集合與函數常見典型考題賞析

張文偉

題型1：集合概念與集合間的基本關系

(1)與集合概念有關問題的求解策略：①確定構成集合的元素是什么，即確定性。②看這些元素的限制條件是什么，即元素的特征性質。③根據元素的特征性質求參數的值或范圍，或確定集合中元素的個數，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性。(2)判斷集合間關系的常用方法：列舉法，結構法，數軸法。(3)集合的子集、真子集的個數：含有n(n∈N*)個元素的集合有2n個子集，有2n-1 個非空子集，有2n-1 個真子集，有2n-2個非空真子集。

例1設集合A={0，1，2，3}，集合B={x|-x∈A，1-x?A}，則集合B中元素的個數為( )。

A.1 B.2

C.3 D.4

解：若x∈B，則-x∈A，故x只可能是0，-1，-2，-3。當0∈B時，1-0=1∈A；當-1∈B時，1-(-1)=2∈A；當-2∈B時，1-(-2)=3∈A；當-3∈B時，1-(-3)=4?A。所以B={-3}，故集合B中元素的個數為1。應選A。

跟蹤訓練1：設集合M={x|x=2m+1，m∈Z}，P={y|y=2m，m∈Z}，若x0∈M，y0∈P，a=x0+y0，b=x0y0，則( )。

A.a∈M，b∈P

B.a∈P，b∈M

C.a∈M，b∈M

D.a∈P，b∈P

提示：設x0=2n+1，y0=2k，n，k∈Z，則x0+y0=2n+1+2k=2(n+k)+1∈M，x0y0=2k(2n+1)=2(2nk+k)∈P，即a∈M，b∈P，應選A。

題型2：集合的基本運算

這類問題的求解思路是：先化簡集合，再由交集、并集、補集的定義求解。求解的思想是：數形結合思想的運用，即利用數軸、Venn圖等。

例2已知集合A，B均為全集U={1，2，3，4}的子集，且?U(A∪B)={4}，B={1，2}，則A∩(?UB)=____。

解：由題意可知，A∪B={1，2，3}。由B={1，2}，可 得?UB={3，4}，所 以A∩(?UB)={3}。

跟蹤訓練2：已知集合A={x|-2≤x＜3}，B={x|x＜-1}，則A∩(?RB)=____。

解：因為B={x|x＜-1}，則?RB={x|x≥-1}，所以A∩(?RB)={x|-2≤x＜3}∩{x|x≥-1}={x|-1≤x＜3}。

題型3：由集合間的包含關系求參數

這類問題不能忽視空集的情形，當集合中含有參數時，需要分類討論。由集合間的包含關系求參數的方法：①當集合為不連續數集時，常根據集合包含關系的意義，建立方程求解，此時應注意分類討論；②當集合為連續數集時，常借助數軸來建立不等關系求解，此時應注意端點處是實點還是虛點。

例3已知集合A={x|-3≤x≤4}，B={x|1＜x＜m}(m＞1)，且B?A，則實數m的取值范圍是____。

解：由B?A，結合題意，畫出數軸，如圖1所示。

圖1

由圖可知，m≤4。

因為m＞1，所以1＜m≤4。

跟蹤訓練3：已知集合A={x|x2+x-6=0}，B={x|mx+1=0}，BA，求實數m的值。

題型4：與集合有關的創新問題

以集合為背景的創新問題是高考命題的一個熱點，這類題型常以問題為核心，考查考生探究、發現的能力，常見的命題形式有新定義、新運算等。對于新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決。對于這類選擇題，可以結合選項通過驗證，用排除、對比、特值等方法求解。

例4已知集合A={x∈N|x2-2x-3≤0}，B={1，3}，定義集合A，B之間的運算“*”：A*B={x|x=x1+x2，x1∈A，x2∈B}。則A*B中的所有元素之和為( )。

A.15 B.16

C.20 D.21

解：由x2-2x-3≤0，可得-1≤x≤3。因為x∈N，故集合A={0，1，2，3}。由A*B={x|x=x1+x2，x1∈A，x2∈B}，可 得A*B中的元素有0+1=1，0+3=3，1+1=2，1+3=4，2+1=3(舍去)，2+3=5，3+1=4(舍去)，3+3=6，所以A*B={1，2，3，4，5，6}，可得A*B中的所有元素之和為21。應選D。

跟蹤訓練4：定義集合M與N的新運算：M⊕N={x|x∈M或x∈N且x?M∩N}，則(M⊕N)⊕N=( )。

A.M∩NB.M∪N

C.MD.N

提示：由定義可知，M⊕N表示圖2 中的陰影部分，兩圓內部的公共部分表示M∩N。

圖2

由于(M⊕N)⊕N表示x∈(M⊕N)或x∈N且x?(M⊕N)∩N的所有x的集合，(M⊕N)∩N表示N上的陰影部分，因此(M⊕N)⊕N=M。應選C。

題型5：求函數的定義域

(1)常見函數定義域的基本要求：分式函數中分母不等于0，偶次根式函數的被開方數大于或等于0，y=x0的定義域是{x|x≠0}。(2)求抽象函數的定義域的策略：若已知函數f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出；若已知函數f[g(x)]的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]上的值域。(3)求函數定義域應注意的問題：不要對解析式進行化簡變形，以免定義域發生變化；定義域是一個集合，要用集合或區間表示，若用區間表示數集，不能用“或”連接，而應該用并集符號“∪”連接。

題型6：已知函數的定義域求參數

已知函數的定義域求參數問題的解題步驟：①調整思維方向，根據已知函數，將給出的定義域問題轉化為方程或不等式的解集問題；②根據方程或不等式的解集情況確定參數的取值或范圍。

題型7：函數的表示法

函數的表示方法有三種，即解析法、列表法和圖像法。同一個函數可以用不同的方法表示。

題型8：分段函數

分段函數雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數。分段函數的定義域等于各段函數的定義域的并集，值域等于各段函數的值域的并集。

題型9：函數的最值

函數最值存在的兩個結論：①閉區間上的連續函數一定存在最大值和最小值，當函數在閉區間上單調時最值一定在端點處取得；②開區間上的“單峰”函數一定存在最大值或最小值。求函數最值的常用方法：f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a，f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a，解題時，要務必注意“=”的取舍。

題型10：函數的奇偶性及圖像特征

函數奇偶性的四個重要結論：①如果一個奇函數f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)=0；②如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)=f(|x|)；③既是奇函數又是偶函數的函數只有一種類型，即f(x)=0，x∈D，其中定義域D是關于原點對稱的非空數集；④奇函數在兩個對稱的區間上具有相同的單調性，偶函數在兩個對稱的區間上具有相反的單調性。與函數奇偶性有關的幾個對稱性的結論：若函數y=f(x+a)為偶函數，則函數y=f(x)關于x=a對稱；若函數y=f(x+a)為奇函數，則函數y=f(x)關于點(a，0)對稱；若f(x)=f(2a-x)，則函數f(x)關于x=a對稱；若f(x)+f(2a-x)=2b，則函數f(x)關于點(a，b)對稱。

例10已知函數f(x)為偶函數，且當x＜0 時，f(x)=x+1，則 當x＞0 時，f(x)=____。

解：當x＞0時，-x＜0，可得f(-x)=-x+1。又f(x)為偶函數，所以f(x)=-x+1。

跟蹤訓練10：已知f(x)=ax2+bx是定義在[a-1，2a]上的偶函數，那么a+b的值是_____。

題型11：函數的周期性

題型12：函數單調性的應用

函數單調性的應用的常見題型有：判斷函數的單調性、求函數的單調區間；利用函數的單調性比較大??；解函數不等式；求參數的取值范圍。

題型13：函數最值的求法

題型14：函數奇偶性的判斷及應用

判斷函數奇偶性常見的三種方法：①定義法，先確定定義域，再計算f(-x)，最后確定f(x)與f(-x)的關系。②圖像法，由f(x)的圖像關于原點對稱，可知f(x)為奇函數，由f(x)的圖像關于y對稱，可知f(x)為偶函數。③性質法，設f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。

B.f(80)＜f(11)＜f(-25)

C.f(11)＜f(80)＜f(-25)

D.f(-25)＜f(80)＜f(11)

提示：因為奇函數f(x)在區間[0，2]上是增函數，所以f(x)在區間[-2，0]上也是增函數。又因為函數f(x)滿足f(x-4)=-f(x)，所 以f(x-8)=-f(x-4)=f(x)，所以函數f(x)為周期函數，且周期為8。因此f(-25)=f(-1)＜f(0)=f(80)＜f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1)。應選D。

題型15：函數性質的交匯應用

函數的奇偶性、周期性以及單調性是函數的三大性質，在高考中常將它們綜合在一起命題，其中奇偶性多與單調性相結合，而周期性常與抽象函數相結合，并以結合奇偶性求函數值為主。這類問題多以選擇題、填空題的形式出現。