一種非電傳爆系統(tǒng)的全局靈敏度分析研究

程 蕾，王曉鵬，夏 艷，王宇銳，范新中

（中國運載火箭技術(shù)研究院，北京，100076）

0 引 言

當前航天技術(shù)發(fā)展形勢下，對非電傳爆系統(tǒng)的可靠性要求越來越高，非電傳爆系統(tǒng)的設(shè)計[1]、可靠性評估[2]研究工作也顯得尤為重要。根據(jù)非電傳爆系統(tǒng)傳爆序列特點，利用全概率統(tǒng)計的思想，對這種復雜系統(tǒng)的可靠性進行評估，通過這種方法往往可以得到較為合理的評估結(jié)果。然而，使用全概率方法評估非電傳爆系統(tǒng)可靠性時，是將各個傳爆環(huán)節(jié)的可靠度作為輸入，最后通過全概率公式得到系統(tǒng)可靠度。因此，要進一步提高系統(tǒng)可靠性，就需要對各個傳爆環(huán)節(jié)可靠度的靈敏度進行分析，重點關(guān)注靈敏度高的傳爆環(huán)節(jié)的可靠度，并在工程實際中落實提高重要傳爆環(huán)節(jié)的可靠度，以提高系統(tǒng)的可靠性。

不確定性的傳遞過程分為2 種，正向傳遞和逆向傳遞。正向傳遞指輸入不確定性向輸出不確定性的傳播問題，而逆向傳遞則指追溯輸出不確定性向輸入不確定性的分配問題。靈敏度分析即探索輸入變量不確定性對輸出不確定性的貢獻大小，并給出輸入變量的重要性排序。一旦得到重要性排序，就可以在模型分析中起到非常有效的指導作用[3,4]，協(xié)助模型分析人員以最小經(jīng)濟、時間代價的約束最有效地減小模型輸出的不確定性。當前應用較為廣泛的是Sobol 提出的全局靈敏度指標[5,6]，旨在衡量輸入變量不確定性對輸出模型的影響程度。眾所周知的數(shù)值模擬法（Monte Carlo，MC）可以用來求解Sobol 指標[7]，單層數(shù)值模擬法（Single Monte Carlo，SMC）[8,9]則在此基礎(chǔ)上大大節(jié)約了計算成本，本文將這2 種方法均引入到非電傳爆系統(tǒng)的全局靈敏度指標求解中。

一旦得到非電傳爆系統(tǒng)的全局靈敏度指標，即得到各傳爆環(huán)節(jié)可靠度的重要性排序，就可以有目的地按順序依次提高特定傳爆環(huán)節(jié)的可靠度，以最小的成本、最優(yōu)化的思想使得系統(tǒng)可靠性達標，滿足航天產(chǎn)品的驗收需求。本文給出的非電傳爆系統(tǒng)算例給出了Sobol 全局靈敏度指標使用的流程，適用于航天工程系統(tǒng)內(nèi)的各類非電傳爆系統(tǒng)。

1 某非電傳爆系統(tǒng)描述

某非電傳爆系統(tǒng)由2 發(fā)電爆管、1 套傳爆組件，4發(fā)爆炸螺栓、2 件鎖緊螺母、2 件安裝螺母和2 件鎖緊螺母組成，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意見圖1。

圖1 某非電傳爆系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意Fig.1 Sketch of the Non-electric Detonation Transfer System

其工作原理如下：任一發(fā)電爆管通入額定電流后，起爆器工作，起爆傳爆組件，導爆索傳爆并通過4 路輸出接頭同時起爆4 發(fā)爆炸螺栓，爆炸螺栓工作，從預定分離面分離，完成預定功能。只要一路導爆索組件可靠工作，就能夠保證4 發(fā)爆炸螺栓可靠分離。

系統(tǒng)接入一定電流后，2 發(fā)電爆管工作輸出能量，起爆傳爆組件歧管內(nèi)裝的受主裝藥，受主裝藥工作，起爆4 路集束的導爆索，導爆索傳爆并起爆輸出接頭內(nèi)裝的小火帽，小火帽工作，起爆爆炸螺栓，爆炸螺栓完成分離功能。產(chǎn)品功能框圖見圖2。其中，D1～D7表示非電傳爆系統(tǒng)各傳爆單元，各單元的可靠度可用R1～R7表示，非電傳爆系統(tǒng)的系統(tǒng)可靠度可用RS表示。由圖2 可以看出：

a）D1～D3為冗余結(jié)構(gòu)，設(shè)計為2 路并聯(lián)的串聯(lián)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)；

b）D4～D6為冗余結(jié)構(gòu)，相應于每個爆炸螺栓設(shè)計為2 路并聯(lián)的串聯(lián)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)；

c）4 路爆炸螺栓為串聯(lián)結(jié)構(gòu)，共同完成系統(tǒng)的分離功能。

圖2 某非電傳爆系統(tǒng)功能框圖Fig.2 Diagram of the Non-electric Detonation Transfer System

2 非電傳爆系統(tǒng)全概率可靠性評估方法

全概率公式通常將復雜事件分解為若干不相容的簡單事件之和，通過得到簡單事件的概率，利用其可加性，求得系統(tǒng)可靠性。以圖2 所示的2×4 路系統(tǒng)功能框圖為例，下面簡單介紹全概率方法評估非電傳爆系統(tǒng)可靠性的過程。首先，對圖2 中的串聯(lián)過程進行合并，將系統(tǒng)功能框圖簡化后見圖3。

圖3 功能框圖簡化圖Fig.3 Simplified Functional Diagram

下面采用全概率方法評估非電傳爆系統(tǒng)的可靠度。假設(shè)A1和A2工作的可靠度分別為 RA1和RA2，RS|A1表示A1正常工作下系統(tǒng)正常工作的概率，表示A1失效時系統(tǒng)正常工作的概率。那么，系統(tǒng)可靠度為

根據(jù)圖2 可知，要保證A1失效時系統(tǒng)正常工作，那么A2必須正常工作，即= 0，因此有：

繼續(xù)對RS|A1進行全概率分解。假設(shè) RS|A1A2表示 A2正常工作時正常的概率，表示A2失效時RS|A1正常的概率，那么有：

將式（2）、式（3）代入式（1），得系統(tǒng)可靠度為

下面分別對 RA1、 RS|A1A2、RS|A1A2建立可靠性框圖，給出可靠度計算公式。

表示“電爆管發(fā)火—起爆受主裝藥—受主裝藥起爆4 根集束導爆索”過程的可靠性，即D1～D3的串聯(lián)過程，那么有：

RS|A1A2表示A1、A2同時正常工作時系統(tǒng)工作的可靠度，對應的可靠性框圖見圖4。

圖4 RS |A 1 A2對應的可靠性框圖Fig.4 Reliability Diagram Corresponding to RS|A 1 A2

由于B 表示“導爆索傳爆-起爆小火帽-小火帽起爆爆炸螺栓”的過程，即D4～D6的串聯(lián)過程，C 表示爆炸螺栓分離，即D7。那么有：

圖5對應的可靠性框圖Fig.5 Reliability Diagram Corresponding to

綜上，非電傳爆系統(tǒng)工作可靠度為

3 非電傳爆系統(tǒng)全局靈敏度分析模型

3.1 全局靈敏度指標

不確定性分析領(lǐng)域中，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)分析的基本問題包括正向分析和逆向分析2 個方面。其中，正向分析研究輸入變量的不確定性向輸出性能的傳遞問題，通過結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中不確定性的正向傳遞分析，可以預測和評價輸入變量的不確定性在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的行為結(jié)果，而逆向分析則研究輸出性能的不確定性向輸入變量的分配問題，也稱為靈敏度分析，通過不確定性在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中逆向的靈敏度分析，可以識別影響結(jié)構(gòu)系統(tǒng)輸出性能的輸入變量重要性排序，從而對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)分析、預測和優(yōu)化提供指導。

當前應用廣泛的一個全局靈敏度指標為Sobol 基于方差的指標，即[5,10]：

式中 V [ E (Y | Xi)]為固定某輸入變量Xi時的條件期望E (Y | Xi)的方差； V (Y )為無條件輸出Y 的方差。Sobol基于方差的指標 Si反映了輸入變量Xi對輸出響應Y 方差的貢獻。

Janon[11]指出，Sobol 指標可以表示成模型的無條件輸出與固定某一隨機輸入時的條件輸出之間的協(xié)方差。這個條件輸出一般可以通過固定某個特定輸入變量然后對其他變量隨機采樣得到，也就是：

式中 Y =f ( X , Z)；YX= f ( X , Z')。X 和Y 為相互獨立的隨機輸入變量。式（15）表明，Sobol 基于方差的指標代表無條件輸出Y 與固定某一隨機輸入時的條件輸出YX之間的協(xié)方差Cov(Y , YX)除以一個系數(shù) V (Y )。

由于Pearson 系數(shù)定義為兩變量X1和X2之間的線性相關(guān)程度

則，Sobol 基于方差的指標可以進一步表達如下：

明顯地，Sobol 基于方差的指標就是無條件輸入與固定某輸入時的條件輸出之間的Pearson 相關(guān)系數(shù)乘以一個系數(shù)。

3.2 非電傳爆系統(tǒng)全局靈敏度指標

考慮圖1 中的非電傳爆系統(tǒng)，輸入變量可設(shè)為各傳爆環(huán)節(jié)可靠度 Ri( i = 1,2,..., n)，功能函數(shù)則為式中的系統(tǒng)工作可靠度。

因此，定義非電傳爆系統(tǒng)的功能函數(shù)為

式中 SRi為傳爆環(huán)節(jié)可靠度 Ri( i = 1,2,..., n)對系統(tǒng)輸出可靠度的影響程度，SRi越大代表 Ri的重要性越高，反之亦然。

類似式（17），靈敏度指標可以改寫如下：

那么，非電傳爆系統(tǒng)的靈敏度指標可以利用類似Sobol 指標的單層抽樣方法進行求解。

3.3 非電傳爆系統(tǒng)全局靈敏度指標求解

對于圖1 中所示的2×4 路的非電傳爆系統(tǒng)，要求在置信度0.95 下，非電傳爆系統(tǒng)的可靠度不低于0.99。根據(jù)全概率評估方法，需要對各個傳爆環(huán)節(jié)進行可靠性評估，如表1 所示。

表1 傳爆系統(tǒng)各環(huán)節(jié)可靠度指標Tab.1 Reliability of Each Intermediate Link

根據(jù)式（13）中的功能函數(shù)，給定一組傳爆系統(tǒng)各環(huán)節(jié)可靠度，得到對應的系統(tǒng)可靠度。下面使用SMC方法求解非電傳爆系統(tǒng)全局靈敏度指標，步驟如下：

a）定義非電傳爆系統(tǒng)各環(huán)節(jié)可靠度指標Ri( i= 1,2,.., n )隨機取{0.99,0.999,0.9999, 0.99999,0.999999}中的值，得到輸入變量矩陣 R(A)( N ×n)和( N ×n)；

b）根據(jù)輸入矩陣 R(A)( N ×n)按式得到一列對應的系統(tǒng)輸出可靠度×1)；

c）令輸入變量矩陣，且 R(C)(:, i) =R(A)(:, i)，那么可以得到此時的一列系統(tǒng)輸出可靠度；

e）將步驟c）和步驟d）重復n 次，即可得到各傳爆環(huán)節(jié)可靠度的全局靈敏度指標排序。

3.4 非電傳爆系統(tǒng)全局靈敏度指標結(jié)果

a）R1～R7隨機取自集合{0.99,0.999,0.9999,0.99999,0.999999}。

隨機樣本量105下系統(tǒng)可靠度的分布如圖6 所示。可以看到， 系統(tǒng)可靠度的變動區(qū)間大致為[0.9,0.999999]，若能識別出對系統(tǒng)可靠度影響較大的傳爆單元并著重提高該單元可靠度，可有目的地實現(xiàn)系統(tǒng)可靠度的大幅提升。

圖6 樣本量105 下的系統(tǒng)可靠度分布比例Fig.6 Distribution Ratio of the System Reliability with N=105

本文使用MC 和SMC 計算全局靈敏度指標，得到各個傳爆環(huán)節(jié)可靠度的全局靈敏度指標如圖7 所示。

圖7 各個傳爆環(huán)節(jié)可靠度對應的全局靈敏度Fig.7 Sobol’s Global Sensitivity Index of Each Intermediate Link

由圖7 可知，SMC 得到的結(jié)果精度可信，且R7的重要性最高，其次為R4～R6，再次為R1～R3。若想提高系統(tǒng)可靠度，應重點提高傳爆單元D7的可靠度R7。

b）R1～R6隨機取自集合{0.99,0.999,0.9999,0.99999,0.999999}，R7固定在集合中任一值。

使用MC 和SMC 分別計算全局靈敏度指標，結(jié)果如圖8 所示。

圖8 R7 固定時各個傳爆環(huán)節(jié)可靠度對應的全局靈敏度Fig.8 Sobol’s Global Sensitivity Index of Each Intermediate Link with Fixed R7

由圖8 可以看出，SMC 方法所得結(jié)果的精度可信，且各環(huán)節(jié)可靠度的重要性排序為R4～R6>R1～R3。

當固定 R7為集合{0.99,0.999,0.9999,0.99999,0.999999}中任一值時，通過MC 方法可以統(tǒng)計得到規(guī)律如下：

a）當R7取0.99 時，由于圖7 中顯示R7的重要性遠遠大于R1～R6，因此無論如何調(diào)節(jié)R1～R6，RS均不能達到0.99。

b）進一步提高最重要環(huán)節(jié)可靠度，即R7取0.999時，由表2 可以看出RS可在一定條件下可以達到0.99。若R1～R6均為0.99，那么RS為0.9。由于圖7 中顯示R4～R6的重要度高于R1～R3，那么優(yōu)先提高R4～R6，可以得到表2 中的結(jié)果。

表2 R7 取0.999 時對應的一系列RS 結(jié)果Tab.2 Results of RS with R7=0.999

依據(jù)表2 可以看出：

1）在第一行R1～R6均為0.99 的基礎(chǔ)上，改變輸入環(huán)節(jié)可靠性滿足如下任一條件，均可以將 RS提高到0.99。R4～R6中至少有2 個滿足0.999；R1～R3和R4～R6中各有一個滿足0.999； R1～R3均為0.999。

2）不論如何調(diào)節(jié)R1～R6，RS均不能達到0.999。

由以上分析可以得出，在 R7一定的條件下，在R1～R3保持不變的條件下將R4～R6其中兩個由0.99 提高到0.999，即可以將RS由0.9 提高到0.99；而在R4～R6保持不變的條件下需要將R1～R3均提高到0.999，才可以將RS由0.99 提高到0.999。此結(jié)果與圖8 中R4～R6重要性大于R1～R3的分析一致。

c）當R7取0.9999 時，若R1～R6均為0.99，那么RS為0.9。由于R4～R6的重要度高于R1～R3，優(yōu)先提高R4～R6的可靠性，可以得到表3 中的結(jié)果。

表3 R7 取0.9999 時對應的一系列RS 結(jié)果Tab.3 Results of RS with R7=0.9999

由表3 可以看出：在第1 行R1～R6均為0.99 的基礎(chǔ)上，提高任一輸入環(huán)節(jié)可靠性，均可以將RS提高到0.99；至少要滿足如下條件，才可以使RS達到0.999。R4～R6均為0.999，R1～R3中至少有2 個達到0.999。不論如何調(diào)節(jié)R1～R6，RS均不能達到0.9999。

由以上分析可以得出，在R7為0.9999 時，將R1～R6任一個提高到0.999，均可實現(xiàn)將RS由0.9 提高到0.99，這與表2 中3～4 行結(jié)果（R7為0.999 時需提高R1～R6中的兩個才可實現(xiàn)將RS由0.9 提高到0.99）形成對比，再次證明了R7的重要性最高。而表3 中第4 行也再次證明了R4～R6重要性大于R1～R3。

d）當R7取0.99999 時，若R1～R6均為0.99，那么RS為0.9。由于R4～R6的重要度高于R1～R3，優(yōu)先提高R4～R6的可靠性，可以得到表4 中的結(jié)果。出：

表4 R7 取0.99999 時對應的一系列RS 結(jié)果Tab.4 Results of RS with R7=0.99999

依據(jù)表4 可以看出：

1）在第1 行R1～R6均為0.99 的基礎(chǔ)上，提高任一輸入環(huán)節(jié)可靠性，均可以將RS提高到0.99；2）至少要滿足如下任一條件，才可以使RS達到0.999。

（a）R4～R6均為0.999，R1～R3中至少有一個達到0.999；（b）R1～R3均為0.999，R4～R6中至少有兩個達到0.999。

3）若R1～R6均為0.999，那么RS依然為0.999。在此基礎(chǔ)上，至少要滿足如下任一條件，才可以使RS達到0.9999。

（a）R1～R6中至少有2 個達到為0.9999；（b）R1～R3和R4～R6中各有一個滿足0.9999；（c）R1～R3均為0.9999。

4）無論如何調(diào)節(jié)R1～R6，RS均不能達到0.99999。

由以上分析可以得出，表4 中2～3 行與表3 中2～3行結(jié)果一致；表4 中4～6 行與表3 中4 行形成對比，在將R7由0.9999 提高到0.99999 時，有多種方案可使得RS由0.99 提高到0.999，再次證明了R7的重要性最高；而表4 中7～9 行的結(jié)果，再次證明了R4～R6重要性大于R1～R3。

e）當R7取0.999999 時，若R1～R6均為0.99，那么RS為0.9。由于R4～R6的重要度高于R1～R3，優(yōu)先提高R4～R6的可靠性，可以得到表5 中的結(jié)果。依據(jù)表5 可以看

1）在第一行R1～R6均為0.99 的基礎(chǔ)上，提高任一輸入環(huán)節(jié)可靠性，均可以將RS提高到0.99；

2）至少要滿足如下任一條件，才可以使RS達到0.999。

（a）R4～R6均為0.999，R1～R3中至少有一個達到0.999；

（b）R1～R3均為0.999，R4～R6中至少有2 個達到0.999。

3）若R1～R6均為0.999，那么RS依然為0.999。在此基礎(chǔ)上，R1～R6中任一個滿足0.9999，那么RS就可以達到0.9999。

4）至少要滿足如下條件，RS可達到0.9999。R4～R6均為0.9999，R1～R3中任意2 個達到0.9999。

由以上分析可以得出，表5 中2～3 行與表3 中2～3行結(jié)果一致；表5 中4～6 行與表4 中4 行結(jié)果一致；表5 中7～8 行與表4 中7～9 行形成對比，在將R7由0.99999 提高到0.999999 時，將R1～R6任一個提高到0.9999，即可使得RS由0.999 提高到0.9999；而達到表5 中第9 行條件時，即可使得 RS由0.9999 提高到0.99999。

表5 R7 取0.999999 時對應的一系列RS 結(jié)果Tab.5 Results of RS with R7=0.999999

4 結(jié) 論

本文根據(jù)非電傳爆系統(tǒng)的傳爆特點，利用當前應用廣泛的全概率分析方法對非電傳爆系統(tǒng)的可靠性進行合理評估，將Sobol 全局靈敏度指標推廣到非電傳爆系統(tǒng)，并應用MC 和SMC 分別進行求解，得到各傳爆環(huán)節(jié)可靠度對系統(tǒng)可靠度指標的重要性排序。根據(jù)所得重要性排序，在非電傳爆系統(tǒng)可靠度評估中可以首先調(diào)整最重要環(huán)節(jié)的可靠度，然后依次調(diào)節(jié)次重要環(huán)節(jié)的可靠度，最終實現(xiàn)有目的地、最小成本地提高非電傳爆系統(tǒng)的可靠度，滿足火工品的驗收要求。