關于一道不定積分考研題的解法注記

王成強

(成都師范學院 數學學院，四川 成都 611130)

引言

研究生入學考試數學科目中的試題，集甄別選拔功能、命題標準示范、教學引導等功能于一身.因此，考研中的數學問題往往是學習數學和教授數學的重要素材[1].不定積分理論是大學數學最重要部分之一[2-3]，與之相關的問題的解題思路靈活，結構多變，能很好地檢測出學習者對大學數學學習情況，能很好地把握學習者開展后續學習的潛能.因此，在諸如大學數學的期末考試、考研數學考試、大學生數學競賽等各類考試中，都會出現不定積分相關問題的身影[4-6].對典型不定積分問題開展一題多解的研究，能加深教師對該類問題的認識，從而將問題從不同視角展示給學生，進而能幫助教師改善課程教學效果[7].本文旨在對一道不定積分考研試題進行一題多解研究，該不定積分問題是2018年中國碩士研究生入學考試數學(一)與(二)的試卷中的第三題中的第1 小題(全卷第15小題)，完整內容表述如下：

文獻[8]給出了問題(*)的5種解答方法，文獻[9]給出了問題(*)的6種解答方法.本文擬給出問題(*)的12種解答方法，以期為大學數學課程中的不定積分理論的學習與講授帶來更多思考.本文的研究結果在很大程度上補充了文獻[8] [9]研究的結果.

1 問題(*)的12種解法

從解法1的思路可看出，問題(*)考查的是常規知識點.解法1能幫助學生加深對問題(*)本質的認識.解法1的求解思路可簡要描述為微分恒等式

解法8 主要利用分部積分，有

解法8的解題思路來自官方參考答案，它充分利用了指數函數的性質，因此，基于該方法的求解過程相對于其他方法的求解過程而言最為簡潔.在官方參考答案(見文獻[8]的解法4，文獻[9]的解法1)具體步驟中分部積分法的用法如下：

在本文解法8中分部積分法的用法如下：

解法9 首先得到微分恒等式

利用分部積分法，有

于是

解法9 與解法8的求解思路相似，想法都是利用分部積分法.在解法9解答過程中，下述步驟最關鍵：

解法10 主要借助于分部積分法，有

于是

解法10 與解法8、9的求解思路相似，想法都是利用分部積分法.在解法10解答過程中，下述步驟最關鍵：

解法8、9及10中思路的更多應用可參見文獻[4-6].

解法11 經開展微分運算可發現，有

換言之，有

于是有

為求出待定參數c1，c2與c3，對上述等式兩端同時求導，得

解法12借助于待定系數的想法計算不定積分，受到解法11的解答過程的啟發與參考文獻[8]中的解法5用到的求解思路有異曲同工之妙.除換元積分法、分部積分法之外，待定系數法在求解不定積分的有關問題中有獨特的作用.

2 解法的比較分析

3 結語

本文對2018年中國碩士研究生入學考試試卷中的一道不定積分題分別給出基于整體代換法、換元積分法、分部積分法的12種解法，它們將問題(*)從不同側面展示在讀者面前，能加深讀者對問題(*)的理解，從而引發人們對不定積分理論的學習與教學更多的思考.

于是