圓形隧道橫斷面地震響應簡化解析方法的數值驗證

趙 密，邵偉昂，黃景琦，杜修力，王 媛

(1. 北京工業大學城市與工程安全減災教育部重點實驗室，北京 100124；2. 北京科技大學土木與資源工程學院，北京 100083)

隧道作為我國山區的生命線工程，在國家基礎設施建設中占有重要作用。由于隧道埋置于土體或巖體介質中，相較于地上結構，以往的研究者認為隧道結構具有較好的抗震性能。但在近幾次大地震中，如Kobe(1995)、Chichi(1999)和Wenchuan(2008)等地震，很多的隧道結構遭受嚴重破壞，造成了大量的人員傷亡及財產損失[1?3]。因此，在隧道結構安全性設計中除需考慮周圍巖土體的靜力荷載外，還需考慮地震帶來的附加地震荷載。對隧道設計者而言，簡單有效的隧道內力及變形計算方法對隧道抗震設計尤為重要[4?5]。

目前隧道抗震設計主要有以下三種方法：數值分析方法、模型試驗方法和簡化解析方法。數值分析方法包括動力時程分析方法[6? 7]及擬靜力簡化分析方法(如整體式反應位移法[8]、Pushover分析方法[9]等)，其優點為可考慮眾多復雜條件，但對設計者的數值計算理論和軟件操作能力要求較高；模型試驗[10]通過相似比設計可很好的反應真實情況，但周期長、費用高，較難在實際工程設計中大規模采用；相較于前兩種方法，簡化解析方法由于能夠給出隧道地震內力及變形的計算公式，可快速對隧道地震反應進行計算，因此在隧道結構的初步設計中得到廣泛應用。Hoeg[11]提出了地震荷載作用下圓形隧道軸力、彎矩和位移的解析解；Einstein 等[12]推導了無窮遠處剪應力作用下圓形地下結構的應力和變形；Wang[13]考慮了土-結構相互作用，分別給出了圓形和矩形地下結構的內力求解公式；Penzien[14]基于梁單元假設，提出了一種矩形隧道和圓形隧道內力及變形的解析方法；Bobet[15? 16]考慮隧道處于飽和沉積物中并受到快速加載的地震荷載，分別針對排水與不排水條件推導了圓形隧道內力的計算公式。另外，Park 等[17]通過引入接觸剛度系數，推導了能夠考慮土體與地下結構不同接觸條件下的靜力解析解。

由于能夠簡便快捷的計算隧道襯砌的抗震設計內力，簡化的解析方法常在初步設計中被用于估算隧道的內力與變形。然而上述各簡化解析方法的求解公式并不完全相同，不同解析方法對隧道內力與變形的計算結果甚至出現相差較大的情況。因此，需對此類簡化解析公式的準確性進行必要的對比驗證。Hashash 等[18]指出在土體與結構接觸完全滑動的情況下，Wang 和Penzien 的方法計算結果一致，而當土體與結構處于完全綁定的情況下，Wang 的計算結果明顯高于Penzien 的計算結果；Sedarat 等[19]在無滑移條件下通過將Wang和Penzien 的解析解與擬靜力有限元的數值結果進行對比，得出Penzien 的解析解嚴重低估了隧道軸力；Kontoe 等[20]同樣通過擬靜力有限元數值模擬，考慮不同的接觸狀態及不同的土-結構相對剛度，對Wang、Penzien、Bobet 和Park 等四種方法進行了較為系統的驗證。在國內，晏啟祥等[21]、賓佳[22]對簡化解析方法也進行了相關的驗證。上述驗證工作通常采用擬靜力有限元模型對簡化解析方法進行數值驗證，將地震荷載等效為均勻的剪應變或剪應力，并忽略結構慣性效應及隧道對地震波的散射作用。而實際地震作用下的隧道結構響應為一種動力響應過程，需考慮地震傳播的時空效應、結構的慣性效應及散射場作用[23?24]。另外，簡化解析方法假定結構埋置于無限巖土體中，未考慮實際工程中地表對淺埋結構的影響。因此，采用理論上相對較為完備的近場波動有限元方法，開展不同場地土類別及不同埋深下簡化解析方法對隧道內力預測精度的驗證，給出簡化解析方法的適用條件及計算精度具有重要的工程意義。

本文采用近場波動有限元方法對隧道地震響應進行模擬求解。其中，以黏彈性人工邊界條件模擬無限域的輻射阻尼效應，以等效節點力方法模擬地震動的波動輸入。最終，以數值模擬結果為標準解，對Wang、Bobet 和Park 等3 種經典簡化解析方法在不同的場地土類別及不同埋深下的精度及適用條件進行研究。

1 圓形隧道橫斷面地震響應簡化解析方法

當圓形隧道橫斷面受豎向入射剪切波作用時，簡化解析方法通常假設隧道-圍巖土系統的周邊遠場地層處于純剪狀態，如圖1(a)所示。圓形隧道此時的變形為一種橢圓形的剪切變形，如圖1(b)所示。此時隧道內力取決于遠場剪應力的大小及圍巖土-結構的相對剛度。為描述圍巖土與結構之間的相對剛度，Wang[13]通過采用壓縮比C和柔度比F兩個參數對隧道結構與周圍圍巖土介質的相對剛度進行量化。隧道襯砌的內力與變形是壓縮比C和柔度比F的函數。壓縮比C和柔度比F的表達式為：

式中：下標m 和l 分別代表圍巖土和隧道襯砌；E和ν分別表示介質的彈性模量與泊松比；r和t分別表示隧道半徑及襯砌厚度；I為隧道襯砌的截面慣性矩。

圖1 簡化解析方法的分析模型Fig.1 Analytical model of simplified analytical method

對于圍巖土與結構的接觸條件，簡化解析方法中往往假定為完全無滑移和全滑移兩種接觸條件，且兩種接觸條件預測內力的結果往往差異較大[20]。實際工程中圍巖土介質與隧道襯砌接觸面較為粗糙，不可能處于完全滑移狀態，因此全滑移接觸的假設與實際情況差距較大。杜修力等[25]研究結果表明在小震情況下接觸面粗糙程度對地下結構橫斷面地震響應影響并不顯著，因此本文僅討論無滑移條件下簡化解析方法的精度。

1.1 Wang 的解析解

Wang[13]給出了在完全滑移狀態及無滑移狀態

在無滑移條件下，Wang 未給出彎矩的公式，但建議可采用全滑移下的彎矩公式進行求解。

1.2 Bobet 的解析解

1.3 Park 的解析解

2 近場時域波動有限元方法

在近場時域波動有限元方法中，通常在模型截斷邊界處設置人工邊界條件來模擬無限域的輻射阻尼效應。相對于黏性邊界[26]與透射邊界[27?28]，黏彈性邊界[29? 30]能夠較好地模擬無限域地基的彈性恢復性能和輻射阻尼效應，且在有限元軟件中方便實現。另外，地震動作為外源荷載通常采用等效節點力的方法進行施加[31?32]。因此，考慮人工邊界條件的近場時域波動有限元的控制方程可寫為[24]：

式中：下標I和B分別表示內部節點和人工邊界節點；U、U˙ 和U¨分別為位移、速度和加速度；M、C和K分別為質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；FB為截斷邊界節點上的地震荷載向量；FI為內部節點上的荷載向量。子矩陣CB和KB為黏彈性人工邊界的對角矩陣。對于人工邊界上的特定節點l，對角矩陣[CB]l和[KB]l的對角項為黏彈性人工邊界的彈簧-阻尼元件參數，其表達式為[29]：

3 簡化解析方法的數值驗證

3.1 時域波動有限元分析模型建立

采用通用有限元程序ABAQUS[33]，建立圓形隧道橫斷面的二維有限元分析模型，如圖2 所示，模型寬度為120 m。為討論隧道埋深的影響，隧道拱頂至地表的距離H分別設定為1 m、3 m、5 m、7 m、10 m、17 m、27 m、37 m、47 m、57 m、67 m 和77 m。隧道襯砌外半徑為3 m，襯砌厚度為0.3 m。在模型底部和兩側施加黏彈性人工邊界條件來模擬無限域的輻射阻尼效應。具體方法為在人工邊界面所有單元節點上，分別在法向和切向上施加并聯的彈簧單元與阻尼單元。彈簧單元與阻尼單元的參數通過式(17)進行求解。圍巖土體介質及隧道襯砌均采用平面應變單元模擬。圍巖土體介質與隧道襯砌的接觸面采用完全綁定約束以模擬無滑移接觸條件。

圖2 計算模型Fig. 2 Computation model

巖土體和隧道襯砌均采用線彈性本構模型，隧道襯砌密度為2500 kg/m3，泊松比為0.2，彈性模量為24.8 GPa。假定結構周圍場地為均勻、各向同性介質。為研究場地中不同巖土體類別對簡化解析方法精度的影響，參考《城市軌道交通結構抗震設計規范》(GB50909?2014)[34]，選取軟弱土、中軟土、中硬土、堅硬土或軟巖和巖石等五種類別的巖土體，場地密度為2500 kg/m3，泊松比為0.25，每種巖土體類型選取2 組參數。巖土體介質的彈性模量、剪切波速及相應的柔度比見表1所示。

表1 場地巖土體參數Table 1 Parameters of surrounding ground

輸入地震動為1995 年日本阪神地震中的Kobe波，其加速度時程曲線見圖3 所示。截取能反映Kobe 波地震特性的前20 s 進行輸入，加速度峰值6.114 m/s2。地震波作為剪切波從模型底部開始輸入，傳播方向沿豎向垂直傳播。

圖3 輸入的Kobe 波加速度時程曲線Fig. 3 Acceleration time-history of the incident Kobe waves

3.2 簡化解析方法的精度驗證

3.2.1 隧道軸力Tmax

圖4 給出了不同埋深及不同柔度比下隧道峰值軸力的數值模擬結果與各簡化解析方法的計算結果。從圖4 中的數值解可以看出，隨著柔度比增加，即隨著場地巖土體逐漸變硬，隧道軸力具有先增加后減小的規律。

三種簡化解析方法具有相同的軸力預測值，且預測結果與數值模擬結果具有相同的變化趨勢。對比數值結果與三種解析結果可以看出，在埋深較淺情況下(即H≤10 m)，小柔度比下的解析解與數值解差距較大，解析解嚴重高估了隧道軸力，但隨著柔度比的增加，解析解與數值解的差距逐漸減小。對于埋深較深的情況(即H>10 m)，解析解的軸力小于數值結果，說明此時解析解低估了隧道軸力。另外，解析解在較小柔度比和較大柔度比情況下與數值解均吻合較為良好，但在中間柔度比下兩者吻合程度稍差，即大埋深情況下，解析解與數值解吻合程度隨柔度比增加具有先減小后增加的規律。

為定量描述簡化解析方法預測軸力與數值解軸力之間的相對誤差，現定義誤差R如下：

式中：TmNax為數值解；TmAax為簡化解析解。

由于Wang、Bobet 和Park 三種方法預測軸力相同，其誤差值R也相同。表2 中給出了不同柔度比(即不同的場地土類別)及不同埋深下的軸力誤差R。從表2 中可以看到，當隧道埋深較淺時，解析解預測的軸力誤差往往較大，且誤差大小隨柔度比的增加而減小，即場地土越硬則預測誤差越小。當隧道埋深較深時，解析解誤差明顯小于埋深較淺的情況。表2 中灰色值均為誤差R超過15%的情況。若以誤差小于15%為可接受的標準，簡化解析方法在軟弱土、中軟土、中硬土、堅硬土或軟巖和巖石五類場地土中用于預測隧道軸力的隧道埋深需分別大于5 m、3 m、3 m、1 m和1 m。

圖4 不同埋深H 及不同柔度比F 下數值解與各簡化解析解的軸力Fig. 4 Tunnel thrusts by numerical modelling and analytical solutions under different depths H and flexibility ratios F

表2 不同埋深H 及不同柔度比F 下簡化解析解的軸力誤差R /(%)Table 2 Errors R of these three analytical solutions for tunnel thrusts under different depths H and flexibility ratios F

3.2.2 隧道彎矩Mmax

不同埋深及不同柔度比下隧道的峰值彎矩如圖5 所示。從圖5 中的數值解可以看出，隧道處于軟弱土和中軟土中的彎矩明顯大于隧道處于巖石場地中的情況。當埋深H≤17 m 和H≥67 m時，隧道軸力隨柔度比的增加而減小。而當埋深處于17 m

圖5 不同埋深H 及不同柔度比F 下數值解與各簡化解析解的彎矩Fig. 5 Tunnel bending moments by numerical modelling and analytical solutions under different depths H and flexibility ratios F

三種簡化解析方法預測的隧道軸力隨柔度比和埋深的變化與數值解具有相同的變化趨勢。Bobet 方法與Park 方法預測的彎矩值相同，但小于Wang 方法的預測值。三種方法的預測彎矩均大于數值解，說明三種解析方法都高估了隧道彎矩，其中Wang 方法對彎矩預測的偏差最為嚴重。另外，對于同一埋深情況，隨著柔度比增加三種簡化解析方法的彎矩與數值模擬結果逐漸接近。在柔度比較大的情況下，如堅硬土場地和巖石場地，簡化解析解與數值解基本重合。

為定量描述簡化解析方法在預測彎矩時的誤差，采用式(19)中定義的誤差R進行描述。表3中給出了不同柔度比及不同埋深下的Wang 方法的彎矩誤差R。表4 中給出了相應的Park 方法和Bobet 方法的彎矩誤差R。從表3 中可以看出，Wang 方法的誤差在大多數情況下均較大，僅在巖石場地中誤差相對較小。因此，在實際設計中采用Wang 方法對彎矩進行計算并不合適。

表3 不同埋深H 及不同柔度比F 下各Wang 解析解的彎矩誤差R /(%)Table 3 Errors R of Wang’s analytical solution for tunnel bending moments under different depths H and flexibility ratios F

相對于Wang 的方法，表4 中Bobet 方法和Park 方法的誤差明顯較小。與表2 中軸力的規律相似，淺埋情況下的彎矩誤差大于深埋的情況。隨著柔度比增加，即場地土逐漸變硬時，Bobet 與Park 的誤差整體具有減小的趨勢。在巖石類場地中，即使隧道拱頂距地表僅為1 m 時，彎矩誤差仍然處于10%以內。表4 中灰色值均為誤差超過15%的情況。同樣以誤差小于15%為可接受誤差，簡化解析方法在軟弱土、中軟土、中硬土、堅硬土和巖石等五類場土中采用Bobet 方法或Park 方法預測隧道彎矩，隧道埋深需要分別大于10 m、5 m、5 m、1 m 和1 m。

表4 不同埋深H 及不同柔度比F 下Bobet 與Park 解析解的彎矩誤差R /(%)Table 4 Errors R of Bobet’s and Park’s analytical solution for tunnel bending moments under different depths H and flexibility ratios F

4 結論

本文采用時域波動有限元方法，研究了3 種經典簡化解析方法對圓形隧道橫斷面地震內力計算的準確性。無滑移條件下，通過對不同場地土類別及不同埋深情況下的對比驗證，得到如下結論：

(1) Wang、Bobet 與Park 三種簡化解析方法對隧道軸力的預測值相同。在埋深較淺情況下(即H≤10 m)，小柔度比下的解析解與數值解差距較大，解析解嚴重高估了隧道軸力，但隨著柔度比增加，解析解與數值解差距逐漸減小。在埋深較深情況下，解析方法預測軸力小于數值計算軸力，隨柔度比的增加，解析解與數值解的吻合程度具有先減小后增加的規律；

(2) Bobet 方法與Park 方法預測的彎矩值相同，且小于Wang 方法預測的彎矩。三種方法預測彎矩值均大于數值解，說明三種解析方法都高估了隧道彎矩，其中Wang 方法的預測值偏差最為嚴重。另外，對于同一埋深情況，隨著柔度比增加三種簡化解析方法預測彎矩的精度逐漸增加；

(3) 綜合考慮對隧道軸力與彎矩的預測精度，相對Wang 的方法，Bobet 與Park 方法更適合用于隧道內力計算。對于軟弱土、中軟土、中硬土、堅硬土和巖石等五種類別的場地土，隧道埋深分別大于10 m、5 m、5 m、1 m 和1 m 時，Bobet與Park 方法的軸力與彎矩誤差均能小于15%。

本文數值模擬中圍巖土及隧道結構均采用線彈性模型，而在強震情況下場地土及隧道結構往往會進入一定程度的非線性，對于非線性情況下的驗證工作將更加具有工程價值。另外，本文針對不同場地土條件均采用同一條地震記錄輸入，而在實際地震中，不同場地類別的地震記錄往往存在較大差異。因此，針對不同場地土類別，選用相應的地震記錄作為輸入地震動也將在后續工作中持續完善。