循序漸進中掌握

徐斌

【摘要】無痕教育的基本內涵是讓學生感覺不到在受教育，是順其自然的一種教育方式，是一種理想的教育境界。實施無痕教育具有四種基本策略，循序漸進中掌握是策略之三。要做到課堂教學在循序漸進中掌握，可以通過加強深度理解、建立認知結構、設計分層練習等幾種方法實現。

【關鍵詞】無痕教育 課堂策略 循序漸進 掌握

無痕教育的基本要義是隱藏目的與遵循規律，并通過不留痕跡的方式使學生在順其自然的狀態下獲得更好的教育和發展。我們認為無痕教育理念下的課堂實施有四種基本策略：不知不覺中開始，潛移默化中理解，循序漸進中掌握，春風化雨中提升。本文以案例的方式解讀第三種基本策略。

一、深度理解是掌握技能的前提

任何技能的掌握都離不開知識的理解。在基本技能的教學中，不僅要使學生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學生對程序和步驟有深刻的理解。蘇聯數學教育家斯托利亞爾在談到知識的鞏固性教學原則時指出：“鞏固性的原則要求學生長期地保持系統的知識、技能和技巧。如果對所學習的教材沒有深刻的理解，僅僅靠死記，是不能實現這個原則的?！倍P者在上一篇文章里也談到關于理解的三級水平：低級水平是知覺辨認，即“是什么”;中級水平是意義本質，即“怎么樣”;高級水平是系統結構，即“為什么”。因此，高級水平的深度理解是掌握技能的必要條件。

【教學片段1】二年級《9的乘法口訣》

第一，讓學生每人動手每次加9，從9加到81，觀察發現得數之間有什么規律。

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第二，讓學生觀察五角星圖，在計算幾行共有多少個五角星的同時編出乘法口訣。

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第三，引發學生把幾個9和幾個10相比，從減法角度出發再次算出得數。

第四，由乘法口訣計算乘法算式的得數過渡到計算相關除法算式的商。

第五，提出“如果哪一句9的乘法口訣一下子想不出來，你有什么辦法？”

最后，引入手指記憶法。

用手指可以幫助記住9的乘法口訣。你能看懂這些手勢的意思嗎？試一試，很快記住9的乘法口訣。

一般來說，乘法口訣的教學都是在理解乘法含義之后，由加法算式過渡到乘法算式，通過模仿與遷移編出每句口訣，然后通過強化練習，達到對乘法口訣的技能掌握。上述9的乘法口訣教學設計，不同于一般的口訣教學流程，而是打通了加減乘除四則運算思維，把乘法口訣的理解過程變成了規律探索過程和思維發展過程。通過展示直觀的五角星圖片，讓學生動筆，親自加一加，在動手實踐中經歷每次加9的過程，在潛移默化中初步感知幾個9的數據由來及特征，為學習乘法口訣的含義做充分準備，也為探尋乘法口訣規律掃清障礙。在學生已初步了解得數特征的基礎上，通過對比9與10之間的微妙關系，嘗試從減法的角度發現9的乘法口訣規律的獨特奧秘。有了前面的鋪墊準備和例1五角星圖的豐富感性積累，編制9的乘法口訣就水到渠成了。依據學生的學習現實，教師放手讓學生自主編制口訣，使每個學生親身經歷口訣的由來過程。以此為基礎，將著力點放在對9的乘法口訣規律的進一步探尋上。學生不僅能根據以前學習的前后口訣之間的一般規律進行推想，還能根據9的乘法口訣的特殊規律進行對比、歸納和推理。通過介紹手指記憶法，把每一個學生當作學習資源，運用每一個學生的雙手來記憶9的乘法口訣，學生感到新奇、有趣。可以想象，學生對9的乘法口訣的理解和記憶自然延伸到課外，有效提高了學生學習的主動性和積極性。

二、認知結構是掌握技能的關鍵

布魯納曾經指出四條教學原則，第一條原則為“學習的實質是主動形成認知結構”。奧蘇貝爾說：“所謂認知結構，就是學生頭腦內的知識結構?！爆F代認知心理學研究告訴我們，學生學習數學的過程實際上是一個數學認知的過程，在這個過程中學生在教師的指導下把教材知識結構轉化成自己的數學認知結構。如何把數學本身的知識結構轉化為學生頭腦中的認知結構？這就需要教師充分認識數學知識的內在本質與結構，從兒童的已有認知經驗出發，以原有知識為基礎對新的數學知識進行加工和改造，然后按照一定的方式將所要學習的新知識內化到頭腦里面，使新舊知識融為一體，形成穩定的數學認知結構。

【教學片段2】六年級《解決問題的策略：替換》

例題：小明把720毫升果汁倒入6個小杯和1個大杯，正好都倒滿。小杯的容量是大杯的。小杯和大杯的容量各是多少毫升？

變式題：把“小杯的容量是大杯的”改為“小杯的容量比大杯少20毫升”。

教師結合學生回答完善板書：

師：對比剛才進行的兩次替換解決問題，你發現有什么不同？

生1：替換的依據不同，第一次依據“小杯的容量是大杯的”，第二次依據“小杯的容量比大杯少20毫升”。

生2：替換的結果不同，第一次結果總量不變，第二次結果總量變化了。

師：為什么第一次替換的結果不變而第二次結果變化了？

生：因為第一次是倍數關系，替換下來正好;第二次是相差關系，每次替換下來不正好。

師：再來觀察兩次替換中杯子的總個數，你有什么發現？

生1：倍數關系的替換，杯子總個數要么變多了（9個小杯），要么變少了（3個大杯）。

生2：相差關系的替換，杯子的總個數不變（都是9個杯子）。

師：是呀！果汁總量不變但杯子總個數卻變了，果汁總量變了但杯子總個數卻不變。數學就是這么奇妙，在變化和不變之間存在著內在規律，需要我們去發現。

數學是一門結構性很強的學科，知識只有形成結構才能達到深度理解并有可能產生新知識。在學生初步學習了倍數關系的替換策略之后，教師抓住替換的依據進行變式，由“小杯的容量是大杯的”改變為“小杯的容量比大杯少20毫升”，讓學生進行替換策略的鞏固，進而逐步形成結構化很強的板書。讓學生觀察板書時教師進行了三次思辨式提問（替換的依據、果汁的總量、杯子的總個數），適時組織學生討論、辯論，從而使問題得到解決。這樣的設計與教學，抓住兩個量之間的關系，靈活變化，充分調動了學生的探究欲望，利用知識間的遷移，在循序漸進中突破了難點，并讓學生在比較中內化已有知識結構，明確了倍比、差比兩種不同類型的替換特征，在變化與不變中讓學生探尋聯系，感受到數學的一種規律美。

三、適度練習是掌握技能的保證

作為教育學的基本概念之一的技能是指個體運用已有的知識經驗，通過練習而形成的一定的動作方式或智力活動方式。學生的數學技能形成具有階段性特點，因此掌握技能不應一蹴而就，應該遵循數學技能的形成規律和兒童的認知特點，體現循序漸進與螺旋上升。過分重復與簡單的練習容易使學生對學習失去興趣與挑戰性，而過早拔高難度與復雜的應用又容易造成基礎知識和基本技能不扎實。 因此，基本技能的形成，需要一定量的訓練，但要適度，不能依賴機械的重復操作，要注重訓練的實效性。《義務教育數學課程標準（2011年版）》在“教材編寫建議”中指出：“習題的選擇和編排突出層次性，設置鞏固性問題、拓展性問題、探索性問題等?！?/p>

1.鞏固性練習設計

【教學片段3】四年級《平均數》

（1）從“移多補少”到“取長補短”。

（課件先出示筆筒圖，動態顯示移多補少的過程，然后逐步變化為豎著的條形圖，再變化為橫著的條形圖）

（2）從“取長補短”到“求和平分”。

（從橫著的條形圖變化為三條沒有標注長度的帶子圖）

提問：如果用取長補短的方法，那最長的那條帶子該剪下多長呢？中等長度的到底需不需要剪下一段呢？（引導學生產生對數據的需要，用求和平分的方法求平均數解決問題）

在學生初步理解平均數的來源和意義之后，如何靈活求出平均數是學生深度理解兩種方法（移多補少和求和平分）的關鍵，也是學生從知識到方法的提升，是由理解到掌握的必由之路。移多補少法是學生在初步理解平均數時自然產生的方法，而求和平分法則是更為普遍與簡潔的方法。教師沒有機械地規定學生使用哪種方法，也沒有讓學生每題都要使用兩種方法，而是設計了由具體到抽象、由簡單到復雜、由單一到復合的方法，讓學生學會選擇與應用：筆筒直觀圖，學生直接移多補少得出平均數;豎式條形圖，學生由實物圖到條形圖進行移多補少;橫式條形圖，學生由移多補少聯想到取長補短;沒有數據的彩帶圖，學生用移多補少法無法準確進行操作;有數據的彩帶條形圖，學生體驗求和平分法的簡便。這樣的設計，幫助學生溝通了移多補少法與求和平分法之間的內在聯系，以形成靈活的應用技能，達到對平均數的深度理解。

2.拓展性練習設計

【教學片段4】三年級《認識小數》

教師在學生初步學習例題之后，設計了三次拓展變式：

（1）第一次變式。（從長條圖表示人民幣單位1元變式為表示長度單位1米）

（2）第二次變式。（從一根長條圖分解疊加變式為正方形，并且從數量變為數“1”）

（3）第三次變式。（從正方形圖拆解、拼接、濃縮變式為帶有箭頭的直線）

學生首次認識和理解小數的含義需要完成認知上的飛躍。生活中最常見的小數常常出現在商品標價上，因此初次認識小數時從商品價格入手（即例題學習），但是要讓學生認識到小數其實就是十進分數，還需要進一步的感知積累。第一次變式由人民幣單位發展為長度單位，學生積累起豐富的感性經驗：1角→元→0.1元，1分米→米→0.1米。第二次變式由具體的數量發展為單純的數（“1”），讓學生用分數和小數表示涂色部分，進而逐步理解了小數的由來，即“整數→分數→小數”。第三次變式由正方形演變為帶箭頭的直線，進一步抽象，使學生逐漸溝通起小數與整數、分數之間的密切聯系。三次變式拓展，讓學生在動手實踐的基礎上進行觀察、模仿、比較、歸納，經歷由具體的數量轉化過渡到一般的十進分數，讓學生在有序的數學思維活動過程中逐步感知小數的含義，形成小數的正確讀寫以及小數和分數、整數之間的互化技能。

3.探索性練習設計

【教學片段5】四年級《解決問題的策略：畫圖》

出示探索題的基本條件：張莊小學原來有一個長方形操場，長50米，寬40米。

（1）出示初步探索的條件和問題：（要求學生在頭腦中畫圖）

①長增加8米，面積增加多少平方米？

（40×8=320）

②寬增加8米，面積增加多少平方米？

（50×8=400）

（2）出示再次探索的問題：（要求學生先腦中畫圖再紙上驗證）

③長和寬各增加8米，面積增加多少平方米？

（學生容易產生負遷移，錯誤列式為320+400=720）

通過畫圖，學生可能出現的正確方法有：

方法一： 40×8+50×8+8×8

方法二：（50+8）×（40+8） -50×40

方法三：（50+8）×8+40×8

方法四： （40+8）×8+50×8

長和寬各減少8米，面積減少多少平方米？

（3）出示深入探索的條件和問題：（要求先猜測答案再畫圖驗證）

④長增加8米，寬減少8米，面積改變嗎？為什么？⑤長減少8米，寬增加8米呢？為什么？⑥有沒有一種長方形，一條邊增加與另一條邊減少相同長度，面積不變？

對于四年級學生來說，畫圖解決圖形面積變化問題是有一定難度的。這道練習題充滿了探索性，充分體現了畫圖策略的價值所在。教師采用一題多變的方式，讓學生在運用畫圖策略的過程中探索變化規律，享受數學思維活動的快樂。首先，題目出示的方式具有心理暗示的效應：先以文字的“誤導”讓學生輕易地獲得答案，再通過畫圖的策略尋找問題的關鍵，并通過對比讓學生充分感受到畫圖的價值。接下來的變式設計，更是把數學思維推向高潮：由“各增加”到“各減少”的演變使學生的思維更加趨向嚴密，由長增加（減少）同時寬減少（增加）相同長度而猜想面積的變化情況，培養學生的對比推理能力，再通過“變化”和“不變”的追問讓學生體悟到數學辯證法思想。這道拓展題的精心設計，緊緊圍繞畫圖策略，讓學生不斷猜測、驗證和聯想、推理，經歷不同情形下的數形變化，探究圖形變化中的內在規律，引導學生在數學思維活動中獲得成功體驗。