瓶中灌水時奇特發聲的系列研究

李佳音 王 巍 鐘 鳴 陸建隆

(1. 南京師范大學教師教育學院，江蘇 南京 210000； 2. 南京師范大學物理科學與技術學院，江蘇 南京 210000)

1 引言

在日常生活中，我們都會注意到這樣一個現象——向熱水瓶里灌水時，水流進入瓶中會發出聲音，且這個聲音是隨著瓶中水量有規律地變化的.有經驗的人甚至可以通過聽聲音判斷出水瓶何時被灌滿.還有一種現象，在很多公共場所的熱水間里，水龍頭出水口都會被裹上一段紗布，灌水時水流沿著紗布流入水杯，再沿杯壁流下，以防止熱水噴濺導致燙傷.這種情況下就幾乎聽不到聲音了.

針對這些現象，筆者進行了大量實驗，并根據實際裝置建立振動模型，將實驗結果與理論計算結合，嘗試回答以下4個問題： 瓶中灌水時，聲音是如何產生的？是否有條件限制？在此過程中聲音是否會發生變化？其變化規律是什么？

2 探究發聲原理

2.1 實驗設計

為方便模型的建立和單一變量的控制，筆者采用不同型號、形狀規則的圓柱形量筒和一個可更換噴頭的恒壓水泵進行灌水實驗，如圖1，所用量筒筒壁上的刻度及其材料的透明度，都更有利于實驗過程中的觀察和即時數據的讀取.實驗過程中，將采音麥克風置于量筒口一側，采集聲音后將錄音導入Adobe Audition進行音頻分析.

圖1 注水方式

當敲擊一個灌有水的瓶子時，由于瓶身和瓶中水的振動，產生的聲音頻率與瓶中水量有關.那么灌水過程中的聲音是由哪部分振動產生的呢？為此我們設計了一組預實驗，將實驗中所涉及的各個部分分開研究.通過向水位與筒口齊平的量筒繼續灌水，就可以排除筒內空腔共振的干擾，改變量筒高度相當于改變了積水深度；通過向底部塞有吸水海綿的量筒內注水，可以排除下落水流進入積水層時產生聲音的干擾，用線纏住海綿向上緩慢拉動，就可以連續改變量筒內空氣柱的長度.此外，由于實驗時量筒置于地面，考慮到地面振動的影響，可以在量筒底部墊上不同的材料，探究地面振動對本實驗的干擾程度.

2.2 實驗現象

在多次重復的灌水嘗試之后，筆者發現聲音的產生是需要一定條件的.若下落的水流較緩且呈穩定規則的柱狀(可視作穩定層流)進入液面，如圖2(a)，或者水流沿著瓶壁流下，則幾乎沒有聲音，此時液面平靜，水位均勻上升.只有當水流不穩定或間斷性下落(可視作紊流)時，才會在水面上產生大量泡沫或單個大氣泡，如圖2(b)，并伴隨有明顯變化的聲音.

圖2 不同的水流形式

一次完整的灌水過程中，采集到聲音頻率在約為100～2000 Hz的范圍內變化并逐漸升高，聲音強度隨水位升高而降低.

再根據實驗設計將量筒內的積水與空氣柱分開，實驗發現僅改變積水深度時，聲音頻率沒有明顯變化，只有聲音強度發生變化；而改變空氣柱長度時，聲音頻率會隨空氣柱的縮短而升高，且這種頻率的變化在水位靠近量筒口時更加明顯.另外，在使用不同材質的量筒和地面實驗時，聲音特性的變化趨勢不變，由此可知聲音頻率的變化主要和空氣柱相關，聲強大小和產生氣泡相關.

2.3 原理分析

水在流動時幾乎不產生聲音，只有當水中有氣泡產生、振動或破裂時，才會有聲音產生.因此，瓶中灌水發聲的必要條件就是，水流進入積水層時有氣泡產生并振動.在研究這種氣泡的水下振動時，我們根據Minneart理論建立了“單氣泡振動模型”，把下落的水流視作大量連續的小水滴，單個水滴進入液面后夾帶一部分空氣，如圖3.這個過程類似于向水中擲石子，關鍵在于讓空氣進入水中形成氣泡.圖4依次是實拍單個水滴滴入平靜液面時水面凹陷、收縮、產生氣泡、氣泡破裂的過程.

圖3 水下氣泡產生示意圖

圖4 實拍水下氣泡產生的過程

對單個水下氣泡進行分析，可以通過彈簧球系統類推，其恢復力由氣壓與表面張力組成，慣性力由周圍液體的有效質量引起.考慮半徑不可忽略的球形振動氣泡，其半徑隨時間的變化可設為

r(t)=r0+q(t)，

(1)

其中q(t)為半徑隨時間的擾動量，即彈簧球的振動量，可建立諧波振動線性模型方程

(2)

其中Fb為由液體壓強而產生的外部壓力，β為阻尼率，ω0為氣泡諧振頻率，mbrad=4πr03ρ為氣泡有效振動質量.[1]

可見氣泡振動頻率與有效振動質量、液體阻尼、外部壓力有關，分別對應氣泡半徑、液體種類、氣泡位置.由于水流連續下落會在液面下產生大量半徑不同、位置深淺不同的氣泡.這些氣泡振動、破裂所發出的聲音頻率混雜，沒有明顯的變化規律，所以氣泡的振動幅度、密集程度直接決定了注水時聲音的強度，對頻率變化影響不顯著.通過以上的實驗和理論分析，筆者發現聲音頻率隨水位上升而升高，是由于不同長度空氣柱振動的固有頻率不同，故水中氣泡發生共振時，產生的聲音與空氣柱長度相關.

2.4 構建空氣柱振動模型

若將實驗所用玻璃量筒視為剛性容器，則空氣柱僅發生縱向振動，且滿足一般振動方程

ξ(t,x)=(Acoskx+Bsinkx)cos(ωt-φ)，

(3)

圖5 空氣腔共振示意圖

(4)

解得空氣柱振動的簡正頻率為

(5)

其中n=1,2,3,…且n=1時λ為基頻波長.

考慮到空氣柱振動同時還會向空間輻射聲波，相當于在量筒內的空氣柱上附加振動質量，故需將管長修正為l=l0+l=l0+1.7r.[3]

代入簡正頻率公式，取n=1時，可得空氣柱振動基頻為

(6)

因此當水位上升，即空氣柱縮短時，聲音頻率會隨時間升高，若n取不同的正整數，還會出現相似變化趨勢的諧頻，如圖6，(a)亮條紋為實際測得數據曲線，(b)為根據計算結果繪出的曲線，其中曲線由下向上分別表示n=1，2，3，4 時，頻率f隨時間t的變化規律.另外，通過改變水流速度(流量Q)和瓶身尺寸(高度h和半徑r)，也可以改變聲音的頻率.

圖6 簡正頻率隨時間的變化

3 控制變量實驗

根據上述分析結論，筆者設計了一系列控制變量實驗，分別改變水流流速(調節恒壓閥擋位即可)、出水口尺寸(更換不同口徑的出水口)、瓶身容量(采用不同型號的量筒)和瓶身形狀(使用不同形狀的等高玻璃瓶)，探究產生聲音的聲強和頻率隨時間的變化規律.

3.1 聲音頻率與水流速度的關系

注水過程中產生聲音的頻率隨時間(水位升高)逐漸升高，且測得的聲音頻率會略高于理論值.這一現象在水位靠近量筒口時愈發明顯，如圖7，頻率平緩升高時實驗數據與計算值符合度高，而頻率快速升高階段實驗采得的頻率(散點)皆高于理論曲線.

圖7 頻率隨時間變化曲線(聲音特性與水流速度的關系)

由圖可見，實驗與理論存在誤差，這部分誤差的存在主要是兩部分造成，一是水流流速較大，下落時會在液面產生大量氣泡和泡沫，使得實際液面高度高于根據流量計算得到的液面高度，故實際空氣柱長度偏小；二是當液面與量筒口十分接近時，計算空氣柱長度的修正項(附加質量)誤差漸大，同樣使得實際振動的空氣柱長度比代入計算時的長度短.

3.2 聲強與水流速度的關系

注水過程中，同一時刻的水流流速越大，不僅頻率越高，而且聲強越大，如圖8.

圖8 聲音特性與水流速度的關系

對完整過程進行快速傅立葉分析后，圖像中聲強尖峰出現在0～500 Hz之間，對應了頻率隨時間變化曲線中平緩升高部分的頻率范圍，這是聲音在這一頻率范圍長時間累積出現的結果.

3.3 聲音特性與出水口孔徑關系

隨著出水口孔徑的增大水流截面半徑，也增大水流下落后與液面的接觸面積增大，同時在流速不變的前提下，流量增大，所以單位時間內產生的氣泡數增多，聲強增大，但聲音頻率不變，如圖9.

圖9 聲音特性與水流半徑的關系

3.4 聲音特性與量筒尺寸關系

根據理論計算結果，增大量筒截面半徑或量筒高度后，聲音頻率的變化趨勢是相同的，所以實驗中直接使用不同規格的玻璃量筒進行實驗，即同時改變了半徑和高度兩個變量.

對完整注水過程作快速傅立葉分析，發現隨著量筒容量變大，聲音頻率降低，聲強增大，如圖10.

圖10 聲音特性與瓶身尺寸的關系

3.5 聲音特性與瓶身形狀關系

在改變瓶身形狀(控制玻璃瓶高度相等)時，時域圖(頻率隨時間的變化曲線，顏色明暗表示聲強大小，亮度越高聲強越大)形狀發生明顯變化，基本頻率變化規律不變，而諧頻的變化趨勢與瓶身形狀有關，如圖11.

我們認為這是由于不同形狀的玻璃瓶使得共振腔的邊界條件發生了改變，簡正頻率中的諧頻隨之改變(系數不再是2n-1)，但對基頻變化規律沒有影響.

探究結論：在一次完整的灌水過程中，隨著水位的升高，空氣柱縮短，聲強隨時間降低，頻率隨時間升高.聲強與流速和出水口孔徑正相關(流量和水流半徑越大，產生的氣泡越密集，振動幅度越大)；聲音頻率與瓶身尺寸(高度、半徑)負相關.

圖11 聲音特性與瓶身形狀的關系

4 總結與反思

通過實驗和理論計算，我們得出填充瓶子時所發出的聲音由氣泡振動和空氣柱振動兩部分產生，水中有氣泡產生是產生聲音的必要條件.同時產生氣泡的大小和密集程度決定了聲強大小，而頻率變化則主要是由空氣柱共振體現.

本文的分析皆是建立在規則圓柱形剛性容器的基礎上，而對于生活中常用的細頸瓶狀容器或其他不規則容器，其發聲基本原理相同，但計算頻率時需要根據實際形狀和尺寸設置邊界條件.

另外，考慮到實際灌水時，由于下落水流的存在，空氣柱不是嚴格的完整棒狀.為此筆者補充了一組對照實驗，在量筒中分別豎直插入1～5根細塑料圓棍，在此基礎上進行灌水，聲音頻率不會出現明顯變化.所以為簡化模型，灌水時將量筒內的空氣柱簡化為棒振動是較為合理的.