基于窗函數法設計FIR濾波器技術研究

郭 敏，高俊浩

（國家無線電監(jiān)測中心檢測中心，北京 100041）

0 引言

濾波器的分類方式多種多樣：從通頻帶方面分類，有低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器：從所處理的信號類型進行分類，可分為模擬濾波器和數字濾波器。數字濾波器的輸入輸出信號均是離散的，隨著數字電路和計算機技術的快速發(fā)展，不同設計類型的數字濾波器在不同場景下得到了廣泛應用。數字濾波器按其沖激響應函數的特性可分為：無限沖激響應IIR（Infinite Impulse Response）濾波器和有限沖激響應FIR（Finite Impulse Response）濾波器[1]。IIR數字濾波器的相位是非線性的，而FIR數字濾波器有精確的線性相位特質，具有非遞歸特性，良好的穩(wěn)定性，較高的精確度。所以，FIR數字濾波器在數字信號處理、圖像處理、傳輸數據等方面，得到了廣泛的應用。

常用的FIR數字濾波器設計方法有窗函數法、頻率采樣法和切比雪夫等紋波逼近法[2]。本文以MATLAB為設計平臺，研究分析不同窗函數對FIR濾波器設計的性能影響，進行仿真比較，最后給出了如何根據實際需求選擇不同窗函數的設計建議。

1 窗函數法

傅立葉變換是數字信號處理的重要工具之一，其作用范圍是正負無窮，但是在實際信號測試處理中，無法采樣和分析無限長的信號，所以只能采取有限長度的信號進行測量和運算。因此，可以對原始時域信號hd（n）截取，將截取的部分片段信號進行周期擴展，這樣就可以模擬實現得到一個虛擬的無限長信號，后續(xù)再對其進行傅立葉變換和頻譜分析。但是，這樣的截斷會帶來頻譜泄露，使頻譜發(fā)生畸變。所以，需要采用不同的截取函數w（n）對信號進行截斷，可以有效減少頻譜能量泄露，稱此截取函數w（n）為窗函數，可用式（1）表示：

h（n）=hd（n）*w（n） （1）

圖1展示了信號加窗函數前后的時域圖和頻譜圖。如圖1左上方所示，為信號未加窗函數處理，對信號部分截取后的時域圖，其頻域圖如圖1右上方所示，有較嚴重的頻譜泄露現象。圖1左下方的信號是在對原始截斷后的信號基礎上，做加窗處理得到的時域圖，其起始時刻和末尾時刻幅度均為0，相當于加窗后將非周期信號轉換成周期性信號，然后對該信號進行傅立葉變換，如圖1右下方所示，與未加窗的頻譜比較，泄漏得到明顯改善，但沒有完全消除。因此，窗函數可以有效減少頻譜泄漏，但不能完全消除頻譜泄漏。

2 基于窗函數法設計FIR濾波器

工程中常用的窗函數有六種，分別為：矩形窗、三角形窗、漢寧窗、海明窗、布萊克曼窗和凱塞窗[3]。不同窗函數特性有所不同，對信號的頻譜特性影響不一樣。

2.1 窗函數對比

圖1 信號加窗前后時域圖和頻域圖對比

2.1.1 矩形窗函數

矩形窗的定義為：

式中，N為窗的長度。

其時域波形圖和頻域波形圖如圖2所示：

圖2 矩形窗及其頻譜特性（N=60）

由圖2所見，矩形窗函數的主瓣寬度為4π?N，矩形窗主瓣寬度最窄，旁瓣衰減最大[3]，旁瓣峰值比主瓣峰值低13 dB。

2.1.2 三角形窗函數

矩形窗存在0到1的越變，而三角形窗提供了一個比較緩慢的變化，其定義為：

其時域波形圖和頻域波形圖如圖3所示：

圖3 三角形窗及其頻譜特性（N=60）

由圖3可見，三角形窗函數的主瓣寬度為8π?N，是矩形窗函數主瓣寬度的兩倍，旁瓣峰值比主瓣峰值低26 dB。

2.1.3 漢寧窗函數

漢寧窗是一個升余弦窗，其定義為：

其時域波形圖和頻域波形圖如圖4所示：

圖4 漢寧窗及其頻譜特性（N=60）

由圖4可見，漢寧窗函數的主瓣寬度為8π?N，是矩形窗函數主瓣寬度的兩倍，旁瓣峰值比主瓣峰值低31 dB。

2.1.4 海明窗函數

海明窗和漢寧窗類似，其定義為：

其時域波形圖和頻域波形圖如圖5所示：

圖5 海明窗及其頻譜特性（N=60）

由圖5所見，海明窗函數的主瓣寬度為8π?N，和漢寧窗函數的主瓣寬度一樣，是矩形窗函數主瓣寬度的兩倍，但海明窗的旁瓣峰值低于漢寧窗，旁瓣峰值比主瓣峰值低42 dB。

2.1.5 布萊克曼窗函數

布萊克曼窗函數和漢寧窗、海明窗類似，但是增加了升余弦的二次諧波分量，其定義為：

其時域波形圖和頻域波形圖如圖6所示：

圖6 布萊克曼窗及其頻譜特性（N=60）

由圖6所見，布萊克曼窗函數的主瓣寬度為12π?N，是矩形窗函數主瓣寬度的三倍，旁瓣峰值比主瓣峰值低58 dB。

2.1.6 凱塞窗函數

凱塞窗不同于其他窗函數，是由零階貝塞爾函數I0構成的窗函數，對于相同的N，可以通過調整參數β的值來選擇不同的過渡帶寬，其定義為：

其時域波形圖和頻域波形圖如圖7所示：

圖7 凱塞窗及其頻譜特性（N=60，β=8.5）

由圖7所見，當β=8.5時，凱塞窗旁瓣峰值比主瓣峰值低62 dB。

從時域看，當β越大，窗的寬度越窄，從頻域看，過渡帶寬隨β的增大而變寬，主瓣的寬度也隨之增加，但頻譜的旁瓣在減小，阻帶最小衰減在增大，通帶內更為平坦，如圖8所示：

圖8 不同β值的頻譜特性對比（N=60，β1=4，β2=8.5）

2.1.7 不同窗函數對比總結

以連續(xù)信號x（t）=cos（2πf1t）+0.15cos（2πf2t），式中，f1=100Hz，f2=150Hz，采樣頻率fs=600Hz為例，采用矩形窗和布萊克曼窗分別對其進行濾波，結果如圖9所示：

圖9 采用矩形窗和布萊克曼窗對信號濾波結果對比（N=80）

（1）由圖9可見，當窗的長度N相同時，由矩形窗函數設計的濾波器主瓣寬度最窄，過渡帶寬最窄，但其阻帶衰減最差，使得其頻率分辨率最精確，幅度分辨率最差；由布萊克曼窗函數設計的濾波器主瓣寬度最寬[4]，過渡帶寬也最寬，但阻帶最小衰減最大，使得其頻率分辨率最低，幅度分辨率最精確。由其他窗函數設計的濾波器性能介于二者之間。

以漢寧窗為例，采用不同的N值，對上述信號進行濾波，其結果如圖10所示：

圖10 采用不同N值對信號濾波結果對比（N1=40，N2=100）

（2）由圖10可見，當采用相同窗函數設計FIR數字濾波器時，主瓣寬度隨著N的增加在變窄，過渡帶寬隨之在縮小，阻帶最小衰減隨之在變大。因此，當濾波器的階數N值越大，濾波器的實際頻率響應越接近理想的頻率響應，抗干擾能力越強。

2.2 窗函數選擇

綜上所述，由不同窗函數設計的FIR數字濾波器對信號的濾波效果和頻譜特性有所不同。理想情況下，窗函數主瓣寬度越窄越好，其頻率分辨率就越精確，越接近理想的頻譜響應曲線；旁瓣最小衰減越大越好，其濾除干擾信號的能力越強，幅值精度就越高。但通常，主瓣寬度的減小是以旁瓣最小衰減的犧牲為代價的，二者不能兼得。

所以，在實際工程設計中，需要根據測試信號的特點和實際需求來選擇不同的窗函數。如果需要測試出信號的精確頻率，不需要準確區(qū)分信號的強度大小，那么可以選擇主瓣寬度最窄的矩形窗函數，比如測量物體的自振頻率；如果存在較強的干擾信號，需要增大對其的衰減能力才能分析所需信號，那么可以選擇旁瓣衰減較大的漢寧窗函數；如果檢測近似的兩個頻點、強度不同的信號，那么可選擇布萊克曼窗函數；如果同時對幅值精度和頻率精度要求較高的時候，那么可選擇凱塞窗函數。

3 結束語

本文基于窗函數法設計FIR數字濾波器，介紹了窗函數的定義、加窗的意義、不同窗函數的性質及其對比、仿真分析不同窗函數對濾波器性能的影響，最后給出了在實際工程設計中，如何根據實際需求選擇合適的窗函數，更好地進行信號分析和處理。