含阻尼項(xiàng)的SRLW方程的一個(gè)去耦合線性化差分格式

魏 杰，何 麗，胡勁松

(西華大學(xué)理學(xué)院，成都 610039)

1 引 言

本文考慮如下帶有阻尼項(xiàng)的耗散SRLW方程的初邊值問(wèn)題：

uxxt-ut+υu(píng)xx=ρx+uux，

(x,t)∈(xL,xR)×(0,T]

(1)

ρt+ux+γρ=0，

(x,t)∈(xL,xR)×(0,T]

(2)

u(x,0)=u0(x)，ρ(x,0)=ρ0(x)，

x∈[xL,xR]

(3)

u(xL,t)=u(xR,t)=0，

ρ(xL,t)=ρ(xR,t)=0，t∈[0,T]

(4)

其中υ>0是耗散系數(shù)，γ>0是阻尼系數(shù)；u0(x)、ρ0(x)是已知函數(shù).當(dāng)考慮耗散時(shí)，方程組(1)-(2)是反映非線性離子聲波運(yùn)動(dòng)本質(zhì)現(xiàn)象的合理模型[1].

文獻(xiàn)[2-5]分別討論了方程組(1)-(2)周期邊值問(wèn)題和初邊值問(wèn)題的解的適定性、整體存在唯一性及其解的長(zhǎng)時(shí)間性態(tài)等.文獻(xiàn)[6]用有限元方法對(duì)問(wèn)題(1)～(4)進(jìn)行了數(shù)值研究.文獻(xiàn)[7-8]對(duì)問(wèn)題(1)～(4)進(jìn)行了有限差分方法研究.文獻(xiàn)[9-11]又進(jìn)一步對(duì)帶有阻尼項(xiàng)的廣義SRLW方程進(jìn)行了有限差分方法研究，但所提出的都是耦合差分格式，計(jì)算量一般都比較大.

本文利用外推技巧，在保持二階理論精度的前提下對(duì)初邊值問(wèn)題(1)～(4)提出一個(gè)非耦合的三層線性差分格式.該格式在數(shù)值求解時(shí)只需對(duì)函數(shù)u和ρ分別單獨(dú)求解，其中對(duì)函數(shù)u的數(shù)值求解為線性化差分算法，對(duì)函數(shù)ρ的數(shù)值求解為顯式差分算法，大大提高了數(shù)值求解效率.當(dāng)不能得到其差分解的最大模估計(jì)時(shí)，本文綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法和離散泛函分析方法直接證明了格式的收斂性和穩(wěn)定性，并給出數(shù)值算例.

2 差分格式及截?cái)嗾`差

j=0，1,…,J-1,J}.

對(duì)初邊值問(wèn)題(1)～(4)考慮如下有限差分格式：

j=1,2,…,J-1；n=1,2,…,N-1

(5)

j=1,2,…,J-1；n=1,2,…,N-1

(6)

(7)

(8)

差分格式(5)～(8)的截?cái)嗾`差定義如下：

(9)

(10)

由Taylor展開可知，當(dāng)h,τ→0時(shí)

(11)

3 差分格式的收斂性和穩(wěn)定性

引理3.1[7-8]設(shè)u0∈H1，ρ0∈L2.初邊值問(wèn)題(1)～(4)的解滿足

(12)

(13)

由引理3.1以及(11)式知，存在與τ和h無(wú)關(guān)的常數(shù)Cu，Cr和Cs，使得

Cs(τ2+h2)，n=1,2,…,N

(14)

由初始條件(7)式可得到估計(jì)式

(15)

再由兩層二階差分格式[8]計(jì)算出U1和φ1即可得到以下估計(jì)式：

(16)

這里C1為與τ和h無(wú)關(guān)的常數(shù).現(xiàn)在假設(shè)

l=2,3,…,n，n≤N-1

(17)

其中Cl(l=2,3,…,n)為與τ和h無(wú)關(guān)的常數(shù).則由離散Sobolev不等式[2]和Cauchy-Schwarz不等式有

(18)

h2)，l=1,2,…,n

(19)

(20)

(21)

由引理3.1以及微分中值定理，有

(22)

再取h和τ充分小，使

(23)

于是由(19)、(22)式和(23)式以及Cauchy-Schwarz不等式有

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

將(20)與(21)式相加，并將(24)～(29)式代入后整理得

(30)

將(30)式從1到n遞推求和，整理得

(31)

由(14)式有

T(Cr)2(τ2+h2)2

(32)

T(Cs)2(τ2+h2)2

(33)

再將(16)、(32)、(33)式代入(31)式，利用離散Gronwall不等式[12]，取時(shí)間步長(zhǎng)τ充分小以滿足

于是有

(τ2+h2)2e2T[12(Cu+1)]≤

(Cn+1)2(τ2+h2)2，n=1,2,…,N-1，

其中

顯然Cn+1為與n無(wú)關(guān)的常數(shù).從而由歸納假設(shè)有

最后由離散Sobolev不等式[13]有

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

(5)式和(6)式可改寫為如下形式：

(34)

(35)

其中

表1 差分格式在不同時(shí)刻的誤差Tab.1 The error of the difference scheme at various time

5 結(jié) 論

數(shù)值結(jié)果表明，本文對(duì)問(wèn)題(1)～(4)提出的差分格式(5)～(8)是有效的，明顯具有二階精度.該格式解除了方程組(1)、(2)中函數(shù)u和ρ的耦合關(guān)系，且實(shí)質(zhì)上是一個(gè)半顯式線性差分格式，相對(duì)于其他耦合的差分格式，其計(jì)算時(shí)間更加節(jié)省、求解效率更高.