帶固定效應(yīng)空間誤差面板數(shù)據(jù)模型的經(jīng)驗(yàn)似然推斷

周 婷,秦永松

(廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣西桂林 541006)

1 引言

空間計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)是在區(qū)域經(jīng)濟(jì)模型中處理由于空間因素導(dǎo)致的特殊性質(zhì)的一系列方法[1].空間計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)可應(yīng)用于區(qū)域科學(xué)、地理經(jīng)濟(jì)學(xué)、城市經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域,具體來說,如研究區(qū)域經(jīng)濟(jì)、房屋價(jià)值、人均收入等問題.空間面板數(shù)據(jù)模型是空間計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中經(jīng)典模型之一,它同時(shí)考慮了空間相關(guān)性和時(shí)間依賴性,將傳統(tǒng)的時(shí)間序列方法、橫截面數(shù)據(jù)方法以及普通面板數(shù)據(jù)模型進(jìn)行綜合,學(xué)者們對(duì)此模型也進(jìn)行了諸多研究.如Elhorst[2]研究了空間面板數(shù)據(jù)模型的分類和估計(jì)問題;Kapoor等[3]研究了誤差項(xiàng)是空間自相關(guān)的面板數(shù)據(jù)模型的參數(shù)估計(jì);Yu等[4]研究了帶固定效應(yīng)空間動(dòng)態(tài)面板數(shù)據(jù)模型的擬極大似然估計(jì)(QMLE);Lee和Yu[5]進(jìn)一步研究了帶固定效應(yīng)的空間自回歸面板數(shù)據(jù)模型的QMLE,并提出正交轉(zhuǎn)換的間接估計(jì)方法;文利霞[6]研究了空間誤差面板數(shù)據(jù)模型的擬極大似然估計(jì)及其漸近性質(zhì);戴曉文等[7]基于工具變量法研究了含有個(gè)體固定效應(yīng)的空間誤差面板數(shù)據(jù)模型參數(shù)的分位回歸估計(jì),并與均值回歸方法做比較,結(jié)果表明在處理空間面板數(shù)據(jù)時(shí)工具變量回歸估計(jì)方法優(yōu)于均值回歸方法;Qin[8]研究了空間誤差模型的經(jīng)驗(yàn)似然估計(jì).由于人為或者客觀原因,我們得到的數(shù)據(jù)不一定是完整的;Wang和Lee[9]研究了數(shù)據(jù)隨機(jī)缺失情形下空間面板數(shù)據(jù)模型的廣義矩估計(jì)、非線性最小二乘估計(jì)和兩階段最小二乘估計(jì)估計(jì),并對(duì)這三種估計(jì)方法得到的結(jié)果進(jìn)行了比較;于力超和金勇進(jìn)[10]研究了數(shù)據(jù)缺失機(jī)制為非隨機(jī)缺失情形的面板數(shù)據(jù)參數(shù)估計(jì)方法.

對(duì)空間計(jì)量模型進(jìn)行估計(jì),使用比較多的估計(jì)方法是(擬)極大似然估計(jì)法(如文獻(xiàn)[4,5,11])、廣義矩估計(jì)法(如文獻(xiàn)[9,13])、兩階段最小二乘法(如文獻(xiàn)[9,13])等.空間計(jì)量模型的理論和應(yīng)用研究均比較深入且成熟.經(jīng)驗(yàn)似然是Owen[14]于1988年在完全樣本下提出的一種非參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷方法,其是在一定約束條件下將參數(shù)似然比極大化,有類似于Bootstrap的抽樣特性.經(jīng)驗(yàn)似然方法應(yīng)用廣泛,可應(yīng)用于各種統(tǒng)計(jì)模型,學(xué)者們對(duì)經(jīng)驗(yàn)似然也進(jìn)行了諸多研究.Owen[15,16]將經(jīng)驗(yàn)似然應(yīng)用到線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)推斷;石堅(jiān)[17]運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)似然方法修正了線性相關(guān)模型中誤差方差的傳統(tǒng)最小二乘估計(jì),修正后的估計(jì)的漸近方差比傳統(tǒng)估計(jì)的更小;Cui和Chen[18]將經(jīng)驗(yàn)似然應(yīng)用到線性變量含誤差模型;Kostov[19]研究了空間分位數(shù)回歸模型的經(jīng)驗(yàn)似然推斷;陳燕紅[20]研究了時(shí)間序列模型的經(jīng)驗(yàn)似然推斷.據(jù)我們所知,目前尚沒有研究面板數(shù)據(jù)空間計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的文獻(xiàn)報(bào)導(dǎo).于是,本文探討空間面板數(shù)據(jù)模型的經(jīng)驗(yàn)似然推斷,在正則條件下構(gòu)造了空間面板數(shù)據(jù)模型的經(jīng)驗(yàn)似然統(tǒng)計(jì)量,證明了該統(tǒng)計(jì)量的極限分布為卡方分布.

2 空間面板數(shù)據(jù)模型

一般的空間面板數(shù)據(jù)模型[5]

其中Ynt=(y1t,···,ynt)′為n×1維被解釋變量;Xnt為n×k維非隨機(jī)解釋變量向量;β為k×1維系數(shù)向量.Mn和Wn均為n×n維空間權(quán)重矩陣,其中mij為矩陣Mn的(i,j)元素,mii=0;wij為矩陣Wn的(i,j)元素,wii=0.Unt為n×1維固定效應(yīng)向量.Vnt為自相關(guān)誤差項(xiàng).εnt=(ε1t,ε2t,···,εnt)′為n×1 維隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng),其分量的均值為 0,協(xié)方差為σ2,且獨(dú)立同分布.ρ和λ為空間相關(guān)系數(shù).在本文中,“′”表示矩陣轉(zhuǎn)置.

由于t=1,···,T,模型(2.1)可改寫為[1]

(1)當(dāng)λ=0時(shí),模型(2.2)即為空間滯后面板數(shù)據(jù)模型

(2)當(dāng)ρ=0時(shí),模型(2.2)即為空間誤差面板數(shù)據(jù)模型

3 空間誤差面板數(shù)據(jù)模型的經(jīng)驗(yàn)似然估計(jì)

為了完整性,我們重述空間誤差面板數(shù)據(jù)模型

為了描述方便,我們重新記nT×k維解釋變量向量

記RnT(λ)=InT-λ(IT?Wn),且為nT×nT維向量,為1×nT維向量.假設(shè)RnT(λ)可逆,則模型(3.1)可改寫為

其中ε=R(λ)(Y-Xβ-U).被解釋變量Y的擬對(duì)數(shù)似然函數(shù)

其中ε=RnT(λ)(Y-Xβ-U).

令GnT=(IT?Wn)R-1(λ)且均為nT×nT維矩陣,且是對(duì)稱矩陣.由文獻(xiàn)[1]可得

令以上偏導(dǎo)數(shù)等于0,我們有以下式子

分別用gij和表示矩陣GnT和的(i,j)元素,用bi表示矩陣X′R′(λ)的第i列,用ri表示矩陣R′nT(λ)的第i列.由于X′R′(λ)=(R(λ)X)′,根據(jù)X及R(λ)的表達(dá)式可知,bi和ri分別為

其中i=1,2,···,nT.

我們規(guī)定,當(dāng)求和符號(hào)的上標(biāo)等于0時(shí)我們令該和為0.為將(3.4)式的二次型轉(zhuǎn)化為線性形式,引入一個(gè)鞅差序列[21].定義σ-域:1≤i≤nT.令

令

其中ωi(θ)為(k+nT+2)×1維,為ε=RnT(λ)(Y-Xβ-U)的第i部分.由Owen[15],有

其中γ(θ)∈Rk+nT+2是下面等式的解

(A1)n為無限大常數(shù),T為有限常數(shù)[6].

(A3)RnT(λ)為非奇異矩陣.

(A4)矩陣Wn,RnT(λ)元素的絕對(duì)值的行和與列和均一致有界.

(A6)存在常數(shù)C1,C2,使其中λmin(A),λmax(A)分別表示矩陣A的最小和最大特征值.Σk+nT+2表示如下

注(A1)源于文獻(xiàn)[6],本文考慮n無限而T有限的情形.(A2)和(A3)是空間面板數(shù)據(jù)模型的常見假設(shè),如Lee和Yu[5],Yu等[4,22].(A3)保證(3.2)的表示方法是有效的.(A4)源于Kelejian和Prucha[21,23],在Lee[13]中也有用到.(A5)和(A6)保證了本文的QnT滿足假設(shè)條件C2.

引理1[15]令ξ1,···,ξnT是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)變量序列,且對(duì)常數(shù)s＞0有E|ξ1|s＜∞,那么a.s.

證見文獻(xiàn)[15]中引理3的證明.

引理2的準(zhǔn)備需要用到文獻(xiàn)[21]中的定理1,我們對(duì)此定理做以下描述.考慮線性二次型

其中∈ni是(實(shí)值)隨機(jī)變量,anij和bni分別代表二次型和線性形式的(實(shí)值)系數(shù).需要以下假設(shè).

(C1)實(shí)值隨機(jī)變量序列{∈ni,1≤i≤n,n≥1}滿足E(∈ni)=0,且對(duì)每一個(gè)n≥1隨機(jī)變量∈n1,···,∈nn完全獨(dú)立.且存在δ1＞0使

(C2)對(duì)所有1≤i,j≤n,n≥1有anij=anji,存在δ＞0,有2

引理2若假設(shè)條件(C1)和(C2)成立,且存在常數(shù)C＞0滿足則

證見文獻(xiàn)[21]中的定理1.

引理3若假設(shè)條件(A1)–(A6)滿足,那么當(dāng)n→∞時(shí),

證見第四章.

定理1在(A1)–(A6)假設(shè)條件下,當(dāng)n→∞時(shí),有

證令γ(θ)=γ,ρ0=‖γ‖,γ=ρ0η0.下面證明‖γ‖=Op((nT)-1/2).由 (3.10)式,有

即

則有

4 引理3的證明