籃球真有可能向上運(yùn)動嗎？
——評2020年北京高考物理第14題

鄧靖武

(北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)與科學(xué)教育學(xué)院,北京 100120)

2020年北京高考物理試題注重聯(lián)系生活實(shí)際情境創(chuàng)設(shè). 試題其中選擇題最后一題(第14題)為旋轉(zhuǎn)的籃球在空氣中運(yùn)動的情況，筆者針對該題的情境進(jìn)行了相應(yīng)的分析，與同行探討.

1 試題再現(xiàn)及分析

圖1 繞水平軸旋轉(zhuǎn)的籃球

例題.在無風(fēng)的環(huán)境,某人在高處釋放靜止的籃球,籃球豎直下落;如果先讓籃球以一定的角速度繞過球心的水平軸轉(zhuǎn)動(如圖1所示)再釋放,則籃球在向下掉落的過程中偏離豎直方向做曲線運(yùn)動. 其原因是,轉(zhuǎn)動的籃球在運(yùn)動過程中除受重力外,還受到空氣施加的阻力f1和偏轉(zhuǎn)力f2. 這兩個力與籃球速度v的關(guān)系大致為f1=k1v2,方向與籃球運(yùn)動方向相反;f2=k2v,方向與籃球運(yùn)動方向垂直. 下列說法正確的是

(A)k1、k2是與籃球轉(zhuǎn)動角速度無關(guān)的常量.

(B) 籃球可回到原高度且角速度與釋放時的角速度相同.

(C) 人站得足夠高,落地前籃球有可能向上運(yùn)動.

(D) 釋放條件合適,籃球有可能在空中持續(xù)一段水平直線運(yùn)動.

解析:該題有效考查了學(xué)生的遷移運(yùn)用能力,即要求學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行綜合分析判斷,解決問題.學(xué)生根據(jù)題干中給定的信息:籃球未轉(zhuǎn)動的情況下豎直下落,轉(zhuǎn)動的情況下由于受偏轉(zhuǎn)力的作用做曲線運(yùn)動,容易排除(A)選項(xiàng);通過機(jī)械能守恒定律也容易判斷(B)選項(xiàng)錯誤;通過假設(shè)籃球可以水平運(yùn)動,進(jìn)而判斷由于阻力作用會使籃球速度減小,從而導(dǎo)致受到的豎直向上的偏轉(zhuǎn)力減小,無法與重力等大反向,從而判斷(D)選項(xiàng)錯誤.最終可以通過排除法選擇(C)答案.但是(C)答案中描述的人站得足夠高,籃球落地前有可能向上運(yùn)動,真是如此嗎?

2 球體在流體中的運(yùn)動

2.1 流體阻力

流體介質(zhì)對在其中運(yùn)動的物體阻力大小與速度有關(guān),阻力包括粘滯阻力和壓差阻力兩部分,其規(guī)律一般可以表示為[1]f(v)=γv+kv2.其中第1項(xiàng)為粘滯阻力,即物體浸在黏滯流體中運(yùn)動時,物體表面附近的流層間就存在一定的速度梯度.物體所受的黏滯阻力就是物體表面附近的流層間的內(nèi)摩擦力引起的.第2項(xiàng)為壓差阻力,它是由于運(yùn)動的物體前后所形成的壓強(qiáng)差所形成的,與物體的迎風(fēng)面積、形狀和氣流中的位置有關(guān)系.當(dāng)速度較小時,黏滯阻力大于壓差阻力,當(dāng)速度較大時,壓差阻力大于黏滯阻力.

考慮本試題中的籃球,通常成人使用的7號籃球(標(biāo)準(zhǔn)球)質(zhì)量為600～650 g,周長為750～760 mm,若取籃球半徑為r=0.12 m,則籃球在空氣中運(yùn)動黏滯阻力與壓差阻力相等的臨界速度vC=3.0×10-3m/s. 該臨界速度與籃球?qū)嶋H運(yùn)動速度相比非常小,因此,籃球在空氣中下落主要受到的是壓差阻力. 由于空氣阻力的存在,那么籃球在空氣中自由運(yùn)動的最大速度是多少呢?

2.2 收尾速度

2.3 馬格努斯效應(yīng)

圖2 馬格努斯效應(yīng)裝置

當(dāng)圓柱體繞自身軸線旋轉(zhuǎn)并且有流體在垂直于該軸線方向流過時,它會受到一個垂直于流動方向的橫向力,力的方向總是從來流方向與圓柱面上線速度是相反的那一邊指向相同的另一邊.這種現(xiàn)象被稱為馬格努斯效應(yīng).[2]它是1852年由馬格努斯(Magnus)發(fā)現(xiàn)的,研究馬格努斯效應(yīng)的最初原因是因?yàn)榍蛎嫘蔚淖訌椊?jīng)常會受到繞橫軸的意外轉(zhuǎn)動而造成飛行軌跡偏向一邊.[3]他采用的實(shí)驗(yàn)裝置如圖2所示,在兩個圓錐形軸承之間安裝了一個黃銅圓筒,以繩子帶動其旋轉(zhuǎn). 他安裝了吹風(fēng)機(jī)向圓筒上吹風(fēng),當(dāng)吹風(fēng)機(jī)工作時,他發(fā)現(xiàn)了橫向作用力的存在.[4]“香蕉球”、“弧圈球”中的橫向力都是馬格努斯效應(yīng)的結(jié)果. 本文討論的高考試題中籃球在旋轉(zhuǎn)下落的過程中偏離豎直方向同樣也是該效應(yīng)的結(jié)果.

圖3 速度水平時籃球受力

基于此模型,我們可以探討試題中籃球的運(yùn)動情況.若籃球最終能夠向上運(yùn)動,考慮籃球在運(yùn)動過程中速度方向變?yōu)樗降姆较虻臅r刻,如圖3所示. 分析籃球所受重力與馬格努斯升力的大小關(guān)系,若升力大于重力,則籃球?qū)⑾蛏线\(yùn)動,否則籃球?qū)⑾蛳逻\(yùn)動.

由此可見,假設(shè)籃球在水平方向上以收尾速度前進(jìn),要讓籃球能向上運(yùn)動,其角速度應(yīng)該不小于24.7 rad/s.

3 數(shù)值模擬及討論

3.1 分析及數(shù)值模擬

通過前面的分析可知,在高度足夠高的情況下,籃球要能向上運(yùn)動,轉(zhuǎn)動的角速度有一個臨界值ωC.如果小于這一值,無論多高釋放,籃球都不可能向上運(yùn)動. 而上述計(jì)算只是一個估算,估算中至少有幾處導(dǎo)致了臨界值估算變小:第一是直接使用了理論上的收尾速度作為速度水平方向時刻的運(yùn)行速度,顯然這一點(diǎn)會產(chǎn)生較大差別. 第二是數(shù)學(xué)模型中系數(shù)A取1進(jìn)行計(jì)算(0

為了更為準(zhǔn)確地估算臨界值,根據(jù)上述模型進(jìn)行了數(shù)值模擬,利用前面提到的籃球的參數(shù),分別以初始轉(zhuǎn)動角速度10 rad/s，50 rad/s，60 rad/s,進(jìn)行數(shù)值模擬,其下降高度與水平位移軌跡圖如圖4所示.

圖4 不同角度下籃球軌跡模擬圖

從數(shù)值模擬結(jié)果可以看出,如果釋放籃球時,其初始角速度較小,籃球在下落的過程中會由于馬格努斯力的作用而導(dǎo)致橫向偏移,但不會向上運(yùn)動.只有當(dāng)初始角速度達(dá)到50 rad/s左右時才會出現(xiàn)向上運(yùn)動的臨界情況. 當(dāng)以角速度60 rad/s釋放籃球時,在下落的過程中會出現(xiàn)一定幅度的向上運(yùn)動.

3.2 討論

通過前面的分析與數(shù)值模擬,再回到本文前面提到的試題. 由于籃球下落時初始角速度并沒有給定,因此要釋放高度足夠高的情況下,籃球要能向上運(yùn)動,釋放時的初始角速度要超過某一臨界值,如果按照數(shù)值模擬的結(jié)果來看,需要初始角速度大于50 rad/s,即需要大約每秒轉(zhuǎn)動8圈的轉(zhuǎn)速才可能向上運(yùn)動,而這樣的轉(zhuǎn)速,徒手拋出并不容易,因此實(shí)際中籃球難以實(shí)現(xiàn)運(yùn)動過程中向上運(yùn)動,這一點(diǎn)從多個拋球的視頻也能得到驗(yàn)證.

當(dāng)然,這一問題的實(shí)際力學(xué)過程可能比上述分析與模擬復(fù)雜得多,在此通過多種簡化和近似估算得出結(jié)論,供同行探討、批評指正.

(本文數(shù)值模擬及作圖由北京大學(xué)物理學(xué)院杜卓晨完成)