基于變形熱的NEPE推進劑本構模型

宋 峻

(中國船舶726研究所,上海 200025)

目前,固體火箭被廣泛地運用到火箭彈、戰術火箭武器和運載火箭助推中。通常,火箭武器在發射過程中都會承受很大的軸向過載,這對于固體推進劑藥柱的結構完整性是一個巨大的挑戰。然而,固體火箭發動機中藥柱在發射過程中的結構完整性是固體火箭發動機正常工作的前提。為了準確分析固體推進劑藥柱在高應變率下的結構完整性,需要了解推進劑在高應變率下的力學特性和建立準確的本構模型。因此,眾多研究者通過分離式霍普金森裝置(split Hopkinson pressure bar,SHPB)研究固體推進劑在高應變率下的力學特性[1-4]。

在進行SHPB實驗中,固體推進劑材料試件在受到入射桿撞擊后,固體推進劑試件有明顯的發熱現象。多次實驗中,觸摸推進劑試件表面,都會感覺到明顯的溫度升高,這說明這種現象并不是偶然發生的,然而卻很少有研究人員對此現象進行解釋和分析。“變形熱效應”理論可以很好地用于解釋固體推進劑材料在SHPB實驗中的溫升現象。非理想彈性材料受到外力的作用時會發生變形,外力會做不可回復的塑性功,塑性功會以熱能的方式釋放出來,從而改變材料內部溫度。在材料變形程度很大或者變形速度極快的情況下,材料內部的溫度改變會非常明顯,這就是“變形生熱效應”。固體推進劑是一種典型的黏彈性材料,在沖擊載荷下,固體推進劑材料變形速率極快,會迅速將試件壓潰,所以沖擊過程對推進劑試件所做的功造成的變形是無法回復的。發生這一過程的時間又極短,這樣便造成生成熱的速率遠大于流失熱的速率,可以近似于絕熱過程,由此便會導致固體推進劑材料自身溫度急劇升高,固體推進劑材料表面會表現出發熱現象[5]。

大多數研究人員在研究材料動態力學本構模型時,對于SHPB等高應變率實驗沒有考慮材料溫升對材料力學響應的影響,認為材料變形中的溫度場是穩態的(即材料內部溫度與外界環境溫度一致)[6-7]。固體推進劑是屬于典型的黏彈性材料,沖擊變形過程中的外力做的功所引起的溫升對固體推進劑力學性能有顯著的軟化作用。在高應變率加載下,實驗時間非常短,短時間的熱流失可以忽略,由此得到的應力-應變曲線可以認為是絕熱曲線,且隨著應變率的升高,材料的溫升也會隨著升高[8],溫升產生的軟化效應對固體推進劑力學響應的影響勢必更加明顯。因此,固體推進劑的動態本構模型還應該考慮固體推進劑在高應變率下的變形溫升對其力學性能的影響,這樣才能準確地描述固體推進劑在高應變率下的動態力學響應。

1 考慮變形生熱的本構模型

1.1 黏-超彈本構模型的建立

由以往的研究可知,固體推進劑具有明顯的黏彈特性,又具有較大的變形。這種力學特性常常不能通過黏彈性本構模型進行準確的描述,因此,研究人員引入超彈性本構模型與黏彈性模型結合,從而構建黏-超彈本構模型來描述固體推進劑在高應變率下的力學行為。對于固體推進劑黏彈性模型,具有2個Maxwell單元的朱王唐(ZWT)模型[9]被研究人員廣泛應用,因為它是一種可以表示高應變率和低應變率下材料力學行為的非線性黏彈性本構模型,其一維形式如下:

(1)

式中:右邊第一項fe(ε)=E0ε+aε2+bε3,為非線彈性平衡響應單元,其中,E0,a,b為對應的彈性常數,ε為應變;第一個積分項表示材料在低應變率下的黏彈性響應,第二個積分項表示材料在高應變率下的黏彈性響應;E1,E2分別為低頻Maxwell單元和高頻Maxwell單元的彈性常數;τ1,τ2分別為低頻Maxwell單元和高頻Maxwell單元的松弛時間。

在高應變率加載條件下,由于實驗時間非常短,遠小于低頻Maxwell單元中的松弛響應時間,因此,在高應變率加載實驗中,低頻Maxwell單元可以被近似為彈性常數為E1的簡單彈簧,則式(1)可以簡化為

(2)

式中:σe(ε)=fe(ε)+E1(ε),為非線彈性平衡響應。

為了描述NEPE推進劑大變形的特性,需要對ZWT本構模型進行修正,將其非線彈性體部分替換為一個超彈響應單元。選擇兩參數的Mooney-Rivlin[10]超彈模型代替非線性彈性項σe(ε),即

(3)

λ=1-εeng

(4)

將上述的超彈響應部分式(3)和ZWT高頻響應單元式(2)結合,即構成黏-超彈本構模型:

(5)

1.2 沖擊生熱計算方法

根據熱傳導理論,應變和溫度之間的關系可以表示為

(6)

(7)

對式(7)積分,可以得到溫升表達式:

(8)

固體推進劑試件在變形中所做的功都轉化為熱,即取β=1[5],由此變形生熱計算公式為

(9)

由于不能準確確定NEPE推進劑在高應變率下的屈服點,且如果對彈性和塑性分段也會導致本構模型的分段,增加了復雜程度。因此,采用式(9)計算NEPE推進劑材料在高應變率加載下的溫升將存在一定程度的困難,為了計算的簡單,需要對式(9)的計算方法進行一定程度的簡化。在高應變率壓縮實驗中,NEPE推進劑的初始彈性段應變相對于總應變來說所占的比例很小,而且這一段初始彈性應變相對應的應力值也相對較小。因此這里為了計算的簡單,采用不區分彈性與塑性階段的方法,用整個應變段的積分結果來計算溫升,最終可以得到NEPE推進劑材料沖擊加載變形生熱溫升理論計算公式[5]:

(10)

1.3 考慮變形生熱的本構模型

為了準確表述在沖擊加載下固體推進劑變形引起的溫度升高對固體推進劑力學行為造成的軟化影響,參照J-C模型中考慮溫度的形式,本文引入熱軟化函數f(T)對式(5)所示的黏-超彈模型進行修正,即σtrue,T=f(T)σtrue,其中,σtrue,T表示考慮溫升影響的真實應力。軟化函數f(T)的形式表示為

f(T)=1-T*m

(11)

式中:m為試件材料的熱軟化系數,T*為無量綱化的溫度項,即T*=ΔT/T0,T0為沖擊加載實驗初始溫度,本文實驗初始溫度為293.15 K。

2 NEPE推進劑SHPB實驗

圖1為分離式霍普金森實驗裝置,主要包括高壓氣炮、子彈桿、入射桿和透射桿等。分離式霍普金森壓桿裝置的實驗原理為[12]:首先,利用空氣壓縮機往前端的高壓氣炮中充入高壓氣體,高壓氣體推動子彈桿加速。然后,子彈桿以一定的初始速度沖出炮口與入射桿撞擊,給予入射桿一定的沖擊能量,在入射桿的被撞擊端產生壓縮波。最后,入射桿也以一定速度撞擊固體推進劑試件。由于入射桿和固體推進劑2種材料的橫截面以及阻抗不同,壓縮波在兩者的接觸面既會發生透射現象又會發生反射現象,其中小部分壓縮波會反射形成反射波返回到入射桿中,剩下的壓縮波信號則會穿過固體推進劑進入透射桿中形成透射波。如果在入射桿和透射桿中分別貼上半導體應變片,便可以測量到入射桿上的入射波信號和反射波信號以及透射桿上的透射波信號。對測試系統得到的信號,采用Matlab程序進行處理,即可獲得固體推進劑材料在高應變率壓縮加載條件下的真實應力-工程應變曲線。調節輸入高壓氣炮中的壓力,可以獲得不同高應變率下固體推進劑的壓縮力學響應。

圖1 SHPB試驗裝置實物圖

(12)

(13)

(14)

式中:c0為桿中彈性波速;L0為試樣的原始長度;A,As分別為入射桿和推進劑試件的橫截面積;E3為壓桿的彈性模量;εr(t),εt(t)分別為反射波、透射波的應變值。

為了驗證SHPB實驗的有效性,需要檢測試件兩側的應力是否平衡。圖2給出了通過“二波法”獲取的理論投射應變和實驗結果的對比曲線,可以看出理論計算結果與實驗測試結果基本吻合,這說明實驗中試件兩端的應力基本相當,因而實驗結果是可靠的。

圖2 應力平衡檢驗結果

NEPE推進劑試件尺寸如圖3所示,其中管狀試件的外徑2r1=10 mm,內徑2r2=3 mm,固體推進劑試件長度L=2.5 mm。調節輸入氣炮的壓力,可以得到1500 s-1,2 500 s-1,3 500 s-1,4 500 s-14個應變率下NEPE推進劑真實應力-工程應變曲線。對于同一應變率加載條件,獲取3組有效實驗數據,最后取平均值,實驗結果如圖4所示。

圖3 NEPE推進劑試件示意圖

圖4 NEPE推進劑壓縮真實應力-工程應變曲線

3 本構模型參數確定及驗證

3.1 溫升函數的擬合

圖5 不同應變率下溫升函數擬合結果

3.2 本構模型材料參數的確定

對黏-超彈本構模型參數的確定,仍然利用1 500 s-1,2 500 s-1,3 500 s-1實驗結果,取C1=8.20,C2=-1.025 6,E2=84.859 6,τ2=0.000 45和m=2.728 9,擬合結果如圖6所示。

圖6 實驗曲線擬合結果

3.3 本構模型的驗證

根據前文參數結果,得到考慮變形生熱的黏-超彈本構模型的具體形式:

將4 500 s-1的實驗數據代入到本構模型中,得到理論預測曲線,與實驗曲線的對比結果如圖7所示,可以發現該模型的預測效果很好,可以很好地反映NEPE推進劑在變形較大時的軟化情況。

圖7 考慮變形生熱的黏-超彈本構模型預測曲線與實驗曲線的對比

4 結論

通過沖擊載荷下的理論溫升計算方法,得到了不同應變率和應變下的理論溫升曲線,并將其擬合為應變相關和應變率相關的經驗函數代入到本構模型中。利用NEPE推進劑的SHPB實驗數據,獲取了黏-超彈本構模型參數,最后利用4 500 s-1實驗數據對該模型進行了驗證,結果表明,該模型可以很好地預測NEPE推進劑在沖擊載荷下較大應變時的軟化現象,這表明在研究聚合物沖擊載荷條件下本構模型時應該考慮沖擊生熱對聚合物造成的軟化影響。