考慮員工加班和間接成本的多項(xiàng)目活動調(diào)度研究

施國洪　尹建建　張祖勝

摘要：文章在傳統(tǒng)項(xiàng)目調(diào)度模型基礎(chǔ)上，引入員工加班方案和間接成本，以項(xiàng)目完成時間和成本費(fèi)用最小為目標(biāo)，以項(xiàng)目活動順序和員工最大加班時間為約束，建立多目標(biāo)優(yōu)化模型。通過設(shè)計充分利用員工可用加班時間的算法，得到各活動可選加班方案，求解多目標(biāo)模型的帕累托解集。用無量綱化目標(biāo)加權(quán)在所得的帕累托解集中選擇滿意解，以達(dá)到平衡項(xiàng)目工期和成本的目的。實(shí)例表明，該模型能有效確定工期短費(fèi)用低的調(diào)度方案集合，為調(diào)度決策提供依據(jù)。

關(guān)鍵詞：項(xiàng)目調(diào)度;員工加班;間接成本;多目標(biāo)優(yōu)化;遺傳算法

一、前言

項(xiàng)目管理的意義在于合理利用資源，在保證項(xiàng)目的順利實(shí)施的前提下，使企業(yè)的相關(guān)利益最大化。在新環(huán)境下，企業(yè)競爭越來越激勵，競爭重心發(fā)生了轉(zhuǎn)移——由企業(yè)資金成本的競爭轉(zhuǎn)向企業(yè)人力資本的競爭。人力資源是項(xiàng)目管理中一類極為重要的資源，人員的調(diào)度就是讓合適的人在合適的時間去從事合適的任務(wù)。人力資源的安排直接影響項(xiàng)目的工期和成本等績效，目前已有較多研究。盧鵬宇等 基于項(xiàng)目演進(jìn)時間片段使用啟發(fā)式搜索進(jìn)行人力資源調(diào)度。Jun等采用遺傳算法對施工項(xiàng)目中的班次計劃表進(jìn)行了優(yōu)化。Wu和Sun使用遺傳算法解決了考慮員工學(xué)習(xí)效應(yīng)的多項(xiàng)目人力資源調(diào)度問題。Campbell指出對員工進(jìn)行交叉訓(xùn)練后制定的人力資源安排更好。Kazemipoor等采用差分進(jìn)化的元啟發(fā)式算法研究了多技能多項(xiàng)目的組合調(diào)度問題。付芳等運(yùn)用列生成法對員工技能水平不同的多項(xiàng)目人力資源調(diào)度問題進(jìn)行求解。Drezet和Billaut綜合貪心算法和禁忌搜索方法，在符合相關(guān)法律前提下研究了人力資源約束下的項(xiàng)目調(diào)度問題。Chen等綜合事件調(diào)度器和蟻群優(yōu)化算法求解軟件項(xiàng)目調(diào)度問題。

以上文獻(xiàn)研究主要集中在員工多技能調(diào)度，多項(xiàng)目調(diào)度以及人員排班等問題上，對于采取員工加班的項(xiàng)目調(diào)度研究還較少。加班制度已經(jīng)逐漸受到企業(yè)和國家的重視，出臺的相關(guān)法律規(guī)定了勞動者的加班時間，調(diào)度決策中考慮員工加班意義重大。人力資源是一類特殊的可更新資源，存在一定的加班余量，對項(xiàng)目的成本和質(zhì)量有很大影響。李明等采用遺傳算法對員工加班調(diào)度進(jìn)行研究。但其所設(shè)計的加班模型有所不足，不能很好挖掘員工的加班潛力。而且其成本模型未考慮間接成本，與現(xiàn)階段現(xiàn)實(shí)脫離較大。隨著產(chǎn)業(yè)服務(wù)的快速轉(zhuǎn)型，諸如服務(wù)費(fèi)、管理費(fèi)等間接成本費(fèi)用節(jié)節(jié)攀升，占總成本比重逐漸變大。以上多數(shù)文獻(xiàn)的模型都存在忽視間接成本的不足。

在前人已有研究的基礎(chǔ)上，根據(jù)現(xiàn)有法律法規(guī)對加班時間的約束，本文考慮項(xiàng)目員工加班和間接成本，建立以完成時間和成本費(fèi)用最小為目標(biāo)的優(yōu)化模型，并采用并列選擇遺傳算法求解。其中，為充分挖掘員工加班潛力，設(shè)計一種最大利用員工可用加班時間的算法，從而計算出每個活動的加班模式集合。最后，結(jié)合實(shí)例的計算結(jié)果驗(yàn)證了模型和算法的有效性。

二、模型建立

項(xiàng)目網(wǎng)絡(luò)圖是由若干活動按一定的邏輯排列組成。考慮員工加班因素后，每個活動可以有多種工作（加班）模式，每種模式的活動完成時間和成本各不相同。據(jù)此，考慮員工加班和間接成本兩大因素，建立以完成時間和成本費(fèi)用最小為目標(biāo)的多目標(biāo)數(shù)學(xué)模型，也稱工期——成本模型。

（一）模型建立的前提假設(shè)

為了使問題能被簡化描述，在模型建立前進(jìn)行假設(shè)。

假設(shè)一：相鄰兩個活動之間應(yīng)為緊前緊后關(guān)系。即活動之間應(yīng)滿足“完成—開始”的順序關(guān)系，不允許提前，也不考慮活動之間的時滯。

假設(shè)二：每項(xiàng)項(xiàng)目活動的人員固定，且存在整體約束。即活動進(jìn)行所需人員一定，且數(shù)據(jù)已知，所有人員須同時進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)活動和加班活動。

假設(shè)三：每個員工為滿足相應(yīng)活動要求的標(biāo)準(zhǔn)員工。即不考慮員工能力水平，效率的不同，每個員工的單位成本相同，且該數(shù)據(jù)已知。員工加班時間以小時/h為單位，且應(yīng)滿足國家法律的相關(guān)要求。我國法律規(guī)定：“職工每日工作8小時、每周工作40小時”。即平均每周休息兩天，考慮國定節(jié)假期，休息日與工作日的比值約為0.4。

假設(shè)四：每個活動在員工正常工作狀態(tài)下的活動持續(xù)時間已知，活動持續(xù)時間以天/d為單位，各種加班模式數(shù)據(jù)依照正常工作活動數(shù)據(jù)在相關(guān)約束下確定。

假設(shè)五：直接成本主要包括人工和材料兩個方面。知道各活動在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的活動持續(xù)時間和員工每天的正常工作時間，項(xiàng)目的總時間是可以知道的。單位時間的材料費(fèi)用一定，材料成本可看作一個常數(shù)，對調(diào)度結(jié)果不影響，可忽略;而由于加班和標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)的員工小時工資不同，人工成本需根據(jù)模式具體計算。間接成本與項(xiàng)目工期有關(guān)，工期越長，間接成本越高。可由單位時間的間接成本費(fèi)率計算間接成本，該數(shù)據(jù)可由專家估計或預(yù)算書分?jǐn)傆嬎愕玫健?/p>

（二）數(shù)學(xué)模型

模型參數(shù)定義如下：

CT（completion time）表示項(xiàng)目完成總時間，包含工作日和節(jié)假日;RC（resource cost）表示項(xiàng)目成本總費(fèi)用;i表示活動編號，0≤j≤N+1，N表示活動總數(shù)，0和N+1為虛活動，不增加時間和成本;ic表示單位時間間接成本費(fèi)率;STj表示活動開始時間;FTj表示活動結(jié)束時間;t表示項(xiàng)目持續(xù)時間跨越的月度;Tj表示活動的作業(yè)總需時長;Pj表示活動的緊前活動的集合;rj表示活動所需人數(shù)，在虛活動中取值為0;Sj表示活動的加班模式，Sj∈{0，1，…，mj}，Sj=0表示加班時間為0，即正常工作模式;mj表示活動能采取的加班模式數(shù)量，包含正常工作模式在內(nèi)，每個活動都有（mj+1）種加班模式可供選擇，虛活動mj=0;wj表示活動的員工正常工作狀態(tài)小時工資（元/h）;wj表示活動的員工加班工作狀態(tài)小時工資（元/h）;Δt表示活動在加班模式Sj下的員工加班總時間，加班時間最小單位為1h，據(jù)相關(guān)法律規(guī)定，每人每天加班時間不能超過三個小時，即員工每天最多工作11h;D表示活動在加班模式Sj下的持續(xù)時間（不含節(jié)假日時間），單位為d;c表示活動在加班模式Sj下的人工成本，是正常工作人工成本和加班工作人工成本的總和。

據(jù)上述描述假設(shè)，以最小化項(xiàng)目完成時間和項(xiàng)目成本費(fèi)用為目標(biāo)，建立工期——成本多目標(biāo)優(yōu)化模型。

目標(biāo)函數(shù)：min（z1=CT，z2=RC）（1）

其中 CT=[30×t+（max{FTN+1}-20×t）×（1+0.4）]（2）

RC=ic×CT+∑c（3）

約束條件：

STj≥max{FTi}?i，j∈Pj（4）

FTi=STj+D（5）

t=

（6）

Tj=rj×D×8（7）

≤3，?j，?Sj（8）

c=8×rj×wj×D+Δt×wj（9）

0≤Sj≤mj，?Sj∈{0，1，…，mj}（10）

模型中，式（1）為總優(yōu)化目標(biāo)，同時考慮項(xiàng)目完成時間和項(xiàng)目成本費(fèi)用2個子目標(biāo);式（2）和式（3）為優(yōu)化子目標(biāo)，分別表示項(xiàng)目完成時間和項(xiàng)目成本費(fèi)用。項(xiàng)目完成時間包含節(jié)假日，由于節(jié)假日與工作日存在比例關(guān)系，實(shí)際上是優(yōu)化項(xiàng)目工作日時間。根據(jù)前提假設(shè)，項(xiàng)目成本費(fèi)用實(shí)際只包含兩部分，直接人工成本和間接成本，間接成本與項(xiàng)目完成時間有關(guān)。

模型約束中，式（4）為相鄰活動之間的邏輯約束，活動開始時間必須比其所有緊前活動的最大結(jié)束時間大;式（5）為在所選加班模式下，相應(yīng)活動完成時的時間;式（6）為項(xiàng)目持續(xù)時間跨越的月度;式（7）為相應(yīng)活動的作業(yè)總需時長;式（8）為加班時間約束，員工每天加班時間不能超過法律規(guī)定的3個小時;式（9）為在所選加班模式下，完成相應(yīng)活動需支付的人工成本，是正常工作人工成本和加班工作人工成本之和;式（10）為加班模式選擇約束，必須在活動可行的加班模式中進(jìn)行選擇。

三、模型實(shí)施

本文模型有2個模塊：初始化模塊，初始化各活動的可行加班方案;多目標(biāo)遺傳算法模塊，對項(xiàng)目可行加班方案的初始種群進(jìn)行多次迭代選擇，搜尋在多目標(biāo)下的帕累托解集。

（一）初始化模塊

初始化模塊，其功能是對基本數(shù)據(jù)信息進(jìn)行加工處理，確定項(xiàng)目中各活動可行的加班模式集合。模塊需輸入項(xiàng)目相關(guān)數(shù)據(jù)：活動j所需人數(shù)rj;活動j的員工正常工作小時工資wj;活動j的員工加班工作小時工資w;活動j在初始狀態(tài)下的活動持續(xù)時間D;活動j的緊前活動的集合Pj。

各活動的加班模式應(yīng)符合相關(guān)法律法規(guī)的約束。我國《勞動法》規(guī)定：“一天加班時間不能超過3個小時，一個月不能超過36個小時。安排勞動者延長工作時間的，支付不低于工資150%的工資報酬;休息日安排勞動者工作又不能安排補(bǔ)休的，支付不低于工資200%的工資報酬;法定休假日安排勞動者工作的，支付不低于工資300%的工資報酬。”根據(jù)法律法規(guī)，為方便計算，本模塊對加班時間有如下假定：

1. 加班安排僅考慮延長勞動者工作時間的模式，不考慮節(jié)假日及休息日模式。假定加班工作小時工資w為正常工作小時工資wj的1.5倍。

2. 員工每日正常工作8小時，每天延長的工作時間不得超過3小時，加班最小單位為1小時，即加班模式下，員工每日工作時長在8～11小時之間。

3. 假定每月的標(biāo)準(zhǔn)工作日為20天，活動持續(xù)時間的最小單位為1天。每月加班時間不超過36小時。

4. 加班應(yīng)滿足整體約束，集體所有人員均參與加班，不考慮部分人進(jìn)行加班工作的情況。

在上述約束條件下，以最大利用為原則，設(shè)計一種充分利用員工可用加班時間的算法流程，以此確定項(xiàng)目中各活動的加班模式集合。設(shè)計的這種算法能在法律約束下最大程度地利用員工可延長時間的加班方式，計算出每個活動的所有可行加班模式。

活動j的作業(yè)總需時長Tj Tj=rj×D×8（11）

活動j員工一個月最多工作時長MTj MTj=rj×36+rj×8×20（12）

活動j續(xù)tj個月 tj=

（13）

員工加班3小時的集體每天加班時間 ΔDTj ΔDTj=rj×11（14）

活動j最短持續(xù)時間min{D} min{D}=

+20×t （15）

活動j能采取的加班模式數(shù)量mj mj=D-min{D}（16）

可知活動j的加班模式Sj Sj∈{0，1，…，mj}

活動j在模式Sj的持續(xù)時間D D=D-Sj（17）

活動j在模式Sj的總加班時間Δt Δt=Tj-D×rj×8（18）

活動j在模式Sj的人工成本c c=rj×8×wj×D×Δt×wj（19）

（二）遺傳算法模塊

遺傳算法模塊，其功能是對初始化模塊確定的各活動可行加班方案進(jìn)行組合生成可行的項(xiàng)目加班方案，利用并列選擇遺傳算法對這些可行的項(xiàng)目加班方案進(jìn)行多次選擇和優(yōu)化，搜尋在多目標(biāo)下的帕累托解集。

組合優(yōu)化問題的表述為：假定一個項(xiàng)目有m項(xiàng)活動，每項(xiàng)活動有n種加班模式，那么該項(xiàng)目的組合方案有mn種。這里使用遺傳算法對此類問題進(jìn)行多目標(biāo)尋化。遺傳算法是一種啟發(fā)式搜索，不是盲目窮舉，模擬自然界優(yōu)勝劣汰的選擇模式尋求全局最優(yōu)，解決此類問題效果較好。

遺傳算法采用并列選擇法對多目標(biāo)問題進(jìn)行目標(biāo)優(yōu)化。其思路如下：首先，對種群的全部個體按子目標(biāo)函數(shù)數(shù)目進(jìn)行均等劃分，一個子群體分配一個子目標(biāo)函數(shù)，各子目標(biāo)函數(shù)在其相應(yīng)的子種群中進(jìn)行獨(dú)立地選擇操作，各自選擇一些適應(yīng)度高的個體組成相應(yīng)新的子種群;然后，將這些新子種群合并成完整群體，作為父代，在這個父代群體中進(jìn)行交叉和變異操作，進(jìn)而生成完整的子代群體;不斷地重復(fù)“分割——并列選擇——合并”操作，最終可得到多目標(biāo)問題的帕累托解集。

1. 編碼。采取基于活動列表的編碼方式，染色體上的基因位數(shù)目為項(xiàng)目活動數(shù)（包括虛擬活動時），每個基因位為項(xiàng)目中相應(yīng)活動所采取的加班模式。染色體編碼和項(xiàng)目加班方案互相映射，確定了各活動的加班模式，一個項(xiàng)目加班方案也就確定了，具有良好的完備性。圖1給出一條染色體編碼，編碼序列為（0，1，4，0，5，3，7，3，0），表示所對應(yīng)項(xiàng)目有7項(xiàng)活動（序列前后為0的基因位表示虛擬活動），活動1加班模式為S1，活動2加班模式為S4，活動3加班模式為S0，依次類推。基于每個基因位對應(yīng)的活動加班模式，可計算出項(xiàng)目的工期和成本，也就相應(yīng)能確定染色體對應(yīng)的適應(yīng)度大小，為個體選擇提供依據(jù)。

2. 選擇。采用輪盤賭的選擇方法篩選保留種群中的較優(yōu)個體，繼承優(yōu)解和保持種群個體多樣性，為下一步交叉操作貢獻(xiàn)優(yōu)質(zhì)基因。適應(yīng)度是評價各個體優(yōu)劣程度的指標(biāo)，適應(yīng)度越大，被保留的概率也就越大。模型目標(biāo)是成本工期越小越好，因此，劃分的兩個子種群對應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)分別為各子種群對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)值越小，種群個體的適應(yīng)度值越大，被選擇保留的概率越大。將選擇出來的兩個新子種群合并為一個完整的種群作為父代，為交叉操作做準(zhǔn)備。

3. 交叉。由于不同個體在相同基因位的可取值范圍[0，mj]相同，這里采取簡單單點(diǎn)交叉方式。從父代種群中選出滿足交叉概率Pc的方案集合，對集合中相鄰兩個個體F1，F(xiàn)2進(jìn)行交叉操作，隨機(jī)確定交叉的位置j∈[1，N+1]，則生成的子代Z1和Z2在j前的基因分別和在j點(diǎn)前的基因相同，在后的基因分別和F1和F2在j點(diǎn)后的基因相同。交叉操作是遺傳算法的關(guān)鍵，可將父代中的優(yōu)良基因繼承給子代，加快收斂速度。

4. 變異。采用基本位變異方式。其過程為先選出滿足變異概率Pc的方案集合，對每個選中的個體隨機(jī)確定其變異位置j∈[1，N+2]，對該點(diǎn)的基因值Sj重新定義，賦予其在取值范圍[0，mj]內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的一個新值，得到子代。變異操作是產(chǎn)生新個體的輔助方法，能有效保持種群個體的多樣性，與交叉操作相配合能有效保證遺傳算法的有效性。

四、實(shí)例驗(yàn)證

為體現(xiàn)本文所設(shè)計模型算法的優(yōu)越性，對文獻(xiàn)中的項(xiàng)目實(shí)例進(jìn)行研究，項(xiàng)目網(wǎng)絡(luò)計劃如圖2所示。項(xiàng)目各活動的正常工作活動時間、活動參與人員數(shù)量、員工正常工作小時工資保持不變，補(bǔ)充項(xiàng)目每天所需的管理費(fèi)用（間接成本費(fèi)率）數(shù)據(jù)，如表1所示。

為凸顯間接成本對調(diào)度結(jié)果的影響，這里分別取間接成本ic=0，500，1000作比較。其中，活動A、I為虛擬活動，它們的各數(shù)據(jù)均記為0。

按照上述設(shè)計編制程序，基于MATLAB R2014a平臺開發(fā)實(shí)現(xiàn)，在2.6GHz雙核處理器、4GB內(nèi)存的計算機(jī)上運(yùn)行，進(jìn)行多次結(jié)果搜索。

（一）初始化模塊——生成活動可行加班模式集合

通過初始化模塊，確定項(xiàng)目中各活動可行的加班模式集合。根據(jù)模塊的功能設(shè)計，模塊運(yùn)行結(jié)果如表2所示。文獻(xiàn)活動A-I的加班模式集合數(shù)量分別為[1，5，5，3，7，5，9，5，1]，而本模型得到的集合數(shù)量為，加班模式活動B增加1個，活動H增加2個，說明本文設(shè)計模型能更加充分挖掘企業(yè)員工的加班潛力。

（二）遺傳算法尋優(yōu)

對初始化模塊確定的各活動可行加班方案進(jìn)行組合生成可行的項(xiàng)目加班方案。基于活動列表的編碼方式，將項(xiàng)目加班方案改編成機(jī)器可識別的染色體編碼序列。根據(jù)各活動可行的加班模式數(shù)量，定出染色體基因座，基因座定義了染色體每個基因位上的取值范圍。

遺傳算法的相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下：種群規(guī)模，將其劃分為兩個包含50個染色體的子種群，分別將項(xiàng)目工期和成本作為子種群的目標(biāo)函數(shù);交叉概率;變異概率;終止代。執(zhí)行算法模塊，確定出ic分別取0元/天、500元/天、1000元/天的帕累托解集如表3、表4、表5所示。觀察三張表數(shù)據(jù)可以看出，間接成本對項(xiàng)目調(diào)度計劃有很大影響，不可忽略。間接成本越大，帕累托解集逐漸向工期短的方案集中，可供選擇的項(xiàng)目方案也越少。

（三）帕累托解集的決策

根據(jù)算法得到帕累托解集后，決策者面臨在解集中選出適合企業(yè)情況滿意方案的問題。企業(yè)在不同時期不同階段的著重點(diǎn)不同，因此，滿意方案很大程度上需要根據(jù)決策者的主觀經(jīng)驗(yàn)決定，如決策指標(biāo)的重要度排序。

這里的兩個指標(biāo)分別為項(xiàng)目工期和成本。由于兩個指標(biāo)在數(shù)量級和單位上互不相同，影響對滿意方案的確定，這里對這兩個評價指標(biāo)進(jìn)行無量綱化處理。采取無量綱化方法中的“均值化”處理方法，它在多目標(biāo)評價中效果較好，計算公式如下：

x=（20）

其中，μ為指標(biāo)j的樣本均值。

以表4為例，運(yùn)用上述公式對ic=500的帕累托解集進(jìn)行處理。通過決策者評價和專家打分綜合評價確定各目標(biāo)權(quán)重系數(shù)ωj。各方案的綜合評價模型如下：

yi=∑ωjxij（21）

這里擬取CT權(quán)重系數(shù)ω1=0.3，RC權(quán)重系數(shù)ω2=0.7。將數(shù)據(jù)代入公式，計算出各方案的綜合評價值為y=[0.974009;0.97957;0.983214;0.99242;0.996307;1.001787;1.005513;1.014961;1.024247;1.027973]向量y中最小值所對應(yīng)的方案即為滿意方案， min（y）=0.974009，即解集中的方案一為項(xiàng)目滿意解。

五、結(jié)語

本文在現(xiàn)有法律對加班時間的約束下，考慮項(xiàng)目員工加班和間接成本，建立了以完成時間和成本費(fèi)用最小為目標(biāo)的項(xiàng)目調(diào)度模型，利用并列選擇遺傳算法求解問題，得到模型的帕累托解集。算法中設(shè)計一種最大程度利用員工可延長時間的算法，以此挖掘最大加班潛力，確定每個活動可選的加班模式集合。對比間接成本不同取值下的帕累托解集，揭示了間接成本對項(xiàng)目調(diào)度計劃有很大影響。

對實(shí)例應(yīng)用分析，驗(yàn)證了所提方法的實(shí)用性與有效性。結(jié)果顯示，本文方法能快速識別各個活動的最大加班潛力，有效確定工期短成本低的調(diào)度方案集合，實(shí)現(xiàn)項(xiàng)目工期與成本費(fèi)用的平衡。最后用綜合無量綱化的目標(biāo)加權(quán)法幫助決策者在解集中選出滿意方案。

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（作者單位：施國洪、尹建建，江蘇大學(xué)管理學(xué)院;張祖勝，重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院）