基于水齡熵的礦井防塵供水管網可靠性研究

彭亞，蔣仲安，王佩

(1.北京科技大學土木與資源工程學院，北京，100083；2.首都經濟貿易大學管理工程學院，北京，100070)

礦井防塵供水管網是地下礦山開采的重要基礎設施，其可靠有效運行是井下粉塵防治、礦工安全健康以及生產正常運行的重要保障[1]。由于礦井防塵供水管網工作壓力較高，以往研究主要著眼于其水力可靠性[2-3]，而對水質研究尚有不足。防塵管網(如管段、部件)的使用壽命以及礦井生產和安全相關的諸多用水設備設施的性能，不僅受水力條件影響，也與管網的供水水質息息相關[4-6]。管網機械性能下降會進一步影響管網的水力工況，導致無法滿足井下用水需求。水在管網中的滯留時間越長，水體與管壁、微生物等發生物理、化學及生物反應的機會更多，管道及部件的腐蝕風險也隨之增大，在礦井防塵供水管網高水壓條件下日積月累，進一步增加了爆管漏損的風險。水齡，其定義為水在管網中的滯留時間，是能夠反映水質條件變化的重要指標，以往研究表明水齡條件與管道腐蝕速率密切相關[7-10]。此外，礦井供水管網雖然主要用于提供井下防塵等生產用水，但在特殊或者緊急避險條件下，也作為被困工人的生命水源。隨著2010年國家對完善礦山井下供水施救系統建設的強制推行，如濟寧三號煤礦等礦井將供水施救系統與防塵供水系統進行合建、共用管路，在應急情況下實現井下飲用水與生產用水轉換。因此，在研究礦井防塵供水管網可靠性時，將水力水質條件進行綜合考慮具有一定的必要性。

供水管網可靠性的分析方法主要可以分為解析法、模擬法、代理指標法3大類。解析法主要包括故障分析法[11]、層次分析法[12]和拓撲可靠性分析法[13]等，通常先利用枚舉法選擇狀態，再通過數學推導的方式計算可靠性；模擬法以蒙特卡羅法[14-15]、擬蒙特卡羅法[2-3]為代表，利用靜態或者動態水力模擬方法模擬管網系統不同工況條件，分析管網在指定時間內以一定服務水壓供給用戶所需水量的概率，并按照事先對可靠性的定義計算出供水管網的可靠度；代理指標法是采用簡化的數學模型替代復雜的仿真或解析模型，求解出與原仿真分析模型相近的結果，從而減少計算量和計算時間，大幅提高評價分析的效率，該方法主要包括能量熵、流量熵和可恢復力指標法等[16-19]。

上述可靠性分析方法多用于研究有壓多環市政供水管網，且以水力可靠性研究為主，并且在對礦井防塵供水管網的研究上常使用解析法和模擬法，而代理指標法鮮有報道。此外，現有文獻中有關礦井供水管網的水力可靠性研究多圍繞靜態水力工況，而較少研究動態水力工況和水質條件。針對礦山井下用水隨生產安排動態變化的特點，本文作者將模擬法與代理指標法相結合，基于信息熵的基本思想和水力水質動態模擬方法，在路徑流量的基礎上引入水齡評價指標，構建礦井防塵供水管網可靠度評價模型；并基于MATLAB 編程平臺，調用EPANET 水力水質模擬引擎，實現動態水力水質條件下評價模型的聯合求解，以期作為礦井防塵供水管網傳統水力可靠性研究基礎上的重要補充，并進一步為管網的優化研究提供參考。

1 防塵管網可靠度評價模型構建

1.1 信息熵原理

熵的概念首先由德國物理學家CLAUSIUS[20]提出并將其用于描述熱力學第二定律。1948年，現代信息論創始人SHANNON等[21-23]首次將熵的概念引入信息論中，定義信息熵表征信源的不確定性，其表達式如式(1)所示。AWUMAH[24-25,18]等將信息熵原理和管網路徑、管段流量信息相結合，應用到管網可靠性研究中，本文引入管網水齡條件進行擴展，推導水齡熵和可靠度計算公式，構建綜合了水齡、流量和拓撲結構的礦井防塵供水管網可靠度評價模型。

式中：H(X)為信息熵；X為隨機變量，{x1,x2,…,xn}；C為任意正常數，通常取1；p(xi)為事件xi發生的概率，且滿足

1.2 水齡熵模型

假設供水管道中物質組分的演變為一維對流傳輸過程，根據物質質量守恒和物質成分的反應動力學，可以建立微分方程式

式中：Ci(x,t)為在t時間，管段i的縱向x處的反應物濃度；ui為管段i的平均流速，m/s；為管段中反應物質的反應變化速率，對于不同的反應物質可選用不同的反應模型。

水齡可以被處理為一種反應成分[8]，在管網系統中發生零級動力學反應，結合式(2)可得到管段中水齡反應滿足

節點是水流匯聚與重新分布的連接點，對于無容節點，節點水齡通過水在該節點不同的水源供水路徑所經歷的不同時間的加權平均值求得，即

式中：i表示流出節點j的管段；K為流入節點j的管段k的集合；Ti(0,t)為在t時間，節點j的下游管段i起點處的水齡；Qk為管段k的流量，m3/s；Tk(xj,t)為在t時間，管段k末端與節點j相連處的水齡。

由式(4)可知，無容節點匯入總流量與節點的水齡的乘積等于各上游管段流量與該管段末端水齡乘積之和。參考TANYIMBOH 等[25]在供水管網研究中提出的路徑概念，可以得式(5)。基于信息熵定義式(4)，構建水齡熵的概率空間如式(6)所示。

式中：n為節點j的路徑數；為節點j第i條路徑的路徑流量，L/s；為水通過第i條路徑到達節點j的終端水齡；qj為流入節點j的路徑流量之和，L/s；Tj為節點j的水齡。

從而可以定義水齡熵Sj為

為了求解式(7)，對其進一步的推導變換：設管網中任一節點j，在任一時間水源到該節點總路徑數為n，流入節點j的總路徑流量為qj，其各路徑流量集合為{qj},i∈(1，n)，各路徑終端水齡為節點j相連上游節點分別為x，y和z，各上游節點與節點j相連管段的流量為Qxj，Qyj和Qzj，節點j的路徑中經過x，y和z的路徑流量集合分別為

流入節點j的總路徑流量應該要等于節點j的實際流入管段總流量，即

根據信息熵具有累加性的性質，節點j的水齡熵式(7)可以寫成如下形式

對于3個上游節點，根據式(7)可得各自的水齡熵為

根據式(3)可以得經過x，y和z其中一節點通往節點j的各路徑下的水齡滿足

式中：為水通過第i個路徑到達節點j的終端水齡；和分別為水通過第i個路徑達到節點x，y和z的終端水齡；txj，tyj和tzj分別為水從節點x，y和z流到節點j所需的時間。

又由式(5)可得對于經過x，y和z的路徑分別有

式中：Txj，Tyj和Tzj分別為節點x，y和z到節點j之間的管段終端水齡。

將式(8)，(10)，(11)和(12)代入式(9)，可以對式(9)中各項進行換算，最后得到水齡熵計算公式的一般形式為

式中：Sj為水齡熵；Dj為節點j的上游相鄰節點集合；Qxj為上游節點x輸送到節點j的流量，即管段xj流量，m3/h；Txj為管段xj終端水齡；Qj為匯入節點j的管段總流量，m3/h；Tj為節點j的水齡。

1.3 節點可靠度

為了提高評價結果的準確性和可比性，對評價結果進行歸一化，引入最大水齡熵指標，即將路徑水齡平均分配時的水齡熵定義為最大水齡熵，代表了在理想狀態下無容節點從每個路徑獲得的水體的水齡條件具有相同的不確定性，其取值只與上游路徑數有關，而上游路徑數又由管網拓撲結構和流量決定。取水齡熵和最大水齡熵的比值定義為節點可靠度，從而得到防塵管網節點可靠度計算公式為

式中：Rj為節點j的可靠度；Sj,max為最大水齡熵。

1.4 系統可靠度

進一步對有J個節點的礦井防塵供水管網的系統可靠度定義為

Rj和越接近1，分別表示節點或管網系統的可靠性越強；反之則越不可靠，從而可以據此對管網可靠性較差區域和時段進行重點監測與維護。在實際應用中，可以根據用水點在生產實際中的重要性設置各節點權重系數wj，從而獲得最終加權平均系統可靠度，其表達式為

2 防塵管網可靠度評價模型求解

為了實現對上文所構建防塵管網可靠度評價模型的求解，基于MATLAB 編程平臺，調用EPANET動態鏈接庫作為水力水質計算引擎[26]，編寫了模型求解程序。求解流程如圖1所示。求解該程序的基本思想是：

1)在MATLAB 環境下加載管網的基本信息，如拓撲結構、節點標高、水池水位、管長、管徑和阻力系數等；

2)設置用水點需水量、水力水質模擬時長和步長、反應級數和系數、初始水質參數等；

3)調用EPANET 模擬管網的動態水力水質，獲取各節點和管段不同工況下水力參數和水質演變參數；

圖1 礦井防塵供水管網可靠度評價模型求解流程Fig.1 Flow chart of solving the reliability evaluation model of mine water supply network for dust control

4)在每1個工況下，判斷管段內水流流量及方向，確定每個節點的上游節點、上游管段和路徑集；

5)根據前文構建的評價模型求解每個節點水齡熵、節點可靠度以及系統可靠度。

3 實例應用

3.1 管網概況

將該可靠性分析模型應用于開灤集團某煤礦井下防塵供水管網，該礦供水管網為多水源重力輸送供水管網，以地面靜壓水池作為供水水源，共有3個靜壓水池，包括綜采、炮采、綜掘、炮掘及開拓共17 個井下工作面。經簡化，管網拓撲結構及節點管段基本信息如圖2所示，由圖2可知：該管網共有20個節點，20根管段，12個主要用水節點，管徑為108 mm。通過連續監測7 d各類工作面用水量，計算出各類工作面的平均日防塵用水量變化數據，并進行水力水質模擬，各類工作面用水情況如圖3所示。

3.2 結果分析

使用MATLAB(R2018b)編程并調用EPANET(V2.0)對上述防塵管網進行了48 h動態水力水質模擬，獲取管網節點和管段在不同時間的水力水質數據，然后基于前文的數學模型，求解管網可靠性數據。礦井總用水量最高時管網各節點的水齡分布如圖4所示，其中節點1～3為水源節點，水源水齡定義為0 h，各非水源節點在用水最高時的水齡范圍為1～15 h。相對于其他節點，位于管網末端的節點14～16具有更大的水齡。

圖2 礦井防塵供水管網拓撲結構及基本信息圖Fig.2 Topological structure and basic information of the mine water supply network for dust control

圖3 礦井防塵供水管網總用水量及各類工作面時用水量變化Fig.3 Water consumption of the mine water supply network for dust control and different working faces

3.2.1 不同節點可靠度分布

為研究不同節點可靠度的分布情況，統計分析整個模擬時段內各非水源節點可靠度，求出最大值、最小值、平均值、上四分位數和下四分位數，然后繪制各非水源節點的可靠度箱形圖如圖5所示。

從圖5中可見：在48 h模擬期間內，該防塵管網節點可靠度大部分在0.5以下，說明該管網可靠性還有較大的提升空間。整體上來看，節點8的可靠度相對其他節點更高，其平均可靠度為0.463 1，分析其原因主要包括：

1)節點8 附近有綜采工作面，根據圖3可知，該類工作面用水量較其他工作面更大，從而管路流量大；

圖4 礦井總用水量最高時各節點水齡分布圖Fig.4 Distribution of water age at the period with highest total water consumption

2)節點8處于該管網系統的環狀網絡上，上游流入水源來自地面3個水池，下游連接多個用水節點，因而流經節點8的路徑上，水質更新較快，可靠度也更高。

節點18，19 和20 的可靠度為0，這是因為，該3 處節點為單路徑節點，節點18 與1 號水源相連，節點18，19和20之間又依次相連。關于單路徑節點的可靠度，在后文中將進一步分析。

3.2.2 不同時間可靠度分布

為研究防塵管網可靠性隨時間的變化規律，統計分析每個時間的節點可靠度，繪制各時間可靠度箱形圖如圖6所示，各時間的系統可靠度根據式(15)計算。由圖6可知：在48 h 模擬時長內，各時間管網的系統可靠度均在0.3以下，這一方面是因為同一時間下管網各節點的可靠度離散程度比較大，最大值與最小值相差較大，比如在第16 h，節點可靠度最大值為0.821 2，最小值為0；另一方面是因為可靠度較低的情況比較多，降低了各時間的平均值。

對全部模擬時段防塵管網的系統可靠度求平均值，得到平均系統可靠度為0.180 3，可靠度偏低，其原因很大程度上源自礦井防塵供水管網的結構特征。礦井防塵管網與市政多環管網不同，受采掘計劃和工作面布置的限制，防塵管網建設以枝狀結構為主，管網中閉合環結構相對較少，串聯管路較多，所以求解得到的系統可靠度整體上會比多環管網的可靠度偏低。在礦井防塵供水管網實際建設或改造中，建議增加并聯管路或者環狀結構來提高管網可靠性，避免為了節約成本只選用單路徑供水而帶來管網故障或者失效風險。此外，由圖6還可見，管網的系統可靠度隨時間呈現一定的日周期性，這是因為管網系統的用水情況決定了管段中流速、流量、流向以及水質的更新變化，而礦井用水受生產活動安排影響一般呈現周期性。

3.2.3 系統可靠度和用水量關系

為進一步分析管網系統可靠度和管網用水量的關系，繪制防塵管網總用水量與系統可靠度分別隨時間變化的對比圖如圖7所示。

圖5 各非水源節點的可靠度分布箱形圖Fig.5 Box-whisker plot of reliability of non-water-source nodes

圖6 不同時間的可靠度分布箱形圖Fig.6 Box-whisker plot of reliability at different time

圖7 總用水量與系統可靠度隨時間變化圖Fig.7 Variation of total water consumption and system reliability with time

由圖7可知：防塵管網的系統可靠度和總用水量隨時間呈現出高度一致的趨勢，且都呈現出日周期性，說明這兩者之間具有較強的相關性。定量分析防塵總用水量和系統可靠度之間的相關性，計算得到Pearson 相關系數為0.814，t檢驗的顯著性概率為小于0.01，拒絕零假設，表明這2個變量之間顯著相關，在用水高峰期，管道內流量更大，流速更快，系統水質更新更快，水齡條件更好，可靠度也更高；在用水低峰期，管道內流速相對較慢，水質更新較慢，水齡較大，可靠度因而也較低。

由圖7可見，系統可靠度與總用水量的變化趨勢并非完全一致，對其進行線性回歸分析，得到如圖8所示擬合結果。其中擬合優度為0.662 6，說明擬合的方程能解釋系統可靠度該因變量66.26%的變化，但還有33.74%不足以解釋，2 個變量之間不具有明顯的線性關系。

繪制所有用水節點的用水量與節點可靠度散點圖如圖9所示，由圖9可見：用水節點的可靠度與其用水量不呈線性分布，即在礦井日常生產過程中，節點的可靠度并不完全由其自身用水量決定，還受到其他因素的影響。經分析，一方面各節點的用水量都是隨時間變化，任一節點的用水量變化的同時，其他節點的用水量也發生變化；另一方面管網拓撲結構會影響上游各路徑流量分配，來自各路徑水流的水體條件和流量并不相同。

圖8 總用水量與系統可靠度的線性回歸分析Fig.8 Linear regression analysis between total water consumption and the system reliability

3.2.4 單路徑節點可靠度優化

節點18，19和20的可靠度為0，分析其原因：首先從管網結構上來看該節點在整個模擬時段內均為單路徑節點，且僅有1號水源供水，一旦管段13 受到破壞，沒有其他路徑對其供水，用水需求就難以滿足；其次從計算原理上分析，在水質模擬時，由于水源初始水齡為0，其水齡熵也為0，所以節點18，19 和20 的上游節點水齡熵為0，從而根據式(14)計算得到節點18，19 和20 的可靠度也應該為0，說明求解結果合理。

圖9 用水節點時用水量與節點可靠度散點圖Fig.9 Scatter diagram of hourly water consumption and reliability at demand nodes

為了提高該部分節點的可靠性，增加連接管路優化原防塵管網，同時考察管網系統可靠度的變化，即在節點7 號和18 號節點之間新增一條管段，管長為1 000 m，管徑為108 mm，粗糙度取100，采用本文所構建評價模型對管網重新分析可靠性。優化后節點18，19和20從只有一個供水水源變為可依水力工況變化從3個水源獲取水流，節點平均可靠度從0均增加為0.258 3，且優化后使管網系統中新增了環狀結構。對比優化前后不同時間的管網系統可靠度，繪制礦井防塵供水管網優化前后系統可靠度對比，如圖10所示。由圖10可知：新增管段優化后，明顯改善了原管網系統可靠度，管網的平均系統可靠度從0.180 3 增加為0.231 3。由此可知，增加管網節點的供水路徑，尤其是形成環狀結構，可以有效提高管網的可靠性。

分析結果驗證了前文觀點，即在對礦井防塵供水管網進行設計或者優化改造的時候，可以增加節點的供水路徑或增設環狀結構，而不局限于建設傳統礦井供水管網的單一路徑枝狀網絡。

圖10 礦井防塵供水管網優化前后系統可靠度對比Fig.10 Comparison of the system reliability before and after optimization

4 結論

1)基于信息熵和水力水質動力學機理推導出礦井防塵供水管網水齡熵、節點可靠度和系統可靠度的計算公式，構建了綜合考慮管網路徑、流量和水齡的礦井防塵供水管網動態可靠度評價模型，可為礦井防塵供水管網的維護管理和優化改造提供參考。

2)基于MATLAB 編程平臺，編寫了可靠度評價模型求解程序，并調用EPANET 水力水質模擬引擎，對實例礦井防塵供水管網進行48 h 動態水力水質模擬及聯合求解，獲得了管網在各時段不同工況下的水力、水齡數據及可靠性變化規律。

3)實例礦井防塵供水管網在模擬時段內的平均系統可靠度為0.180 3，其可靠性還有較大提升空間；管網系統可靠度和防塵總用水量隨時間的變化趨勢高度相關，Pearson 相關系數為0.814，t檢驗的顯著性概率小于0.01，且都呈現日周期性，在用水高峰期，管道流量較大，水質更新較快，系統可靠度也較高，但對具體各節點，其可靠度和用水量沒有明顯的線性關系。

4)單路徑節點17，18 和19 可靠度為0，降低了管網系統可靠性，通過在原管網7 號和18 號節點間新增管段進行優化，可以將平均系統可靠度從0.180 3增加為0.231 3，說明增加節點供水路徑，增設環狀結構，是提升傳統以枝狀結構為主的礦井防塵供水管網可靠性的有效方法。