導數概念通俗化教學設計

孫波

[摘 要] 研究導數概念教學設計。針對傳統教材教法過于單調、抽象的缺陷，設計了易于理解和接受的通俗化教法。主要手段和特色是增加平均速度導入過程，加入市場營銷等社會經濟背景。

[關鍵詞] 導數;通俗化;平均速度;經濟背景

[作者簡介] 孫 波（1965—），男，湖南澧縣人，博士，湖南科技學院理學院教授，主要從事應用數學與教育數學研究。

[中圖分類號] G642.0? ? [文獻標識碼] A? ? [文章編號] 1674-9324（2020）40-0295-02? ? [收稿日期] 2020-03-09

一、引言

高等數學或微積分主要由微分和積分兩大塊構成。這里的微分泛指導數及其應用，當然也包含光滑函數局部線性近似的微分。簡單說來，導數就是函數的瞬時變化率。其嚴格定義則是函數值改變量與自變量改變量之比的極限（自變量改變量趨于零時）：

二十年以前這么一講就完了，學生基本都能理解和掌握。但今天的大眾化教育跟以前的精英教育大不一樣了，學生心里還想著手機玩具呢！這已不是個別現象，而是普遍教學現象和社會問題。當然，加強課堂管理、強調教學紀律可以提高授課效果，但不可能完全解決問題?，F在的高學歷教師已占很大比例，授課水平應該是沒得話說，可就是有那么多學生稀里糊涂，聽了跟沒聽一個樣。

其實只要稍微推敲一下哲學和教育心理學，就會明白快刀斬亂麻的教法有問題。任何事物都須經歷量變積累方可達到質變，瞬時變化率概念的形成也是一樣。只是我們原來沒想這么多，把沉重的思維負擔強加給了學生。而在高等教育從精英型轉化為大眾型的過程中主流高數教材教法不僅沒有相應轉型，反而變本加厲：把書越寫越復雜，使教材教法和生源質量之間的矛盾越來越突出。

改革開放四十年來，我國市場經濟的形成和發展拓寬了微積分應用面，經濟學背景成了數學的半邊天?？紤]到社會經濟現象和概念就在人們日常生活中，更容易被學生理解，本文參照歐美應用微積分教材把社會經濟素材作為背景引入微積分概念，補充導數引入過程，并適當增加平均速度引入過程[4，5]。

二、教學設計

基于上述鋪墊，筆者在教學實踐中做了如下改革設計：首先以一家三口外出郊游為例引入平均速度概念：一家三口開車外出郊游，小孩每半小時記一下從家里出來的里程，前三小時的數據如下：其中時間單位為小時，里程單位為公里。

課件開頭可考慮播放一小段開車視頻以吸引學生興趣和注意力。

用f表示出發t小時的里程，則表中數據可表示為函數值

汽車速度一般隨時間變化，僅憑一組里程數據算不出每時每刻的速度，但可計算一段時間內的平均速度，公式為平均速度=距離÷時間

其他時間段內的平均速度亦可類似計算，如下表：

上述平均速度計算公式還可抽象上升為一般函數的平均變化率。接著構造1～2個經濟學例子，如一家公司同時在兩個地方做為期三個月的推銷活動，以此預測市場。下面是那兩個地方日銷售量走勢圖，橫軸表示月份，縱軸表示日銷售量。

從圖像可以看出，盡管前三個月活動1的銷售量一直高于活動2，但它后來往下走。相反，活動2一路攀升。

在時間區間[2，4]上，促銷1的變化率等于

而促銷2的變化率等于

活動1的負結果表明，在所統計的這兩個月內銷售量以每月10，000件的速度下降;而活動2的正結果則表明其銷售量以每月12，500件的速度增長。這兩個促銷活動的結果說明市場二未來更強勢，故應放棄市場1。

還可構造幾個類似例子，如某款新手機上市后單位利潤隨時間變化函數。計算某些時間段的平均變化率以說明其增減情況，最后說明平均變化率還是不能細致反映函數值隨自變量的變化情況，說明瞬時變化率的必要性。

若想知道它某一時刻的運行速度如第10秒末的運行速度，就只能通過第10秒附近短時間間隔內的平均速度來估算了：

學生從表中列出的三個平均速度顯然能看出汽車在第10秒末的運行速度是23米/秒。

然后趁熱打鐵，整出個絕對可靠的說法。先用h表示某個很小的正數，則汽車在第10秒到第10+h秒內的平均速度等于

這就進一步證實了我們從上面那個數據表看出的精確速度。我們稱此極限為瞬時速度。

接著將上述瞬時速度概念和計算方法提升為函數在某點的變化率：

三、結語

筆者首次在二類本科院校q按上述方式講述導數概念，大部分學生都能聽懂并掌握。教學班級為工程管理專業四個行政班130名學生，期末試題量為五大題22小題，在教研室統一命題且沒有針對性復習的前提下格率達80%以上，說明學生理解了微積分基本理論?？磥?，多視角慢鏡頭引入抽象數學概念更適合大眾化教育。

參考文獻

[1]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，1978.

[2]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]同濟大學應用數學系.高等數學（本科少學時類型）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[4]Gilbert Strange，Calculus，Wellesley-Cambridge Press.

[5]M.L.Lial，Calculus with applications，Springer-Verlag，2010.