基于Elman神經網絡的Stewart平臺位姿正解①

何亞林,趙新龍

(浙江理工大學 機械與自動控制學院,杭州 310018)

Stewart 微動平臺由動平臺、定平臺和連桿通過鉸鏈鏈接而成,可以實現6 自由度運動.作為一種并聯機器結構,具有結構剛度大、位置精度高、載重比高等優點,被廣泛應用于電子元件生產中的夾持系統、精密機床中的刀具控制和鉆銑等領域.Stewart 平臺具有運動空間小、魯棒性強、慣性小、運動精度高以及成本較低等優點,同時具有較大的剛度和良好的定位能力,是串聯機構所不能代替的.從Stewart 平臺的控制方面看,Stewart 平臺包含兩個最基本的問題:位姿正解和位姿反解.位姿反解即Stewart 的運動學反解是已知求解平臺的位姿,即已知3 個線性坐標X、Y、Z 和3個旋轉坐標參量 α、β、γ[1],求解平臺的6 個支腿長度.位姿正解即Stewart 的運動學正解則是已知平臺的6 個支腿長度求解平臺位姿.對Stewart 平臺來說,運動學反解的求解較容易求得,而運動學正解的求解比較困難[2].位姿正解的求解對于Stewart 平臺空間分析、機構設計以及機構在故障中恢復均有重要作用[3],因此,合理有效快速的位姿正解求解方法是十分必要的.然而,由于Stewart 平臺具有高耦合性、非線性等特點,其位姿正解的求解問題一直是一個難題.無法進行準確的位姿正解將使系統無法準確得知目前的平臺運動狀態,會導致產生較大誤差或引起系統震蕩等問題.

目前,位姿正解的求解方法主要有數值法和解析法兩種.數值法[4-7]采用迭代法進行求解,迭代法對迭代初值的要求較高,初值選擇不當會導致迭代無法正常收斂,從而無法獲得正確解.解析法[8-10]是通過構建多組約束方程并消去未知數的方法,該法的求解過程較復雜、消元方法不確定,同時求解過程慢,無法滿足實時控制的要求.近年來,基于智能算法的位姿正解方法引起學者的關注,劉偉銳等提出采用一種改進的粒子群算法求解并聯機構的位姿正解[11].張宗之等[12]采用BP 神經網絡來對Stewart 平臺進行位姿正解,收斂速度較慢,容易陷入局部極值.

為了改進迭代法和解析法的缺點,首先建立Stewart平臺支腿長度與平臺位姿的運動學模型,然后利用Elman神經網絡來實現位姿正解的求解并實驗驗證.該方法具有良好的動態特性[13],精度高,能夠快速準確的實現Stewart 平臺位姿正解的求解.

1 Stewart 平臺運動學模型

Stewart 平臺結構如圖1所示,驅動器利用萬向節和平臺、底座鏈接,通過伸縮運動驅動動平臺運動,從而在三維空間中實現6 自由度的運動[14].

圖1 Stewart 平臺結構圖

建立動坐標系Op-XpYpZp和靜坐標系O-XYZ.兩坐標系原點分別為動、靜平臺的質心,坐標平面OpXpYp與動平臺重合,坐標平面OXY 與靜平臺重合,Zp軸和Z軸垂直OXY 平面豎直向上.

在對平臺進行控制時,涉及到從任務空間至關節空間的轉換,任務空間采用位姿q=進行描述,關節空間采用l=[l1l2l3l4l5l6]T進行描述.支腿i上端坐標為下端坐標為繞Z 軸的偏轉角 γ,繞Y 軸的俯仰角為 β,繞X 軸的滾動角為 α,可以得到繞各軸轉動的坐標變換矩陣

動平臺相對于定平臺的旋轉矩陣為:

計算長度時,需要統一坐標系,即通過轉換矩陣將動坐標系Op-XpYpZp中的坐標轉換到靜坐標系O-XYZ中,變換矩陣為:

式中,Sα=sinα,Cα=cosα,其他類似.xp、yp、zp表示動坐標系原點在靜坐標系中的坐標.將動坐標系中的坐標轉換至靜坐標系后為:

根據支腿兩端坐標,可得支腿長度為:

從數學模型可見,6 條支腿長度l=[l1l2l3l4l5l6]T與位姿q=[xp yp zpα β γ]T之間的關系可以用6 個結構相同的非線性方程表示:

對式(5)所示的方程組進行求解,就可以得到平臺的位姿參數,即得到動平面對應的動坐標系Op-XpYpZp原點Op的坐標和動平臺的歐拉角(α β γ).

由式(5)可得,Stewart 平臺的模型是由6 個多元非線性方程構成,無法通過常規的公式推導進行簡化和求解.在實際應用中,由于模型失配、測量誤差等,所建立的非線性方程組不完全守恒,從而會造成求解失敗的現象.Elman 神經網絡作為一種具有局部記憶單元和局部反饋連接的遞歸神經網絡[10],具有良好的動態特性,收斂速度快,因此,基于Elman 神經網絡建立Stewart 平臺的位姿正解模型.

2 基于Elman 神經網絡的Stewart 平臺位姿正解

Elman 神經網絡的網絡結構一般分為4 層:輸入層、輸出層(中間層)、承接層和輸出層.輸入層、隱含層、輸出層的連接類似于前饋式網絡,輸入層的單元僅起信號傳輸作用,輸出層單元起線性加權作用.隱含層單元的傳遞函數可采用線性或者非線性函數,承接層又稱為上下文層或者狀態層,它用來記憶隱含層單元前一時刻的輸出值并返回給網絡的輸入,可以認為是一個一步延時算子.Elman 神經網絡的網絡結構圖如圖2所示.

圖2 Elman 神經網絡結構圖

采用Elman 神經網絡進行位姿正解時,輸入為6 條支腿長度輸出為位姿y=

數學模型可以表示為:

其中,α為增益因子,f(·)和g(·)為 激活函數,k=2,3,···,n,n為樣本數.

Elman 神經網絡的輸出可表示為:

學習指標函數為:

神經網絡的權重更新公式為:

學習指標E關于的偏導數為:

同理,學習指標E關于的偏導數為:

?xj(k)/可由下式得到:

若不考慮xc(k),式(14)可寫為:

同理,學習指標E關于的偏導數為:

其中,

3 Elman 神經網絡訓練與驗證

圖3所示為本次的實驗對象Stewart 平臺.

圖3 Stewart 平臺

3.1 Stewart 平臺參數

根據表1和表2的Stewart 平臺參數,圓上任意一點坐標計算公式:

其中,x′、y′分別代表任意一點在圓上的X、Y軸坐標,r′為圓半徑,α′為任意一點與圓心的連線與X軸之間的角度.可得支腿各個連接點在靜平臺坐標系中的初始坐標如表3、表4.參數化模型如圖4所示.

表1 Stewart 平臺尺寸參數

表2 Stewart 平臺支腿連接點位置參數(單位:°)

表3 支腿動平臺連接點坐標

表4 支腿靜平臺連接點坐標

圖4 Stewart 平臺參數化模型

3.2 Elman 神經網絡訓練及驗證

Elman 神經網絡模型結構選擇為6-5-6,輸入為支腿長度u=輸出為位姿y=隱含層使用Sigmoid 函數,輸出層使用Purelin 線性傳遞函數,樣本通過位姿反解求得.

根據表5,可選取運動函數為:

對應的6 個支腿長度變化曲線如圖5所示.

最終結果如圖6與圖7所示,分別為X、Y、Z 和α、β、γ方向上的Elman 神經網絡輸出與實際輸出圖,圖中黑色虛線代表Elman 神經網絡輸出,綠色點虛線代表實際輸出,誤差統計見表6.圖8與圖9分別表示X、Y、Z 和α、β、γ方向上的誤差圖.

表5 Stewart 平臺運動范圍參數

圖5 樣本支腿長度變化圖

圖7 α、β、γ 輸出結果

表6 Elman 神經網絡輸出結果誤差統計

圖8 X、Y、Z 誤差

4 結論

由于Stewart 平臺的位姿正解方程組由6 個多元非線性方程構成,普通方法難以得位姿正解.更快更準確地求出其位姿有助于對Stewart 平臺的分析.根據平臺結構與其運動學模型建立了相應動平臺與靜平臺坐標系,用以描述支腿各連接點位置坐標和平臺位姿,通過坐標法表示運動位姿與支腿長度之間的關系.建立了模型基于Elman 神經網絡的Stewart 平臺位姿正解模型,對網絡進行訓練和實驗驗證.實驗結果表明:基于elman 神經網絡的Stewart 平臺位姿正解方法對于Stewart 平臺的位姿正解問題效果良好,位移誤差和旋轉角度誤差范圍都在10-7～10-9mm 左右,精準度高,驗證了該法的有效性.

圖9 α、β、γ 誤差