兩類帶狀態依賴脈沖效應的捕食-食餌模型的動力學

劉艷

【摘 要】 文章主要分析了兩類帶狀態依賴脈沖效應的捕食-食餌模型，通過對其進行討論分析，探究了在投放與不投放天敵狀況之下系統周期的穩定性以及存在性問題，獲得了對應的控制參數臨界值，通過對其進行模擬分析，為相關研究提供參考與支持。

【關鍵詞】 兩類;帶狀態依賴脈沖效應的捕食;食餌模型;動力學

探究兩類帶狀態依賴脈沖效應的捕食-食餌模型的動力學，利用生物數學的方式進行食餌模型的分析，可以達到優化參數的目的。對此，通過分析兩類不同的食餌模型，在生物數學的支持之下，研究分析其內在的規律特征，有利于生態保護工作的開展。

一、兩類帶狀態依賴脈沖效應的捕食研究分析

生物數學就是通過數學知識解決生物問題的重要學科，其融合了生物學以及數學專業知識，主要是通過數學方法以及技巧解決生物學的問題，在理論上對其進行深入研究，有利于當代生物學的發展及在各個領域中的廣泛應用。生物動力學是生物數學中較為重要的分支學科，通過研究分析生物系統中相關生物以及狀態在不同時間中產生變化的規律特征，利用對應的差分方程、時滯微分方程以及脈沖微分方程等相關微分動力系統對生物系統進行描述分析。

隨著生態問題日益嚴重，人們的生產生活也受到了不同程度的影響，通過微分動力系統進行生物模型，可以充分了解生物種群以及生態系統中產生的變化規律，進而為人力保護生態環境、害蟲治理以及預防生態系統等提供有效的參考與支持。對此，通過微分動力系統進行生物模型研究具有重要的價值。

二、探究兩類帶狀態依賴脈沖效應的捕食-食餌模型的動力學

根據實際狀況分帶狀態依賴脈沖效應的型捕食-食餌模型，利用首次積分以及數學方式分析討論此模型的正周期解及其存在的穩定條件，證明了系統正周期解或者不存在及其在存在但是不穩定狀況中的狀況，表明了此模型在生物脈沖中的必要性，也就是在害蟲數量達到特定閾值或者小于某個數值的時候，要投放特定量的天敵，則可以達到控制病蟲數量的目的，通過結果分析論證了在產生生物脈沖系統的時候正周期解的穩定條件，在理論上優化了傳統的方式。

1.HollingII型捕食-食餌模型分析

治理害蟲是生態學以及生物數學中較為復雜的問題，在環境變化、人類行為的作用與影響之下，會造成生物數量出現不同程度的變化，這種變化會產生不同程度的影響。對此，可將動力學系統與脈沖融合，將常微分系統轉化處理形成對應的脈沖微分系統。同理，治理害蟲中通過噴灑農藥以及投放天敵的方式會在短時間中減少害蟲數量，這樣就會產生對應的帶脈沖效應的捕食-食餌模型。多數系統分析的都是固定時刻中產生的脈沖，也就是在固定的時刻中進行處理，每次采取措施的時間也是固定的。在一些生物模型中，在害蟲數量達到某個特定閾值的時候才會采取一些措施。對此，一些學生就對狀態依賴脈沖微分系統進行了研究分析，在害蟲數量達到閾值的同時噴灑農藥或者投放天敵，就會忽略殺蟲劑對天敵產生的影響，也就是殺蟲劑在殺死害蟲的同時也會殺死天敵，這樣就會增加成本。同時，忽略天敵對害蟲產生的控制與影響，只要害蟲數量已經達到了閾值就進行處理，此種方式缺乏合理性，主要是因為一些害蟲數量雖然達到了閾值要求，但是并沒有達到必須要應用殺蟲劑控制的時候，可以通過生物方式進行控制，這樣就會減少農藥造成的污染與影響，也可以有效地控制害蟲數量。因此，在不同時刻中投放天敵以及噴灑農藥的生物模型便產生了。在害蟲數量達到閾值的時候，通過投放天敵的方式可以有效地減少害蟲的增加速度;在害蟲數量呈現持續增加并達到了更大的閾值的時候再噴灑農藥，就會在短時間內減少害蟲的數量。在噴灑農藥之后也會減少天敵的數量，其主要生物模型如下：

害蟲數量在達到一定閾值的時候投放天敵，則害蟲數量不變，但是天敵數量增加，就會減少害蟲數量增加的速度。在害蟲數量增加到一定閾值的時候通過殺蟲劑進行控制處理，就會減少害蟲的數量以及天敵的數量。

通過構建Poincare的方式映射，通過定性分析的方式進行處理，則可以確定系統在半平凡周期解中存在以及穩定狀況之下的正周期解存在的條件參數，為了驗證結論是否正確，就要對其進行數值模擬分析。通過分析可以發現，不投放天敵狀況之下，每次噴灑殺蟲劑數量對于害蟲的控制系數較大的時候，可以將害蟲的數量控制在（0.3，0.6）的區間范圍內，殺蟲劑也會對天敵產生影響。因此，天敵數量在時間的推移之下會逐漸趨于零，系統呈現平衡的狀態。但是，如果每次噴灑殺蟲劑數量較小，其對于天敵的作用不大，在此種狀況之下，天敵會呈現自然繁衍狀況，害蟲則會被有效消滅。而天敵數量的增加也會造成系統崩潰的問題出現，因此，如果想要合理地控制害蟲的數量，保持系統平衡性，就要合理控制殺蟲劑數量，將害蟲與天敵的數量控制在可控的范圍內。

通過設置兩個脈沖面的方式進行模型改進優化，利用幾何方法以及定性分析幾何的方式研究系統，是一種全新的方式。

2.一類帶脈沖狀態依賴的一型捕食-食餌模型的動力學分析

捕食-食餌模型動力學分析是研究的重點內容。為了達到減少病蟲數量的目的，人們通過定期噴灑農藥或者投放天敵的方式進行處理，通過在固定的時刻中同時投放天敵或者噴灑農藥的方式進行處理是研究的重點。但是如果沒有分析害蟲數量，就盲目地定期處理缺乏實踐性，不僅會增加成本，也會造成環境污染。因此，相關學者提出在害蟲數量達到一定數值的時候再進行控制的狀態依賴脈沖控制系統，此種方式雖然有效，但是因為其沒有分析農藥對天敵產生的影響，導致農藥造成天敵的死亡。分析在不同時刻中噴灑農藥以及投放天敵的模型則被提出，如下：

通過帶脈沖狀態依賴的一型捕食-食餌模型研究論證在不發生生物脈沖狀況之下，此系統正周期解或者不存在，分析是否穩定性，利用數值模擬的方式證實分析其結論信息，利用映射或者首次積分的方式獲得其發生生物脈沖，通過分析在投放天敵狀況之下系統在正周期解的條件之下生物脈沖量屬于控制便令，通過證明確定在其小于特定的閾值條件之下系統正周期解是存在的。同時，在其初始值滿足特定條件的狀態之下，系統正周期解是呈現局部軌道穩定狀態的，系統則呈現平衡的狀態。

通過分析如何保障系統周期解的穩定性，在系統達到平衡狀態之下通過映射以及首次積分、定性分析等方式獲得控制變量的臨界值。

通過脈沖微分方程描述生物系統構建的模型更加符合實際狀況，模型有效性相對較高，主要是因為脈沖微分系統可以綜合瞬間的突發狀況對于生態系統中各個生物以及狀態產生的即時影響，其更為深刻，可以精準地反映此種狀況之下生物的變化，符合生物系統。對此，在生物系統中廣泛應用脈沖微分系統，在種群生態動力學系統以及微生物連續培養模型、藥物動力學模型等領域中應用廣泛，效果顯著。