數學訓練“三重奏”

王卿

筆者所在三年級數學階段測試中遇到了這樣一道題：用4個完全相同的長方形和1個小正方形（如圖1），拼成一個邊長16分米的大正方形。問題（1）：從圖中可以看出，大正方形的一條邊長是由長方形的一條（? ）和一條（? ）組成的。問題（2）：每個長方形的周長是多少分米？通過讀題其實不難發現，問題（1）的設置其實是為了問題（2）做鋪墊的，這樣可以適當降低學生的思維難度。然而筆者通過統計，得到了以下數據，引人深思：

通過以上數據的對比分析可以發現，問題（1）的正確率遠高于問題（2），說明學生通過直觀圖形的觀察，能夠發現“正方形的邊長等于長方形的長和寬的和”這一關系，于是問題（2）的解答應該順勢而出——既然長加寬的和是16分米，那周長不就是16×2=32分米嗎？但是筆者翻閱了全年級的試卷，發現很多問題（1）對的學生，問題（2）不會做，這樣一種現象引起了筆者的反思。

一、原因分析

1.反思教師的教，片面強調解題方法“機械化”，限制了學生的思維能力

“長方形的周長公式”一課的教學，教師通常會出示例題，通過小組交流討論得出幾種不同的計算方法后，進行方法優化，得出“長加寬的和乘2”這種方法。在鞏固練習階段，老師通常會引導：要求長方形的周長，必須知道什么條件？學生們會異口同聲地回答“要知道長方形的長和寬，這樣就能求出周長”。教師在教學中過于對知識的細化講解，過于追求學生解題質量的心態，過多干預學生思維的舉動，可能是引發這一結果的根源。

2.反思學生的學，片面關注知識技能的掌握，缺乏主動探究、創造能力

小學生的年齡特點決定了孩子的學習具有模仿性。筆者在六年級學生中做過一次隨機口頭調查，在被訪問者中，100%的學生能脫口而出圓的面積公式，會正確解答有關圓面積公式的實際問題，但只有32%的學生會比較完整地口述出圓的面積公式的推導過程。可見，學生在數學知識的學習過程中比較關注公式的應用，而公式的推導過程在他們看來沒有那么重要，甚至有少部分學生會認為只要會解決問題就行。由此可以推想，學生在課堂教學中，數學知識技能的學習是他們聽課關注的焦點，練習中的鞏固也是形成熟練解題技能的必要訓練。因此考試中才會出現如上問題，雖然問題（1）會解答，但回到求周長的問題時，學生仍然調動以往機械性的解題經驗，首先就在尋找長和寬。試卷上還出現一部分學生把16分米拆分成12分米和4分米，然后再求周長，這些畫蛇添足的做法實在不可取。這再次印證了學生的思維比較僵化，不夠靈活多變。

二、辯證地把握數學訓練與發展思維的關系

1.科學設計練習，發展學生思考力

科學的、一定數量的數學練習能促進學生理解，發展數學思維，反之，單一、重復的機械性訓練，會限制學生的思考力。日常教學中，教師應有層次地設計練習，做到基礎訓練與變式訓練并重，這樣才能真正發展學生思考力。

只有教師在教學中注意題目的變化，減少單一訓練，拓寬學生的思維空間，關注學生的數學思考，強調解題策略，這樣學生的解題方式才會由“單一”變“多樣”。

2.引導自主探索，發展學生的創造力

數學家華羅庚指出，對書本中的定律、公式問題，我們不僅應該記住它的結論，更應懂得它是怎么來的，明白經歷了多少曲折、攻破多少難關才得出這個結論的。如在教學“圓的面積公式”這一課時，教師應留有充分的空間和時間，讓學生自主經歷知識形成的過程。課前預學單導學，讓孩子課前根據預學單提示動手剪下書后16等分、32等分的圓，再拼一拼，思考：剪下的圖形能拼成什么圖形？拼成的長方形與原來的圓有什么關系？課中借助預學單助學，在四人小組里結合直觀圖邊演示邊交流，讓每個孩子有充分的時間說出圓面積公式的推導過程。教者再借助動畫演示，讓學生再次感受將圓轉化成長方形的過程中所蘊含的數學極限思想，更透徹地掌握了用轉化的策略推導圓面積公式，建構新舊知識間的聯系。這樣才能避免解題中單一應用公式、生搬硬套的尷尬。

3.重視解題反思，提升學生學習力

鄭毓信教授曾在《“數學核心素養”之我見》一文中指出，我們應當注意糾正的一個現象：我們的學生一直在做，一直在算，一直在動手，但就是不想！確實，作為一名一線教師，也常常遇到這樣的苦惱，你花了很大的力氣評講訂正過的題目，仍然有部分孩子解答是錯誤的，更可惱的是，這些孩子常常連自己錯在哪里都不思考，只是人云亦云地跟著訂正，形成低效學習。因此，在數學學習過程中，應引導學生自覺地檢查自己的思維活動，反思自己是怎樣發現和解決問題的，應用了哪些基本方法、技能和技巧。

如在平時的作業中要求學生針對自己的錯誤，進行局部反思，避免直接抄正確答案的“假訂正”。尤其是填空題、選擇題的訂正，要求學生在旁邊寫出完整的解題步驟，可以列式、畫圖;判斷題要求學生將錯誤的抄一遍，在旁邊將正確的也寫一遍。在進行階段測試后，試卷上的錯題要求學生抄題訂正，進行深度反思。

綜上所述，學生經歷一定的富有變化、聯系實際的數學問題的訓練時，只有仔細審題、主動探究，自覺進行解題反思，才能抓住對象的本質，理解解題過程中的方法和策略，才能真正發展學生的數學思維能力。