮閉口周邊受力平衡和開、閉口公共節點(⑤號點)剪流連續性條件。Beam-189 單元模型因忽略閉口約束效應產生的附加剪流，算得的剪應力均減小30%。一維梁元與Shell-63 單元模型結果吻合良好。此外，閉口周邊⑦號點剪應力對箱梁懸臂板寬度變化不敏感，這是因為決定截面抗扭剛度的閉口周邊扭轉與翹曲特征未發生變化。

圖5 簡支箱梁端截面(x=30)剪應力隨懸臂板寬度變化曲線Fig. 5 Correlations between the shear stresses at the right end and the width of the cantilever slab of a simply-supported box girder

由于本文提出的一維梁元及Beam-189 單元模型均基于懸臂板中面剪應變為零的假定計算翹曲變形，故懸臂板約束扭轉剪應力只能通過平衡關系而求得。如圖5(b)所示，一維梁元與Shell-63單元模型結果基本吻合，U-II 類方法由于受懸臂板附加剪流影響(算得的懸臂板自由端剪應力不為零)，剪應力結果已偏離準確解，只有當懸臂板寬較大時(附加剪流影響減小)，才能靠近準確解。采用U-I 類方法，剪應力精度有了明顯提升，但當懸臂板寬增大時，附加剪流引起的附加翹曲導致剪應力結果偏離準確解。Beam-189 單元模型算得的⑧號點剪應力在不同懸臂板寬條件下均大于Shell-63 單元模型結果，這是因為其忽略閉口周邊附加剪切變形，降低截面自由扭轉力矩，從而增大約束扭轉力矩，導致約束扭轉剪應力結果偏大。

接下來考慮箱梁高度變化對應力的影響。假定箱梁懸臂板及頂板寬度與算例4.2 一致。為了避免閉口周邊寬高比過大或過小帶來畸變效應，影響Shell-63 單元模型約束扭轉分析精度?在板殼元模型內部等間距設置橫隔板。圖6 給出箱梁跨中截面典型節點(④、⑤和⑥點)翹曲正應力隨梁高的變化曲線。可以看出各模型/方法計算的截面正應力在不同梁高條件下均吻合良好，說明本文一維梁元和Umanskii 第二理論能準確地描述不同梁高條件下箱梁板件翹曲特征。前文已指出，當箱梁懸臂板較寬(b2>2.4 m)時，閉口周邊約束效應已減弱，即便梁高增加后(扭轉和抗翹剛度增加)，由于箱梁腹板難以產生彎翹(板件面內剛度增加)，閉口周邊約束效應無法顯現，Beam-189 單元模型結果充分接近準確解。同時，這也解釋了梁高增加后，閉口周邊翹曲位移及正應力可以忽略(如圖6(a)和圖6(b)所示)。

圖6 簡支箱梁跨中截面翹曲正應力隨梁高變化曲線Fig. 6 Correlations between the warping normal stresses at mid-span and the height of a simply-supported box girder

箱梁頂板⑦號點剪應力隨梁高變化規律如圖7(a)所示。與變化箱梁懸臂板寬度的情形類似，Beam-189 單元模型結果因忽略閉口約束效應產生的附加剪流，算得的剪應力偏小。當梁高增加后，由于閉口周邊約束效應減弱，剪應力計算精度明顯提高。對于U-I 類方法，當梁高較小時，附加剪流將引起剪應力計算誤差。隨著梁高增加，因封閉周邊抗翹能力顯著增強，剪應力結果趨近準確解。U-II 類方法因未考慮懸臂板剪流對閉口周邊剪流分布的影響，相比U-I 類方法精度有所改善。

圖7 簡支箱梁端截面(x=30)剪應力隨梁高變化曲線Fig. 7 Correlations between the shear stresses at the right end and the height of a simply-supported box girder

箱梁懸臂板⑧號點剪應力隨梁高變化曲線如圖7(b)所示。本文一維梁元與Shell-63 單元模型結果在梁高h<2.5 m 時吻合良好。隨著梁高增加，因閉口周邊翹曲迅速減小，懸臂板受力趨向平面應力狀態，一維梁元精度有所降低。U-I 類方法因受懸臂板附加剪流的影響，在梁高較小時偏離準確解，隨著梁高增大，附加剪流的影響不斷減弱，又趨向準確解。U-II 類方法因無法反映剪應力沿懸臂板寬變化，與準確解存在明顯差別。Beam-189 單元模型計算的翹曲剪應力顯著偏大，因其忽略閉口周邊附加剪切變形，從而增大約束扭轉力矩。當梁高增大后，由于閉口周邊抗扭和抗翹剛度顯著增加，附加剪切變形減小，剪應力與準確解的差距隨之減小。

6 結論

本文針對開閉口混合薄壁截面桿件約束扭轉分析問題，假定開、閉口截面采用不同翹曲參數?？紤]開、閉口部分翹曲連續性條件和截面受力平衡，提出協調翹曲模型。依據勢能不變值原理，建立開閉口混合薄壁截面桿件約束扭轉分析的一維有限元列式。通過算例分析，論證本文提出的一維梁元具有較高精度。隨后開展了不同懸臂板寬和梁高條件下薄壁箱梁截面應力精度分析，對一維梁元、Umanskii 第二理論、Beam-189 單元模型和Shell-63 單元模型性能進行了比較。本文提出的基于協調翹曲場一維梁元具有如下特點：

(1) 與Beam-189 單元模型相比，可以考慮閉口周邊對截面翹曲的約束效應，提高箱梁截面正應力與剪應力計算精度。

(2) 與Umanskii 第二理論相比，可以滿足開口部分自由端剪應力為零的條件，消除懸臂板和閉口周邊“虛擬”附加剪流的影響，提高截面剪應力計算精度。