廣義Thue-Morse波帶片的軸向衍射特性

楊志黎，移乃琴，程書博，田永紅 (長江大學(xué)物理與光電工程學(xué)院，湖北 荊州 434023)

傳統(tǒng)的波帶片由一系列不透明或透明的同心圓環(huán)交替組成，被廣泛應(yīng)用于X射線成像[1～4]、天文學(xué)[5]、太赫茲光學(xué)[6]和光學(xué)捕獲[7,8]等領(lǐng)域。然而，菲涅耳波帶片在成像像差上具有一定局限性。隨著分形光學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用[9,10]，科學(xué)家們開始將這種思想引入到波帶片的構(gòu)造中，Saavedra等[11]提出了一種新型光子學(xué)元件，即分形波帶片，Davis等[12]在液晶顯示器上實(shí)現(xiàn)了該類型波帶片的軸向衍射實(shí)驗(yàn)。盡管用分形康托爾集生成的分形波帶片沿光軸具有多個(gè)焦點(diǎn)，并且可以在一定程度上降低白光照明下的色差，但該類型波帶片各個(gè)焦點(diǎn)強(qiáng)度差別較大[13]。自Shechtman等發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)晶體以來，準(zhǔn)周期和非周期系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和物理特性的研究引起了人們的極大關(guān)注[14]。近年來，科學(xué)家們基于不同的非周期序列設(shè)計(jì)出了多種具有特殊衍射特性的波帶片。Fibonacci波帶片和Thue-Morse波帶片沿光軸都具有雙焦點(diǎn)，并且在光學(xué)成像和光學(xué)捕獲中有潛在的應(yīng)用[15,16]。Fibonacci波帶片的雙焦點(diǎn)不具有自相似特性，Thue-Morse波帶片具有對稱分布的2個(gè)自相似焦點(diǎn)。TMZPs結(jié)合了菲涅耳波帶片和Fibonacci波帶片的優(yōu)點(diǎn)，一定程度上降低了成像色差。但是，該類型波帶片的軸向聚焦強(qiáng)度和分辨率相對較低，限制了其在光學(xué)成像領(lǐng)域的應(yīng)用。課題組最近提出了一種新的衍射透鏡——復(fù)合Thue-Morse波帶片, 該類型波帶片由多階Thue-Morse波帶片組成。與Thue-Morse相比，復(fù)合Thue-Morse波帶片在軸向強(qiáng)度和成像分辨率等方面性能較強(qiáng)[17]。此外，課題組還提出了一種軸向具有4個(gè)等強(qiáng)度焦點(diǎn)的Canto-Thue-Morse波帶片,該類型波帶片的4個(gè)焦點(diǎn)位于所設(shè)定的軸向位置，焦點(diǎn)處的能量效率隨焦距的增大而增大[18]。

作為Thue-Morse序列的擴(kuò)展，文獻(xiàn)[19]提出了廣義Thue-Morse模型，并發(fā)現(xiàn)電子能譜具有自相似性。基于這種數(shù)學(xué)序列，筆者引入了一類與Thue-Morse波帶片相似的新型光學(xué)元件——廣義Thue-Morse波帶片，并對該類型波帶片的軸向聚焦特性和衍射圖樣進(jìn)行了理論研究。

1 廣義Thue-Morse 波帶片的構(gòu)造

以S0=A作為初始序列元素，然后依據(jù)替代規(guī)則：

A→AnBmB→BmAn(n,m=1,2,3,…)

可以依次得到各級廣義Thue-Morse二值序列。n與m可取任意整數(shù)，取值不同，對應(yīng)的二值序列也不同。

考慮一般情況，前3級二值序列可表示如下，其他級次以此類推:

下面以n=1、m=2時(shí)對應(yīng)的廣義Thue-Morse二值序列為例分析廣義Thue-Morse波帶片的構(gòu)造方法。當(dāng)n=1、m=2時(shí)，替代規(guī)則變更為A→AB2,B→B2A，對應(yīng)的前3級Thue-Morse序列如下：

S0=A

S1=ABB

S2=ABBBBABBA

S3=ABBBBABBABBABBAABBBBABBAABB

(1)

(2)

第i級廣義Thue-Morse二值非周期性序列的字母(A/B)按照上述方法由內(nèi)向外依次映射到波帶片圓面上，每一個(gè)字母對應(yīng)圓面上的一個(gè)環(huán)帶，其中字母A代表相應(yīng)的環(huán)帶對光是透明的，字母B代表相應(yīng)的環(huán)帶對光是不透明的。圖1展示了基于n=1、m=2的廣義Thue-Morse二值序列的第1級所構(gòu)造的波帶片，為了直觀展示該類形波帶片結(jié)構(gòu)，圖2是與圖1所示波帶片具有相同分辨率的菲涅耳波帶片。

2 軸向衍射特性

筆者利用菲涅耳近似公式計(jì)算單色平面波照射廣義Thue-Morse波帶片后的軸向強(qiáng)度分布[20]，如式(3)所示：

(3)

2.1 軸向強(qiáng)度分布

為了展示廣義Thue-Morse波帶片的軸向強(qiáng)度分布，取n=1，m=2的廣義Thue-Morse非周期性二值序列的第1級、第2級、第3級，并按照上述波帶片的構(gòu)造方法產(chǎn)生相應(yīng)的波帶片。計(jì)算得到的軸向強(qiáng)度分布分別如圖3(a)～(c)所示，作為對比，圖4(a)～(c)展示了相同分辨率的菲涅耳波帶片的軸向強(qiáng)度分布。對比發(fā)現(xiàn)，相比于傳統(tǒng)的菲涅耳波帶片，廣義Thue-Morse波帶片的焦點(diǎn)分居在相應(yīng)菲涅耳波帶片的主焦點(diǎn)兩側(cè)且具有更大的焦深，焦點(diǎn)數(shù)目也更多。

2.2 軸向自恢復(fù)特性

以基于n=1、m=2的第4級廣義Thue-Morse二值序列的波帶片為例，討論該類型波帶片的軸向強(qiáng)度自恢復(fù)特性。選取波帶片軸向距離z= 0.2795、0.3056、0.3248m這3個(gè)位置，各個(gè)位置處的軸向橫截面強(qiáng)度分布如圖5所示。在軸向距離z=0.2795m處放置障礙物，圖6顯示了放置障礙物后，軸向距離z=0.2795、0.3056、0.3248m處的軸向橫截面強(qiáng)度分布。可以看到，放置障礙物的位置中心強(qiáng)度基本為零，但是短距離自由傳播后該波帶片軸向強(qiáng)度分布基本恢復(fù)到?jīng)]有障礙物存在時(shí)候的情況，這表明廣義Thue-Morse波帶片的軸向強(qiáng)度在遇到障礙物時(shí)候自重建特性較好。

3 多色聚焦特性

廣義Thue-Morse波帶片具有較多對稱性的焦點(diǎn)，可廣泛應(yīng)用于成像領(lǐng)域，筆者對該類型波帶片在多種波長光照射下的成像性能進(jìn)行了分析。

基于方程(4)與(5)可以計(jì)算波帶片相應(yīng)的三刺激值和色度坐標(biāo)。在方程(4)中，I(z，λ)是軸向照度,S(λ)是光譜分布,(x,y,z)代表色度坐標(biāo)。廣義Thu-Morse波帶片及相應(yīng)的菲涅耳波帶片的軸向照度與色度坐標(biāo)可以分別通過方程(4)與(5)計(jì)算得到：

(4)

(5)

以基于n=1、m=2的第4級廣義Thue-Morse二值序列的波帶片為例，并采用3種不同波長(λ=450、550、650nm)對該類型波帶片的成像性能進(jìn)行分析。在不同波長(λ=450、550、650nm，分別對應(yīng)藍(lán)色、綠色、紅色)照射下該波帶片主焦點(diǎn)周圍的多個(gè)次焦點(diǎn)之間存在更多重疊，如圖7(a)所示；在相同情況下，具有相同分辨率的菲涅耳波帶片的焦點(diǎn)不會交疊，如圖8(a)所示。在重疊位置處該類波帶片成像的色差相對于傳統(tǒng)的菲涅耳波帶片較低。圖7(b)、8(b)分別顯示了該廣義Thue-Morse波帶片與相同級次的菲涅耳波帶片的軸向照度。圖7(b)中的空心圓表示廣義Thue-Morse波帶片的2個(gè)主焦點(diǎn)位置，圖8(b)中空心圓代表菲涅耳波帶片的主焦點(diǎn)位置，三角形和正方形代表照度降低至其最大值的 90%的軸向位置。圖7(c)、8(c)中，圓圈、三角形和正方形表示圖7(b)、8(b)中所示的相應(yīng)部分對應(yīng)的軸向坐標(biāo)。圖像的色度坐標(biāo)值越接近白色光源點(diǎn)C，圖像的色差越低。圖7(c)、8(c)表明，廣義Thue-Morse波帶片焦點(diǎn)的色度坐標(biāo)比相同級次的菲涅耳波帶片的主焦點(diǎn)更接近C點(diǎn)。因此，廣義Thue-Morse波帶片相比傳統(tǒng)的菲涅耳波帶片具有較小的成像色差。

4 結(jié)語

基于廣義Thue-Morse二值序列構(gòu)造了一種新型的廣義Thue-Morse波帶片，對該類型波帶片的軸向衍射特性做了進(jìn)一步分析，結(jié)果顯示，該類型波帶片沿軸向具有多個(gè)焦點(diǎn)且相對于相應(yīng)的菲涅耳波帶片的主焦點(diǎn)對稱分布。此外，該類型波帶片還被證實(shí)了其軸向強(qiáng)度在遇到障礙物的時(shí)候具有較好的自重建特性，這種特性在構(gòu)造三維光鑷領(lǐng)域意義重大。另外，該類型波帶片被證實(shí)在多個(gè)波長光束照射下具有較小的色差，這個(gè)特性使得該類型波帶片在X射線衍射成像、白光域OCT、THz成像等領(lǐng)域有著潛在的應(yīng)用。