基于應力和時間雙重影響下巖石蠕變模型研究

劉文博，張樹光

(1.廣西巖土力學與工程重點實驗室，廣西桂林，541004；2.桂林理工大學土木與建筑工程學院，廣西桂林，541004；3.遼寧工程技術大學土木工程學院，遼寧阜新，123000)

隨著深部煤巖的開采以及深部地下工程的建設，造成巖體變形破壞的原因越來越復雜，例如，當巖石處于不同應力狀態或沿著不同應力路徑加載和卸載時，巖石所呈現出的力學特性截然不同；當巖石內部含有節理面時，它的破壞形式與完整巖石破壞形式就有所差異。而經典的黏彈塑性理論不能較好地確定和預測多種因素影響下巖石的力學和變形特性，進而導致在工程實際中巷道支護失穩等重大問題得不到有效解決[1-3]。為了有效地解決上述問題，分析干擾因素對巖體性質的影響機制，在連續性力學理論基礎上引入損傷變量反映巖體在地質作用下力學特性的變化規律[4-7]，進而構建損傷蠕變模型，可以較好地描述巖石蠕變全過程[8]。YANG 等[9]將巖石非線性流變模型中的傳統黏性元件都以分數微分元件代替，并將傳統模型的黏性系數變換為與應力和時間相關的函數，建立了巖石的非線性變參數蠕變模型；ZHANG 等[10]開展了滑坡潛在滑動面關鍵單元巖石的剪切蠕變特性試驗，提出了一種新的塑性非線性模型(PFY 模型)；何志磊等[11]認為將傳統西原模型中的整數階牛頓黏壺替換成分數階黏壺，且將改進后分數階蠕變模型的參數非定?；?，進而得到了分數階變參數蠕變模型；韓陽等[12]將蠕變變形進行分段，采用改進流變方程的方式，得到巖石的時效性蠕變模型；劉開云等[13]提出了確定巖石初始屈服強度的方法，并定義了過應力的概念，得到彈性模型、黏聚力和內摩擦角與過應力差和時間乘積的函數，進而構建了非線性蠕變模型；HOU 等[14]提出了通過蠕變參數的變化來預測不同初始損傷狀態下砂巖蠕變特性的方法，不僅可以描述3個典型的蠕變階段，還可以反映初始損傷對巖石蠕變蠕變特性的影響。以往對于巖石損傷蠕變模型的構建過程中，較少考慮如何通過模型自身確定蠕變模型參數，即大多數研究成果只是利用損傷理論來建立損傷蠕變本構模型，且通過第三方擬合軟件反演模型的參數，將得到的參數反代入模型中，對比模型曲線和試驗數據，該方法無法準確地求得蠕變參數，從而不能進一步分析巖石的蠕變特點及失效機制。為此，本文提出一種確定蠕變參數的方法，分析在不同應力作用下參數與時間的關系，進而建立一種新型的時效性蠕變模型，以及為巷道-支護系統安全性評估提供可靠依據。

1 巖石蠕變模型參數的確定

1.1 一維蠕變模型的建立

通過引入文獻[15]中黏彈塑性模型，此黏彈塑性模型由開爾文模型和彈塑性損傷模型(圖中黑色部分)組成，如圖1所示。

圖1 改進后的黏彈塑性蠕變模型Fig.1 Improved viscoelastic-plastic creep model

式中：E1為彈性體彈性模量；E2為黏彈性的彈性模量；η為黏滯性系數；D為損傷變量；σ為應力；ε為總應變；t為蠕變時間；σs為巖石的長期強度，一般可以通過巖石的等時應力-應變曲線確定。

引入KACHANOV蠕變損傷模型[16]，刻畫巖石加速蠕變階段損傷演化規律，即

式中：A為參數，A=(2ESKN)1/(N+2)；E為彈性模量；S，K和N均為材料參數，均可以由試驗獲得。

將式(2)積分得

式中：t*為巖石發生加速蠕變的時間。

若損傷發展到斷裂狀態，則D=1 所對應的時間為蠕變破壞時間tF；當時間發展到t=tF時，存在以下關系：

式中：tF為蠕變破壞時間。

將式(4)代入式(3)得到損傷模型為

式中：C為損傷影響參數，且C=1/(N+3)。

將式(5)代入式(1)得，改進后的巖石蠕變損傷演化模型為

蠕變變形進入加速蠕變階段后，當t→tF時，巖石軸向應變ε1→∞，且dε1/dt→∞，故式(6)中σ≥σs的蠕變方程可描述巖石的加速蠕變變形特征。無加速蠕變變形時，可采用式(6)中σ<σs的蠕變方程描述蠕變曲線。

1.2 三維蠕變模型推導

一維蠕變模型轉化為三維蠕變模型需要用到應力張量σij、球應力張量σm、偏應力張量Sij、應變張量εij、球應變張量εm和偏應變張量eij，，即[17]

式中：δij為Kronecker 函數；球應力張量σm=(σ1+2σ3)/3；球應變張量εm=(ε1+2ε3)/3；Sij=σij-σm。

偏應力張量和球應力張量又可以表示為

式中：G1為剪切模量；K為初始體積模量。

本文的三軸試驗為假三軸蠕變試驗，則巖石在三維狀態下蠕變模型為

式中：G2為黏彈性體的剪切模量；ε11為三維狀態下的軸向應變；σ1為軸向應力；σ3為圍壓。

2 蠕變模型參數的確定

2.1 蠕變破壞時間tF和巖石發生加速蠕變的時刻t*

經典的巖石蠕變曲線示意如圖2所示，由圖2可以確定2個時間參數，即蠕變破壞時間tF和巖石發生加速蠕變的時刻t*。

圖2 經典的巖石蠕變曲線Fig.2 Classic rock creep curve

2.2 剪切模量G1和體積模量K

巖石的瞬時應變包括彈性應變和塑性應變2部分。為了方便計算，假設巖石的瞬時應變都是彈性應變，則體積模量可由式(10)確定。將確定的體積模量值代入式(11)得到剪切模量G1。

式中：εV為體積應變；ε0為初始應變。

2.3 損傷影響參數C

損傷影響參數C是引入損傷變量時的1個試驗參數。根據文獻[18]可知，當黏彈性應變(開爾文體的應變)極限無窮大值時，存在以下關系：

在加速蠕變曲線上任意取2 個點(ti，εi)和(tj，εj)，時間點tj是在時間ti的30 min 范圍內取得點，可認為在此小范圍內巖石蠕變參數值為定值(即Ci=Cj)，則存在

式中：ε11i和ε11j為ti和tj時間下的軸向應變。

聯立式(13)和式(14)，得到不同時間作用下參數Ci為

2.4 黏彈性參數G2和η

當σ≥σs時，在加速蠕變曲線上取n個點(ti，εi)，采用式(13)可以得到參數G2i為

在蠕變曲線上再任意取一個點(ti,εi)，存在

將確定的參數G2值代入到式(17)中，得到不同時間作用下黏滯性系數ηi為

綜上所述，通過構建的損傷蠕變模型提出了一種新的確定蠕變參數的方法。

3 巖石三軸蠕變及三軸力學特性試驗

3.1 巖石三軸力學特性試驗

簡單加工取出的巖體，并帶回實驗室進行精加工，制作成高h為100 mm、直徑D為50 mm 的標準圓柱體，對外觀具有明顯缺陷的試樣進行剔除。制備得到的標準巖石試樣如圖3(a)所示。

試驗設備采用MTS815.02試驗系統如圖3(b)所示。巖石的三軸力學特性試驗步驟如下：

1)將巖石試樣兩端均勻涂抹凡士林，保證測得試驗數據不會受端部效應影響；

圖3 砂巖試樣和蠕變試驗系統Fig.3 Sandstone sample and creep test systems

2)施加1個較小軸向應力，使巖石和試驗機完全接觸；

3)以200 N/s 速率將圍壓加載至預定值，且在整個試驗過程保持圍壓不變；

4)以200 N/s 速率施加軸向應力直至巖石試樣破壞為止；

5)采用位移控制方式施加軸向應變，直至巖石的應力-應變曲線出現一段峰后曲線時停止加載。

根據上述試步驟得出巖石試樣在不同圍壓作用下的應力-應變曲線如圖4所示。

3.2 蠕變試驗方案

根據不同圍壓作用下的三軸壓縮應力-應變曲線，確定不同圍壓作用下巖石的峰值強度。其中，當圍壓為20 MPa 時，巖石的峰值強度為112.3 MPa，第1 級應力水平取峰值強度的50%，即第1 級軸向應力為60 MPa(為了施加荷載方便取整數，下同)，以后每1級荷載分別增大5 MPa；當圍壓為30 MPa 時，巖石的峰值強度為138.5 MPa，第1 級應力水平取峰值強度的50%，即第1級軸向應力為70 MPa，以后每1 級荷載也分別增大5 MPa。當采用單試件分級加載進行巖石蠕變試驗時，蠕變試驗結果會受到歷史荷載的影響，故采用Boltzmann疊加原理對試驗數據進行處理，減小前期荷載對試驗數據的影響，得到不同圍壓作用下巖石軸向蠕變歷時曲線如圖5所示。

圖4 不同圍壓作用下的應力-應變曲線Fig.4 Stress-strain curves under different confining pressures

由圖5可知：在同一應力水平作用下，圍壓越大，巖石的瞬時變形越小，說明增大圍壓可以有效提升巖石抵抗變形能力以及約束巖石的軸向瞬時應變；以圍壓20 MPa 為例，在應力水平分別為60，65，70 和75 MPa 時，砂巖瞬時變形依次為0.076 86%，0.114 5%，0.157 78%和0.230 44%；同時，巖石的瞬時應變與施加應力水平有關，隨著應力增大，瞬時應變也逐漸增大，且瞬時應變與應力水平之間基本呈線性變化趨勢；而瞬時應變占總應變的百分比卻呈現先增大后減小的趨勢，這是由于巖石自身內部具有大量孔隙，在加載初始時刻巖石孔隙先被壓縮，待完全壓密之后巖石內部裂隙才會大量產生，這導致巖石初期瞬時應變較大，后期瞬時應變較小。

在圍壓為20 MPa 時，巖石大約經歷了4 個應力水平后才具有明顯的加速蠕變變形，在圍壓為30 MPa 時，巖石大約經歷了5 個應力水平后才具有明顯的加速蠕變變形；在最后一級破壞應力水平作用下，巖石試樣經歷了較長時間的衰減蠕變和穩定蠕變后，才進入到加速蠕變變形階段。

3.3 蠕變速率分析

采用式(19)擬合蠕變變形曲線，并對擬合公式進行一階求導，進而得到1 條光滑的蠕變速率曲線。

式中：ε'為蠕變速率；a，b，c，d和e為擬合參數。

圖6所示為20 MPa 圍壓作用下砂巖的蠕變速率。由圖6可知：巖石在加載初始時都具有一個較大初始瞬時速率；當巖石變形由瞬時應變進入到衰減蠕變階段后，蠕變速率開始急劇下降且逐漸衰減至零，當應力為60 MPa、時間約為39.1 h時，速率衰減到近乎為零，當應力為65 MPa、時間約為28.5 h時，速率衰減到近乎1個穩定值。

3.4 等時應力-應變曲線

巖石在圍壓20 MPa 條件下的軸向等時應力-應變曲線如圖7所示。

由圖7可知：當軸向應力小于70 MPa 時，各級荷載作用下的軸向應變隨作用時間的變化很小(基本集中于1 點)，且應力-應變關系基本符合線性變化關系；當軸向應力大于70 MPa 時，隨應力增大，巖石的軸向變形呈現出增大趨勢，且應力-應變之間關系呈現出非線性變化規律。根據文獻[19-20]可知，將發散點對應的應力作為巖石的長期強度，則圍壓20 MPa 條件下巖石的長期強度σs為70 MPa。因此，圍壓20 MPa條件下巖石的長期強度σs為70 MPa。

圖5 不同圍壓作用下的軸向分階段蠕變曲線Fig.5 Axial staged creep curves under different confining pressures

圖6 20 MPa圍壓作用下砂巖的蠕變速率Fig.6 Creep rate of sandstone under confining pressure of 20 MPa

圖7 圍壓20 MPa作用下巖石的軸向等時應力-應變曲線Fig.7 Axial isochronal stress-strain curve of rock under confining pressure of 20 MPa

4 蠕變參數變化規律與模型建立

4.1 蠕變參數變化規律

以圍壓20 MPa 的蠕變試驗為例，通過不同時刻下蠕變參數的確定方法，得到圍壓20 MPa 的蠕變試驗的模型參數，并繪制出蠕變參數隨時間和應力變化的規律如圖8所示。其中，體積模量K在不同應力作用下的變化規律差異較大，且體積模量K的變化規律直接反映了體積變形在應力和時間作用下的變化規律。當偏應力為65 MPa 時，體積模量K開始由正值向負值變化，故圖8(f)中體積模量隨時間的變化規律分為2段。對于剪切模量G1用線性擬合，其他蠕變參數均采用指數函數進行擬合，即

式中：g(·)為各蠕變參數關于時間t的函數；a1，b1，a2，b1和c2均為擬合參數。

由圖8可知：當軸壓為60 MPa 時，巖石處于壓縮狀態；當軸壓為65 MPa 時，巖石逐漸由壓縮狀態轉變成膨脹狀態，K由正值向負值變化；當軸壓大于65 MPa 時，巖石一直處于膨脹狀態，但是體積模量K的絕對值越來越小，這說明巖石的擴容越來越明顯。1)彈性剪切模量G1只與施加的應力偏量有關，且隨著應力偏量增大，彈性剪切模量G1逐漸減小。2)S11/G1控制了試樣軸向黏彈性應變量的發展趨勢，通過擬合曲線可以發現隨時間和應力水平增大，巖石的黏彈性應變也越大。3)S11/η(S11)控制了巖石黏彈性蠕變，巖石黏彈性蠕變隨著時間逐漸減小且趨于1個穩定值，這表明巖石蠕變變形進入了穩定蠕變變形階段。4)S11/C控制了蠕變變形過程中巖石內部損傷程度，隨著S11/C增大，巖石的加速蠕變應變也增大，巖石的內部損傷程度也增大。

圖8 不同時間作用下砂巖的蠕變參數變化規律Fig.8 Variation of creep parameters of sandstone under different time

綜上所述，體積模量控制了巖石在蠕變過程中的體積變化(壓縮與擴容)，但體積模量在不同應力作用下的變化規律難以采用1個統一的表達式進行描述；當巖石的體積壓縮狀態轉化為擴容狀態后，隨蠕變應力增大，體積模量絕對值越小，且巖石的蠕變擴容效果隨應力和時間的增大而越來越明顯。損傷影響程度系數C控制了在蠕變變形過程中巖石內部損傷程度，C越大，證明巖石內部損傷越嚴重，且加速蠕變變形就越大，進而導致巖石更容易發生蠕變變形破壞。

4.2 考慮時間和應力影響的蠕變模型

根據圖8中不同應力作用下各個參數與時間擬合曲線可知，蠕變參數經過擬合后的擬合參數如表1所示。

綜上所述，考慮應力和時間對蠕變參數影響的蠕變模型如下。

當σ<σs時，

當σ≥σs時，

通過式(22)和式(23)繪制出模型曲線與試驗曲線，如圖9所示。由圖9可知：蠕變模型曲線與試驗曲線擬合度較高，這說明該模型較好地描述了巖石蠕變變形的全過程，且克服了西原體難以加速蠕變變形規律的缺點。同時，模型中蠕變參數與時間和應力的關系也較好地反映了巖石在蠕變加載過程中的劣化特性，從側面證明了建立模型和確定蠕變參數的方法是合理的、正確的。

表1 不同應力作用下蠕變模型的擬合參數Table 1 Fitting parameters of creep model under different stresses

圖9 不同圍壓作用下試驗曲線和模型曲線的對比Fig.9 Comparison of test curve and model curve under different confining pressures

5 結論

1)體積模量控制了巖石在蠕變過程中的體積變化(壓縮與擴容)，但體積模量在不同應力作用下的變化難以采用1個統一的表達式進行描述。

2)損傷影響程度系數C控制了在蠕變變形過程中巖石內部損傷程度，C越大，證明巖石內部損傷越嚴重，且加速蠕變變形就越大，導致巖石更容易發生蠕變變形破壞。

3)蠕變模型曲線與試驗曲線擬合度較高，說明該模型較好地描述了巖石蠕變變形的全過程，且克服了西原體難以加速蠕變變形規律的缺點。