“居高臨下”方能“深入淺出”
——具有高等數學背景的試題的背景分析及解法探微

姜衛東

(江蘇省揚州中學 225009)

隨著高中數學里高等數學的含量進一步擴大，近幾年在高考及模擬試卷中，經常會出現以高等數學為背景的試題，這些試題背景豐富、立意高遠，既考查學生當下的數學素養，又考查學生將來的學習潛能.在解決它們時，由于學生知識與方法的限制，只能遵循“高等背景，初等解法”的原則.接下來，筆者就幾種有高等數學背景的試題進行背景分析，并探究其初等解法.

一、高數的背景類型

1.以泰勒公式為背景

例1設函數f(x)=x(ex-1)-ax2,若當x≥0時，都有f(x)≥0,求實數a的取值范圍.

初等解法：由于f(x)=x(ex-1-ax),又x≥0，故只需證明ex-1-ax≥0,設g(x)=ex-1-ax.g′(x)=ex-a.考慮到ex≥1,為確定g′(x)的正負，應分a≤1與a>1進行討論.(1)若a≤1,則當x∈(0,+∞)時，g′(x)>0,g(x)為增函數.而g(0)=0,從而當x≥0時，g(x)≥0,即f(x)≥0.(2)若a>1,則當x∈(0,lna)時，g′(x)<0,g(x)為減函數.而g(0)=0,從而當x∈(0,lna)時，g(x)<0,即f(x)<0.綜合得a的取值范圍為(-∞,1].

解法感悟：對于與泰勒公式有關的題型，解題的關鍵在于構造函數(而這個函數是由背景分析的逆推而來)，利用導數研究函數的相關性質，再根據函數的性質進行解不等式或不等式證明.在上面解題過程中，當a>1時，對于這種不符合題意的情形，只要找到一個區間，然后證明在此區間上不成立即可.

2.以拉格朗日中值定理為背景

例2已知函數f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.

(1)討論函數f(x)的單調性；(2)設a<-1,如果對任意x1,x2∈(0,+∞),都有|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的取值范圍.

解法感悟：對于與拉格朗日中值定理有關的題型，關鍵在于對不等式進行等價變形，根據式子的結構特征，構造同構函數，利用函數的單調性進行解題.

3.以伸壓變換為背景

解法感悟：對于與伸壓變換結合的題型，應先通過特定的位置(或情形)得到可能的定值，然后通過設點或設線的方法進行論證或求解.

4.以極點極線為背景

解法感悟：對于與極點極線有關的題型，常見的處理方法有兩種：一是先特殊后一般的思想方法，可以根據圖形的對稱性或特殊位置先得到結論，再驗證在一般情形下結論也成立；二是建立與極點有關的方程，通過方程來研究極點的相關性質.

5.以定積分公式為背景(微積分基本定理)

例5設函數f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0，其中f′(x)是f(x)的導函數.

(1)g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+，求gn(x)的表達式；

(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求實數a的取值范圍；

(3)設n∈N+，比較g(1)+g(2)+…+g(n)與n-f(n)的大小，并加以證明.

解法感悟：對于與定積分有關的題型，可以通過構造不等式，然后進行賦值累加即可；也可以先歸納猜測結論，再利用數學歸納法進行證明.

6.以不動點為背景

解法感悟：對于與不動點有關的題型.關鍵是利用遞推關系進行迭代，將題設中的不等關系等價轉化為初始元素的不等條件.

7.以數列極限為背景

例7是否存在各項都是正整數的無窮數列{cn},使得cn+12>2cncn+2對一切n∈N*都成立?若存在，請寫出{cn}的一個通項公式；若不存在，請說明理由.

解法感悟：解決與數列極限有關的題型.關鍵在于深刻理解數列極限的定義，借助已知條件，構造合適的N,使得從數列中某一確定的項(如aN)以后的所有項都符合題設.

二、我們的策略

1.“居高臨下”的意識

現行的新課改要求教師應該具有較高的高數素養，只有這樣才能深刻理解中學數學問題的來龍去脈，才能用“高觀點”來審視中學問題.因此，中學教師應熟練掌握中學教材中所蘊含的高數思想，厘清高等數學與初等數學試題的結合點，并注重研究、剖析以高數為背景的各類試題，準確把握高考命題的走向.

2.“深入淺出”的能力

盡管出現了以高數為背景的試題，但這些高數知識僅僅是為了創設一種情境，并不要求學生要用高數知識來解決.作為中學教師，應該將重心放在中學數學的基本知識和基本思想方法上，通過中學生熟悉的“通性通法”來解決這類題型，這才是教學研究的根本之所在！