關于一類新型Dedekind和的混合均值

王曉瑛,宋亞飛

(西北大學數學學院,陜西 西安 710127)

1 引言與結論

設k為正整數,h為任意整數.經典Dedekind和的定義如下

此處

其中[y]表示不超過y的最大整數.

關于Dedekind和的最重要的性質,是互反公式.即對于互素的正整數h和k,有

Dedekind[1]基于logη(τ)的變換公式,給出了上式的第一個證明.Rademacher[2],Berndt[3-5]和Dieter[6]都分別給出了這個互反公式的不同證明.

張文鵬等人研究了Dedekind和的混合均值,并得到了較強的漸近公式如下.

命題1.1[7]對于整數q≥3,有

命題1.2[8]設整數n≥1,p為素數,k=pn.則有

設f為正整數,χ為模f的Dirichlet特征.定義新型Dedekind和如下

本文將給出s(h,k;χ)的混合均值的漸近公式.主要結論如下.

定理1.1設f為正整數,p＞2為素數,滿足(f,p)=1.設χ為模f的Dirichlet特征,滿足χ(-1)=1.則有

定理 1.2.設f為正整數,p＞2為素數,滿足(f,p)=1.設χ為模f的Dirichlet特征,滿足χ(-1)=1.則有

2 一些引理

引理2.1設f,k為正整數,h為任意整數,滿足(fk,h)=1與(f,k)=1.設χ為模f的Dirichlet原特征.則有

證對任意實數y,由文獻[9]中的定理3.1可知

此外當0≤x＜1時,有其中e(y)=e2πiy. 因此

注意到χ為模f的原特征,以及(fk,h)=1,(f,k)=1.可得

再由特征和的正交性質,有

引理2.1證畢.

3 定理1.1的證明

4 定理1.2的證明