錯誤探因問題反思現象解剖

錢小剛

數學學習中一個重要的思維品質就是反思。通過本章的學習，我們不僅要梳理、建構知識體系，如這一章各知識之間的聯系，全等三角形與其他內容的聯系，而且要學會反思，如在學習中有哪些典型錯誤，原因何在。只有不斷總結、反思，才能完善知識結構，提升數學能力，減少甚至避免不必要的錯誤發生。下面是對同學們學習本章時的錯誤探因、問題反思和現象解剖，希望能對同學們的數學學習有所幫助。

一、在錯誤探因中掌握基本方法

在全等三角形判定中，有同學常常因為條件使用不當而導致出錯。

例1 已知：如圖1，點A、D、C、B 在同一直線上，AD=BC，AE=BF，CE=DF。求證：DF∥CE。

【錯解】證明：在△AEC 與△BFD 中，

【錯誤探因】上述的證明運用了“SSS”，然而，條件中相等的線段都是三角形的邊嗎？顯然，AD 和BC 不符合全等證明的要求。解決的辦法是利用線段的和差關系將AD=BC 轉化為AC=DB。

二、在問題反思中提升思維品質

不少同學混淆全等三角形兩種表達方式，亂用邊角對應關系而出錯。

例2 如圖2，∠CAB=∠EBA=90°，D在線段AB 上，AC=3，AD=4。若在射線BE 上存在點F，使△FBD 與△CAD 全等，求AB 的長。

【錯解】由△FBD 與△CAD 全等得BD=AD=4，所以AB=AD+DB=4+4=8。

【問題反思】兩個三角形的全等關系有兩種表達方式，第一種是用符號表示，如“△FBD≌△CAD”;第二種是用文字表示，如“△FBD 與△CAD 全等”。這兩種表達方式有明顯的區別。第一種方式不僅表示這兩個三角形全等，而且明確頂點F、B、D 與頂點C、A、D 分別對應，進而它們的3 條邊、3 個角也分別具有對應關系。第二種方式只能說明這兩個三角形是全等的，但沒有明確頂點、邊、角的對應關系。

具體到本題，因為∠A=∠B=90°，所以頂點A 與B 是對應的，由“△FBD 與△CAD全等”得到兩種情形，一種是△FBD≌△DAC（如圖3），此時DB=AC=3，故AB=4+3=7;另一種是△FBD≌△CAD（如圖4），此時DB=AD=4，故AB=4+4=8。

三、在現象解剖中優化思維方式

有些同學遇到通過全等三角形證明線段、角的關系時，難以合理利用條件和圖形信息去正確、有效地構造三角形，導致出現思維障礙。

例3 已知：如圖5，AD=BC，AC=BD。求證：∠D=∠C。

同學們在解決該問題時出現了這樣幾種現象：

【現象一】圖形中有兩個顯性的三角形△ADO 與△BCO。要證明∠D=∠C，一些同學比較容易想到這兩個三角形，但條件AC=BD 并非這兩個顯性的三角形的邊，故難以證明它們全等，從而導致思路受阻。

【現象二】如圖6，連接CD，用“SSS”證明△ACD≌△BDC，得到∠A=∠B 后，接下來有兩種可能的情況：

一是結合條件∠DOA= ∠COB 和AD=BC，用“AAS”證明△ADO≌△BCO，從而得到∠ADB=∠BCA;

二是由∠ADB=180° - ∠A- ∠DOA，∠BCA=180°-∠B-∠COB 得到結論。

【現象解剖】出現這兩種解題現象的根本原因是一些同學不能根據條件正確有效地構造三角形。

就“現象一”而言，當證明圖中已知的三角形全等比較困難時，應考慮能否將欲證的邊或角轉化到其他三角形之中。結合條件“AD=BC、AC=BD”，結論“∠D=∠C”和圖形發現，AD、∠D、BD 應該是△ABD 中“兩邊及其夾角”的關系，只要連接AB，便得到△ABD，同理得到△BAC，而這兩個三角形的全等顯而易見。

在“現象二”中，雖然能構成三角形，也容易證得它們全等，但由于沒有合理利用圖形，由所證得的全等三角形不能直接得出結論，導致證明過程煩瑣冗長。