古琴琴軫的窩頂結(jié)構(gòu)及其科學(xué)依據(jù)

琴軫及其考古發(fā)現(xiàn)

琴軫，是古琴上用來調(diào)音的柱狀旋鈕，由一段雙股絲繩（稱作軫絨、絨剅、絨扣等）和一個(gè)開孔的小柱（稱作軫、弦軫、軫子，多為竹、木、角、牙、玉等材質(zhì)）組成。絨剅在軫體頸孔穿出后，環(huán)繞頸部一圈再從頸孔穿入，從頂孔穿出，然后穿過琴體掛住琴弦。正向或反向擰動(dòng)琴軫，會(huì)使得絨剅因?yàn)楸唤g緊或放松而發(fā)生長度變化，以此拉動(dòng)琴弦，達(dá)到調(diào)音的目的（圖一）。有學(xué)者將這種調(diào)音機(jī)構(gòu)稱為“絞繩式”調(diào)音機(jī)構(gòu)或“軸向弦軸”（axial peg）[1]。考古發(fā)現(xiàn)表明，至少在公元前433年，古人便利用琴軫進(jìn)行調(diào)音。1973年湖南長沙馬王堆三號(hào)漢墓出土了一張七弦琴，墓葬時(shí)代屬西漢早期（公元前168年）。在面板的軫池內(nèi)有7個(gè)角質(zhì)軫，八棱圓柱形，軫的上下貫穿一孔，上端還有一個(gè)側(cè)孔。軫高1.5cm，大端徑1cm，小端徑0.8cm（圖二）。軫池中七個(gè)弦孔的周圍，還有因旋軫而磨出來的圓形痕跡[2]。

圖一

圖二

1978年湖北隨州曾侯乙墓出土一件十弦琴，墓葬時(shí)代屬戰(zhàn)國早期（公元前433年）。出土?xí)r在底板與軫池對(duì)應(yīng)的淺槽內(nèi)發(fā)現(xiàn)了4枚琴軫（圖三）。這些琴軫為木質(zhì)，圓柱形，中空，高2.6cm，外徑1.4cm，內(nèi)徑0.8cm。在面板的軫池上同樣留有琴軫旋轉(zhuǎn)磨損的痕跡（圖四）[3]。

圖三

圖四

另外還有一類由青銅琴（瑟）軫和軫鑰組成的調(diào)音工具（圖五），其中青銅、骨質(zhì)和石質(zhì)琴軫達(dá)145枚，青銅、純銀、錯(cuò)金或鎏金軫鑰達(dá)79把。其造型紋飾十分豐富，時(shí)代分布據(jù)稱從公元前6世紀(jì)的春秋時(shí)期至西漢中晚期。

圖五

根據(jù)這三種琴軫的考古發(fā)現(xiàn)所提供的圖像及數(shù)據(jù)所描繪的三維圖形分別如圖六中的Aa、Ab和B所示。據(jù)筆者考證[4]，這些琴軫都是利用“絞繩式”原理進(jìn)行調(diào)音的。我們今天使用的傳統(tǒng)琴軫與其一脈相承，至少已經(jīng)有近三千年的歷史。絞繩式琴軫在世界范圍內(nèi)是唯一案例，反映了古代中國人的獨(dú)特智慧。它結(jié)構(gòu)緊湊，輕巧簡單，外形簡潔且藏而不露，完全能夠滿足功能上的基本需要。在當(dāng)時(shí)條件下無疑是一項(xiàng)原創(chuàng)性的偉大發(fā)明，在世界樂器史上具有獨(dú)特的地位。

圖六

琴軫的窩頂結(jié)構(gòu)

但是，傳統(tǒng)古琴琴軫的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)也使得其存在一些問題。傳統(tǒng)琴軫依靠琴軫端面與軫池板之間的摩擦力來阻止琴軫打滑退轉(zhuǎn)。但隨著絨扣被逐漸絞緊，絨扣對(duì)琴軫的反向扭矩不斷增大。在反向扭矩增大到足以克服琴軫端面與軫池板之間的靜摩擦力矩時(shí)，琴軫就會(huì)發(fā)生突然打滑退轉(zhuǎn)。

然而，傳統(tǒng)琴軫經(jīng)過兩三千年的演變，琴軫端面由平頂結(jié)構(gòu)演變出了一種窩頂結(jié)構(gòu)。這種窩頂結(jié)構(gòu)就是在琴軫與軫池板接觸的端面上，加工出一個(gè)凹面，使得接觸面成為一個(gè)較窄的圓環(huán)（圖七）。古今琴人的長期實(shí)踐證實(shí)，這種結(jié)構(gòu)可以有效的增加琴軫端面與軫池板之間的靜摩擦力矩，使打滑退轉(zhuǎn)的問題得到改善。

圖七

一些傳世琴學(xué)文獻(xiàn)對(duì)窩頂結(jié)構(gòu)有相當(dāng)詳盡的說明。如：

清《與古齋琴譜》（卷二·軫足犯礙指松滑搖動(dòng)等病）：“軫頂面宜窩。如平，則旋轉(zhuǎn)滑動(dòng)（旋緊即復(fù)退松）”。又：“軫子……，頂上圓如盤碟式，徑四分，高一分余。頂面上須周高中低，如窩形。則轉(zhuǎn)不退回。反是則滑，而旋不能定。”

清《天聞閣琴譜集成》（琴壇十二要·琴軫）：“軫之靠琴處須旋窩則不滑，其余以磨光為佳。”

民國《梅庵琴譜》（卷上十五·琴病及修整）：“琴軫犯迴轉(zhuǎn)者，宜將軫面用刀削之，使中央漥下，則不迴轉(zhuǎn)。”

窩頂結(jié)構(gòu)究竟出現(xiàn)于何時(shí)？以目前筆者所能搜集的材料來看，尚不足以做出明確的考證結(jié)論。盡管唐宋明清傳世老琴的斷代已經(jīng)有了大體公認(rèn)的方法和標(biāo)準(zhǔn)，但由于琴軫與古琴時(shí)常分離，很難根據(jù)古琴本身的年代去確定琴軫的年代。就前述出土上古琴軫實(shí)物而言，在曾侯乙墓和馬王堆漢墓出土的琴軫上，并未觀察到窩頂結(jié)構(gòu)。而出土青銅軫的頂端雖然看起來比較窄的圓環(huán)形接觸面，但這是因?yàn)槠渲行目纵^大造成的，與特別設(shè)計(jì)的窩頂仍有本質(zhì)不同。

從上述援引的清代琴學(xué)文獻(xiàn)可以想見，直至清代，仍有可能是平頂與窩頂結(jié)構(gòu)并存，否則不會(huì)作為“治琴病”的措施被提及。但據(jù)此認(rèn)為彼時(shí)窩頂結(jié)構(gòu)剛剛出現(xiàn)，則理據(jù)不足。一則古代信息閉塞、交通不便，斫琴師之間也難以交流，一種細(xì)部結(jié)構(gòu)要成為定制，可能需要相當(dāng)長的時(shí)間。即使在當(dāng)代，古琴熱剛剛興起，一些工廠轉(zhuǎn)產(chǎn)古琴的那幾年，筆者也曾經(jīng)觀察到新制琴軫中出現(xiàn)平頂結(jié)構(gòu)。二則琴學(xué)著作中涉及琴制的內(nèi)容多專注于古琴本身，配件上的制作細(xì)節(jié)被忽略，也是可以想見的。因此傳世琴學(xué)文獻(xiàn)中提及窩頂結(jié)構(gòu)的年代，只能作為窩頂結(jié)構(gòu)出現(xiàn)年代的下限。

所幸傳世老琴軫多為玉、角、牙等珍貴材料所制，因此得益于其文物收藏價(jià)值而保留至今（大量的木制琴軫則可能因無人收藏而早已滅失）。從材質(zhì)的老化程度、加工痕跡分析等方面入手，仍有可能得出一些年代信息。古玩藏家、青年古琴家白云龍先生所藏老琴軫頗豐。他從古玉鑒定角度出發(fā)，對(duì)從唐至清的玉軫進(jìn)行分析后認(rèn)為，如果將其藏品按照年代排列，可以觀察到從平頂?shù)奖P砣加工的粗制窩頂、再到球砣加工的球面窩頂這樣的演變路徑（帶有平頂結(jié)構(gòu)和窩頂結(jié)構(gòu)的傳世玉軫分別如圖八、圖九所示）。其中最早的窩頂結(jié)構(gòu)大約出現(xiàn)在宋代。由于筆者對(duì)于古玉鑒定并無認(rèn)識(shí)，本文亦旨在探討窩頂結(jié)構(gòu)的科學(xué)依據(jù)，因此只能期待有識(shí)之士對(duì)傳世老琴軫的斷代問題作出全面可信的研究結(jié)論。

圖八

圖九

窩頂結(jié)構(gòu)的的科學(xué)依據(jù)

窩頂結(jié)構(gòu)有何科學(xué)意義？窩頂結(jié)構(gòu)為什么能夠改善打滑退轉(zhuǎn)的狀況？要解決這個(gè)問題，首先需要對(duì)琴軫頂端接觸面的受力狀況進(jìn)行力學(xué)分析。

琴軫頂端與軫池板的接觸面，是一個(gè)以琴軫頂端直徑為D的外圓，以琴軫內(nèi)孔直徑為d的內(nèi)圓形成的的環(huán)狀面（圖十）。當(dāng)琴軫被安裝在古琴上并拉緊琴弦時(shí)，琴弦拉力F1通過絨扣傳遞到琴軫上。與此同時(shí)，琴軫在這個(gè)環(huán)狀接觸面上受到來自軫池板的壓力F。琴弦拉力F1與軫池板對(duì)琴軫的壓力F大小相等、方向相反，是一對(duì)作用力與反作用力。

絨扣由雙股線繩絞合而成，可以想象成一段扭力彈簧。絨扣被絞得越緊，其回彈的反向扭矩也就越大。絨扣回彈的反向扭矩作用在琴軫上，將使得琴軫向反向扭轉(zhuǎn)，也就是發(fā)生退轉(zhuǎn)。當(dāng)反向扭矩在比較小的范圍內(nèi)時(shí)，被環(huán)狀接觸面上分布的正壓力F產(chǎn)生的靜摩擦力矩M所平衡，琴軫處于靜止?fàn)顟B(tài)。當(dāng)不斷絞緊絨扣，反向扭矩增大到足以克服琴軫端面與軫池板之間的靜摩擦力矩時(shí)，這一平衡被打破，琴軫就會(huì)突然發(fā)生打滑退轉(zhuǎn)。

圖十

在琴軫頂端被加工出窩頂結(jié)構(gòu)以后，我們可以直觀地看到，在外圓直徑D不變的前提下，內(nèi)圓直徑由d增加為d1，接觸面成為一個(gè)較窄的圓環(huán)，其接觸面積也大大減小。可能有人會(huì)認(rèn)為，面積小了，壓強(qiáng)大了，摩擦力也就大了，這其實(shí)是一種誤解。實(shí)際上，在琴軫突然發(fā)生打滑退轉(zhuǎn)這個(gè)臨界點(diǎn)上，最大靜摩擦力幾乎等于滑動(dòng)摩擦力f=μF，只與正壓力F和摩擦系數(shù)μ有關(guān)，與接觸面積無關(guān)。

環(huán)狀接觸面上所受的正壓力F為分布力，在接觸面表面產(chǎn)生平行于接觸面的切向摩擦力f。接觸面上各點(diǎn)處的切向摩擦力f對(duì)軸心產(chǎn)生的力矩，就是我們要求的摩擦力矩。因此，雖然總的摩擦力與接觸面積無關(guān)，但由此產(chǎn)生的摩擦力矩卻與接觸面的形狀有關(guān)。由于環(huán)狀接觸面各部分所受摩擦力的力臂不同，因此總的摩擦力矩應(yīng)該是各部分摩擦力矩的積分。根據(jù)相關(guān)計(jì)算和推導(dǎo)（略），這一力矩的計(jì)算公式為：

其中F為正壓力，μ為摩擦系數(shù)，R和r分別為圓環(huán)的外圓半徑和內(nèi)圓半徑（圖十一）。實(shí)際上，我們可以把這個(gè)公式理解為，將環(huán)狀接觸面上分布的摩擦力f=μF，集中作用到一個(gè)等效的環(huán)線上所產(chǎn)生的摩擦力矩M=f×Re。Re就是這個(gè)等效環(huán)線的半徑：

我們可以把它叫做等效半徑。

圖十一

在本例中，由于正壓力和摩擦系數(shù)（與接觸面的粗糙度相關(guān)）都不變，因此只需要比較兩種結(jié)構(gòu)中環(huán)狀接觸面的等效半徑即可。

作為示例，我們假定平頂結(jié)構(gòu)環(huán)狀接觸面的外圓半徑R=7mm，內(nèi)圓半徑r1=2mm。代入（2）式求得等效半徑Re1=4.963mm。而窩頂結(jié)構(gòu)環(huán)狀接觸面的外圓半徑不變，內(nèi)圓半徑增加到r2=6m m。代入（2）式求得等效半徑Re2=6.513mm。可見窩頂結(jié)構(gòu)所獲得的摩擦力矩比平頂結(jié)構(gòu)提高了（6.513-4.963）/4.963=31.23%，也就是提高了三成以上。

結(jié)語

傳統(tǒng)琴軫的窩頂結(jié)構(gòu)是如何產(chǎn)生的？是主動(dòng)地改進(jìn)，還是無意中發(fā)現(xiàn)，再經(jīng)過長期比較和選擇后得以成形？這個(gè)問題似乎很難考證，但也不是沒有一點(diǎn)線索。《史記·樂書》中有這樣的記載：“古軫用竹，言鳳非梧桐不棲，非竹實(shí)不食。”這一說法雖然沒有出土實(shí)證，但在出土瑟中曾經(jīng)發(fā)現(xiàn)將弦的一端“系在特制小竹棍上”[5]的做法，或者可以間接證明。實(shí)際上，竹子中空，只要打一側(cè)孔即可方便地作為絞繩式琴軫來使用。如果用竹做軫，因其中孔較大，其接觸面恰為較窄的圓環(huán)，暗合窩頂結(jié)構(gòu)的原理。古代先人們很可能通過竹軫與平頂琴軫使用體驗(yàn)的比較，悟出其中的道理，進(jìn)而將平頂結(jié)構(gòu)改造成了窩頂結(jié)構(gòu)。

綜上可見，傳統(tǒng)琴軫的窩頂結(jié)構(gòu)已經(jīng)有相當(dāng)長的發(fā)展歷史。它只需通過簡單加工，即可獲得切實(shí)而顯著的力學(xué)效益，能夠提高摩擦力矩達(dá)30%以上，改善了絞繩式琴軫打滑退轉(zhuǎn)的問題，是我國古代工匠和琴人在長期實(shí)踐中共同創(chuàng)造出的獨(dú)具巧思的樂器改良案例。