過測地線網的組合雙三次Bézier曲面優化設計

楊火根，毛小紅

(江西理工大學理學院，江西省 贛州市 341000)

1 引言與研究背景

測地線是曲面上測地曲率處處為零的曲線[1]。測地線有著優美的幾何性質，在各行各業有著廣泛的應用。如生物醫學圖像處理[2-4]、膜結構裁剪分析[5-6]等。

近些年，曲面造型領域涌現出了一大批關于過測地線的曲面設計研究成果。Wang[7]提出一種以一條曲線為公共測地線的曲面參數化設計方法，以此實現曲面重建，并應用于鞋帽和服裝制造業。文獻[8]提出了以一條非均勻B樣條曲線為公共測地線來構造NURBS曲面束。Sánchez[9]采用兩步法，給出了設計Bézier曲面插值非相交等參曲線(組)為邊界測地線的算法。此外還研究了過測地線的極小曲面設計問題，并指出插值測地圓和螺旋線為測地線的極小曲面就是懸鏈面和Scherk曲面[10]。Paluszny[11]則利用測地線的幾何性質，并結合直紋面和可展曲面的特點，給出了過測地線的插值曲面構造的一般結果。Sprynski等人[12]以兩條等參測地曲線為曲面邊界線，利用Hermite插值完成曲面重建。壽華好等人[13-14]則提出了一種以B樣條為度量函數的過一條或多條測地線的離散曲面構造算法。對于相交曲線，Farouki等人[15]研究了四邊形曲線為某曲面上測地線的約束條件。在此基礎上，基于Coons超限超值方法分別給出了張量積Bézier曲面、三角B-B曲面插值四邊形和三邊形曲線為曲面邊界測地線的優化設計方法[16-17]。然而基于Coons方法構造的曲面存在次數過高、自由參數對曲面形狀的影響具有整體性、曲面形狀不易控制等缺點。為此，Yang等人[18-19]基于分步構造策略，給出了較低次數的Bézier和B樣條曲面插值測地四邊形的曲面優化設計方法。對拓撲結構更為復雜的網狀測地線情形，Yang等人[20]給出了存在曲面以多條交于一點的曲線為曲面上測地線網的一般約束條件。但對過測地線網的插值曲面構造，特別是多項式曲面的構造研究還較少見。因此，本文基于交于一點的曲線網為曲面上測地線網的一般約束條件，以工程中常用的Bézier曲線為工具，考慮過交于一點的三次Bézier測地線網的Bézier曲面重構問題。

2 三次Bézier曲線網為曲面上測地線網的約束

2.1 預備知識

(1)

設Ci：[0，1]→R3，i∈Zn={1，2，…n}是n條空間曲線序列構成的曲線網，記

(2)

對曲線網Ci定義三類約束如下:

·副法矢約束:

bi·n=0

(3)

·相交測地線約束:

(4)

·頂點圍繞約束:

(5)

文獻[20]給出了存在曲面插值該曲線網Ci為曲面上測地線網的一般性約束條件，即:

由引理1易知，當n為偶數且：

(ⅰ) 所有曲率κi相等時，頂點圍繞約束(5)自然滿足，相交測地線約束(4)簡化為:τi+τj=0。即相鄰曲線的撓率不互為相反數時，插值曲面是不存在的。

2.2 過三次Bézier測地線網插值曲面存在性條件

(1) 副法矢約束

(6)

(2) 相交測地線約束

令

(7)

其中，

所以

即

(8)

又

(9)

(3) 頂點圍繞約束

(10)

即當n為偶數時，給定的角點信息需滿足整體約束(10)。

3 過測地線網的組合雙三次Bézier插值曲面優化設計

在曲線網Ci滿足引理1條件下，本節考慮插值該曲線網為測地線網的組合雙三次Bézier曲面優化設計方法，給出曲面控制頂點的顯式計算步驟，記這n張雙三次Bézier曲面為:

(11)

3.1 公共邊界控制頂點

如圖1所示，因曲面Ri(u，v)插值n條曲線網Ci為公共邊界曲線，所以有:

(12)

由式(12)及Bernstein基的線性無關性，可得曲面Ri(u，v)的公共邊界控制頂點為:

(13)

3.2 鄰接公共邊界控制頂點

由測地線的幾何性質可知，插值曲面沿測地線Ci(t)的跨界切矢可表示為:

(14)

其中，

根據跨界切矢計算插值曲面鄰接邊界線的控制頂點時，交點P0附近會產生切矢和扭矢相容問題。

(1)切矢相容

解得

(15)

(2) 扭矢相容

(16)

(17)

(18)

其中，

(19)

其中，

根據式(14)和(19)，跨界切矢Di(t)可用如下三次Bézier曲線表達:

(20)

其中

(21)

3.3 組合曲面自由控制頂點

(22)

(23)

其中，

3.4 插值曲面優化設計算法步驟

基于以上分析，構造組合雙三次Bézier曲面插值曲線網Ci(i=1，2，…，n)為曲面邊界測地線網的步驟與如下:

4 計算實例與比較

利用3.4節的算法，本節給出插值不同條數測地線網的曲面構造實例，并與傳統的Coons方法[15-16]作比較。由于本文曲面僅插值兩條相鄰邊及跨界切矢，Coons曲面構造格式如下:

Ri(u，v)=R1(u，v)+R2(u，v)-R0(u，v)

(24)

其中，

Hi(t) (i=0，1，2，3)為三次Hermite基。

顯然曲面(24)中跨界切矢Di(t)的自由參數一旦確定，曲面將唯一確定，即自由參數對曲面形狀影響具有全局性。對比本文提出的優化設計算法，Di(t)的自由參數僅影響鄰接公共邊界的控制頂點，即自由參數對曲面的影響是局部的，曲面的形狀還受其他控制頂點的影響。

圖2，3，4分別給出了測地線網中曲線條數n=4，5，6的計算實例。(圖中漸變色條的數值表示曲面高度)

5 結論

本文分析了存在曲面插值三次Bézier曲線網為曲面的邊界測地線網的三類約束條件，該約束本質上是對曲線網控制頂點的約束。并提出了一種構造組合雙三次Bézier曲面插值該曲線網為曲面上測地線網的優化設計算法。與傳統的Coons方法相比，本文采用分步和優化計算控制頂點的策略，使自由參數對曲面形狀的影響具有局部性，曲面形狀易控制且具有整體最優性。同時插值曲面表示為標準的張量積Bézier形式，與CAD系統兼容，方便交互操作。該算法可擴展到過任意拓撲類型測地線網的插值曲面構造中去。