基于結構反轉二維光子晶體的拓撲相變及拓撲邊界態的構建*

方云團 王張鑫 范爾盼 李小雪 王洪金

(江蘇大學計算機科學與通信工程學院, 鎮江 212013)

構建了二維六角蜂窩晶格的兩種結構, 讓散射體和基體材料反轉. 由于特有的點群對稱, 該晶格在布里淵區中心具有類比電子體系的p 軌道和d 軌道. 在散射體和基體反轉的兩種結構中, p 軌道和d 軌道也直接實現了反轉. 定量分析了產生軌道反轉的原因來自于低頻局域共振產生空氣帶和介質帶的反轉. 通過p 軌道和d 軌道的宇稱特性, 構建了類比電子體系量子自旋霍爾效應的贗自旋態. 通過G 點處有效哈密頓量的分析,揭示軌道反轉導致的拓撲相變. 通過結構的優化, 構建了基于贗自旋的拓撲邊界態. 電磁波仿真模擬和能流矢量分析證明了結構具有電子體系量子自旋霍爾效應的特性, 即自旋與傳播方向鎖定和拓撲保護. 結果也證明經典波量子自旋霍爾效應的實現可以不經歷帶隙關閉的過程. 與同類型的研究相比較, 本文的結構不需要晶格的縮放, 具有設計簡單、帶隙寬和邊界態局域性較強的特點.

1 引 言

量子霍爾效應和量子自旋霍爾效應開啟了凝聚態物理中一個新的研究方向—拓撲絕緣體. 拓撲絕緣體成功地把數學中抽象的拓撲概念引入到描述結構量子化的電導率中. 拓撲絕緣體基本特征是體絕緣, 表面導電, 更重要的是其單向導電且具有克服背向散射的功能, 這有望解決未來芯片熱效應的難題[1?4]. 量子霍爾效應建立在時間反演對稱破缺的基礎上, 拓撲量由整數第一陳數來描述, 一般通過外加磁場來實現. 量子自旋霍爾效應建立在時間反演對稱的基礎上, 此時第一陳數為0, 需用新的拓撲量子數Z2拓撲數或自旋陳數來描述[5,6].相對來說, 由于不需要外加磁場, 量子自旋霍爾效應更具有獨特的應用價值. 但所有電子體系的拓撲絕緣體在實驗實現上都非常困難, 例如量子霍爾效應需要在低溫和強磁場中才能實現, 給實際應用帶來不便. 量子自旋霍爾效應建立在電子自旋和軌道角動量的耦合從而產生能帶反轉的基礎上, 直到2007 年才在HgTe 量子阱實驗體系中實現出來.

光子晶體是半導體量子理論在經典波領域的類比. 光子晶體具有更易制備的平臺、更易于調控的能帶結構. 人工周期的能帶結構同樣能夠實現電子能帶的拓撲性質. 因此, 伴隨拓撲絕緣體的理論,拓撲光子學的理論也得到很快的發展[7?14]. 除了揭示和驗證拓撲絕緣體的相關理論, 拓撲光子學在光通信領域也發揮獨特的作用.

量子自旋霍爾效應基于成對出現的受到時間反演對稱性保護的魯棒拓撲邊界態, 其關鍵是實現邊界態在能隙中的簡并, 即Kramers 簡并. 電子作為費米子, 具有成對的“自旋”這個內稟屬性, 其時間反演對稱性正好滿足這一簡并條件. 光作為玻色系統, 其時間反演對稱性與作為費米子的電子有本質的不同, 是無法直接構造Kramers 簡并的. 于是研究者構造各種光學贗自旋態來類比電子的自旋對. Khanikaev 等[15]通過雙各向異性介質構造六角晶格, 并采用在高對稱點附近的TE + TE/TE – TM 線偏振作為贗自旋態; He 等[16]在理論上提出了一種基于壓電/壓磁超晶格構成的光拓撲絕緣體模型, 其采用四方晶格, 以旋光LCP/RCP構造贗自旋對. Guo 等[17]利用兩種單負超材料把橫電波和橫磁波相結合構建了簡并的自旋態, 并在實驗上觀察到光量子自旋霍爾效應. Bisharat 等[18]利用同樣的方法使用反轉的超材料金屬表面晶格構造了簡并的自旋態, 其基于表面波的拓撲邊界態被限制在一維方向. 2015 年, Wu 和Hu[19]通過復式六方晶格中的C6對稱性在各向同性介質材料中構造出光量子自旋霍爾態, 其贗時間反演對稱性來自晶格的對稱性. 他們利用能帶的折疊, 將本來處于布里淵區邊界點的Dirac 簡并折疊至布里淵區中心G點, 從而形成雙重Dirac 點. 又通過拉伸和壓縮晶格實現了p 軌道和d 軌道的能帶反轉. 在簡并破缺后的體能帶能隙中, 觀測到贗自旋的魯棒邊界態. 該設計的優點是利用純介質光子晶體構造光拓撲絕緣體, 這種不需要外加磁場的拓撲結構更具有實際應用價值. 文獻[20]利用通過設計六角晶格LC 電路系統構造類比實現了基于軌道反轉的拓撲光子態. 之后研究者在此基礎上展開了系列研究[21?29], 雖然模型種類和方法很多, 但都包含兩個要素: 其一, 能帶要有2 個雙重簡并點, 分別產生贗自旋的p 軌道和d 軌道; 其二, 要通過晶胞的縮放變形, 實現p 軌道和d 軌道的反轉. 但由于需要能帶的折疊, 晶胞單元的設計比較復雜, 依靠晶胞形變必須經歷從帶隙打開到關閉再重新打開的過程, 晶胞的形變是有限的, 這樣導致帶隙寬度非常有限, 拓撲邊界態的局域效應也不強. 因此, 尋找新的機制獲得軌道反轉和拓撲相變就具有非常重要的意義. 本文在六角蜂窩晶格的基礎上通過結構材料的反轉實現拓撲相變, 并在此基礎上通過優化結構, 實現自旋方向鎖定的拓撲邊界態, 即光量子自旋霍爾效應, 它具有帶寬大、邊界態局域效應明顯、模型結構簡單的特點.

2 結構模型設計和能帶的反轉

根據光量子自旋霍爾效應的設計要素, 要產生贗自旋的p 軌道和d 軌道, 需要能帶的二重簡并.因為屬于C6對稱點群的晶格有兩個二維不可約表象E1和E2, 分別對應能帶的二重簡并點, 因此本文考慮一個六角蜂窩晶格, 如圖1 所示. 該晶格是一個三角晶格的復式格子, 每個格點是兩個等價的圓柱形散射體位于基體材料中. 在圖1(a)中, 白色空氣柱是散射體, 綠色是基體介質; 在圖1(b)中,綠色介質柱是散射體, 白色基體是空氣. 圖1(a)和圖1(b)的晶格是一樣的, 但散射體和基體材料正好反轉. 為表示方便, 以散射體英文首字母命名圖1(a)為A 型結構, 圖1(b)為D 型結構. 六邊形是晶格原胞, 其中晶格基矢為a2=ai,a為晶格常數, 原胞邊長為兩種結構散射體半徑均為a0/3. 圖1(c)是計算能帶依據的簡約布里淵區,G,K和M是簡約布里淵區3 個高對稱點.

圖1 六角蜂窩晶格結構模型(六邊形是原胞, a1 和a2 是晶格基矢) (a) A 型結構, 散射體是空氣柱, 基體是介質;(b) D 型結構, 散射體是介質柱, 基體是空氣; (c) 晶格第一布里淵區Fig. 1. Schematic of hexagonal honeycomb lattice (the hexagon is the unit cell, and a1 and a2 are the basic vectors of lattice): (a) The scatterer and matrix are air rods and dielectric, respectively; (b) the scatterer and matrix are dielectric rods and air, respectively; (c) the first Brillouin zone.

在上述晶格的基礎上, 應用基于有限元方法的Comsol 軟件進行能帶的計算. 考慮E極化電磁波(電場Ez分量, 磁場Hx和Hy分量), 介質介電常數為11.7, 掃描方向為M-G-K, 結果如圖2 所示. 圖2(a)對應A 型的晶格, 在G點出現2 個能帶簡并點. 2 個簡并點的Ez模場特征分別類比于量子力學電子波函數的p 軌道和d 軌道[19]. 正三角晶格具有C6對稱性的晶格結構, 在G點的本征態有2 個二維不可約表示:E1和E2. 不可約表示E1對應二重簡并的偶極子態, 如圖2 中2 個p 軌道: px和py, 具有奇宇稱; 不可約表示E2對應二重簡并的四極子態, 如圖2 中2 個d 軌道: dx2?y2和d2xy, 具有偶宇稱. 當前情況下, d 軌道的頻率比p 軌道頻率大, 對應的帶隙是拓撲平庸的帶隙.圖2(b)對應D 型的晶格, 在G點也出現2 個能帶簡并點. 根據簡并點的Ez模場特征, 它們也分別類比于量子力學電子波函數的p 軌道和d 軌道. 同樣根據正三角晶格的點群特性, 在G點的本征態同樣有2 個二維不可約表示:E1和E2. 不同于圖2(a)的是, 不可約表示E1對應二重簡并的四極子態,如圖2(b)中2 個d 軌道: dx2?y2和d2xy, 具有偶宇稱; 不可約表示E2對應二重簡并的偶極子態, 如圖2(b)中2 個p 軌道: px和py, 具有奇宇稱. 在圖2(b)中, d 軌道的頻率比p 軌道頻率小, 與圖2(a)比較, 能帶軌道被反轉, 對應的帶隙是拓撲非平庸的. 這里的軌道反轉的機制與文獻[19]及其他類似的文獻不同. 通過晶格原胞的連續變形來實現軌道反轉都要經歷一個帶隙關閉產生雙重狄拉克點的過程. 目前情況下, 軌道反轉直接在兩種結構材料反轉的晶格中實現, 沒有了帶隙關閉再打開的過程, 是實現基于光量子霍爾效應拓撲相變又一種途徑. 本文和文獻[18]都是通過結構材料的反轉實現了拓撲相變, 但文獻[18]是基于金屬超材料的設計, 本文是基于光子晶體結構. 另外本文設計的是一種全介質結構, 工作頻段取決于晶格常數, 不受材料性質的限制, 是可以從微波擴展到光波. 文獻[21]同樣利用兩個反轉的二維正方格子光子晶體構造邊界態, 但需要用Zak 相位描述能帶的拓撲性質. 另外由于結構是C4點群對稱, 無法構建光量子自旋霍爾效應的拓撲邊界態.

根據圖2 模場分布的宇稱可判斷軌道的類型和反轉. 根據電磁變分原理, 電場能量越集中于高介電常數分布區域, 模式的頻率越低[30]. 一般情況下, 對于低帶隙的兩個邊帶, 下邊帶的電場能量集中在高介電常數區域, 被稱為“介質帶”, 相當于電子的價帶; 上邊帶的電場能量有相當一部分進入低介電常數區域, 被稱為“空氣帶”, 相當于電子的導帶[30]. 光子晶體帶隙的形成主要是Bragg 散射產生的干涉效應. 但在低頻帶隙, 局域共振也發揮一定的作用[31,32]. 在本文的六角蜂窩晶格中, 由于介質柱距離較近, 每個原胞在波長大于介質柱間距的情況下容易形成局域共振, 局域共振的結果使基體介質的電場能量增大. 對A 型結構, 由于基體是介質, 局域共振的結果使下邊帶電磁能量更集中于介質, 能帶沒有反轉. 對D 型結構, 由于基體是空氣,局域共振使基體空氣積累了較多的電場能量, 導致低頻的下邊帶變成空氣帶, 而上邊帶, 由于頻率增加, 局域共振變弱, 變成介質帶, 介質帶和空氣帶出現反轉, 從而導致圖2 中d 軌道和p 軌道交換了位置, 出現軌道反轉現象.

圖2 兩種結構的能帶和在G 點的p 軌道和d 軌道 (a) A型結構; (b) D 型結構Fig. 2. Band structures of the hexagonal honeycomb lattices, and the orbitals of p and d: (a) Type A; (b) type D.

為了驗證上述分析, 分別輸出G點兩軌道在空氣和介質區域的電場Ez的分布數據. 根據公式求出每點的電場能量密度, 再對各區域求平均, 得到空氣和介質區域電場平均能量密度和, 它們的比值反映電場能量分布的變化. 表1 是針對圖1 兩種結構的計算結果. 對A 型結構, p 軌道為下邊帶, 其值小于上邊帶d 軌道的, 所以下邊帶是介質帶, 上邊帶是空氣帶,符合一般情況, 沒有能帶反轉. 而對于D 型結構,p 軌道變為上邊帶, 但小于下邊帶d 軌道的, 因此上邊帶變成介質帶, 下邊帶變成空氣帶,能帶確實發生了反轉.

表1 電場能量密度在兩種類型結構的分布Table 1. Distribution of electric field energy density in two structures.

為了驗證結構的反轉導致拓撲相變是不是需要特定的結構參數, 通過散射體和基體材料介電常數的相對連續的變化來觀察軌道的變化. 研究中散射體半徑設為a0/2, 記錄在G點處p 軌道和d 軌道的頻率隨散射體介電常數εs和基體材料介電常數εm之差的變化, 初始值為εs= 1,εm=11.7. 結果如圖3 所示. 在εs–εm< 0 的區間能帶沒有反轉, 屬于拓撲平庸相; 在εs–εm> 0 的區間能帶反轉, 屬于拓撲非平庸相. 對應任何εs–εm互為相反數的位置, 結構是反轉的.

圖3 p 軌道和d 軌道的頻率隨散射體材料介電常數 εs 和基體體材料介電常數 ε m 之差的變化Fig. 3. Frequency positions of p and d orbits with the differences of εs and ε m .

但軌道反轉并不是實現光量子霍爾效應的充分條件, 光量子霍爾效應是建立在邊界態的基礎上, 還需要拓撲非平庸結構和拓撲平庸結構存在公共帶隙, 這樣在它們連接的邊界上才能形成邊界模式. 在圖2 中, 兩帶隙沒有相交, 在圖3 中, 雖然在G處存在共同的帶隙, 但形成邊界態要在整個截斷方向的波矢都存在公共帶隙, 上述結構都不具備這樣的條件, 無法形成邊界模式.

研究發現兩種結構的帶隙寬度會隨著散射體半徑的增大而變大, 但帶隙位置不一致. 受文獻[22, 23]的啟發, 圓環結構的調節能顯著改善帶隙屬性. 為了得到盡可能大的公共帶隙, 把圖1(b)的介質柱變成空心的圓環, 經驗證, 這樣內環半徑的改變不影響帶隙寬度, 但可以改變帶隙的位置.通過優化, 圖1(a)空氣柱半徑為a0/2, 圖1(b)介質柱外環半徑為a0/2, 內環半徑為a0/3. 兩種周期結構的能帶結構如圖4 所示, 圖4(a)對應A 型結構, 圖4(b)對應D 型結構, D 型結構在G點處實現能帶軌道的反轉. 在圖4(a)中兩軌道之間摻雜一條能帶, 公共帶隙上邊應該是該能帶的最低點, 測得公共頻率帶隙范圍為0.43(2πc/a)—0.49(2πc/a), 如圖中陰影部分所示, 相對帶寬13% (ωc是帶隙中間頻率).

圖4 優化后兩種結構的能帶以及p 軌道和d 軌道的位置(a) A 型結構; (b) D 型結構Fig. 4. Band structures of the optimized lattices, and the orbitals of p and d: (a) Type A; (b) type D.

3 基于贗自旋拓撲相的理論分析

在光學系統中實現自旋霍爾效應的關鍵是建立受時間反轉對稱保護的光學贗自旋態. 根據Wu等[19]在對稱群基礎上構建的光量子自旋霍爾效應的理論, 在二維不可約表象E1和E2中重新構造基函數[p+,p–]和[d+,d–], 其中p±=(px±ipy)/,d±=(dx2?y2±id2xy)/, 得到贗時間反演算符T=UK, 其中U=iσy是一個反幺正算符,K是一個復共軛算符. 在T算符的作用下[p+,p–]具有如下的變換:

此時T算符的作用完全類似于電子系統中真實的時間反演算符. 根據麥克斯韋方程, 可以由基函數對應的Ez場p±求出對應的磁場. 具體過程如下:

從(3)式可以看出, 基函數p±對應的磁場是2 個旋轉方向相反的圓極化偏振, 分別對應電子自旋向上和向下態; 同樣地, 基函數d+和d–也分別對應電子自旋向上和向下態, 稱贗自旋態. 根據k·p微擾理論[19], 在G點兩個二重簡并的本征態分別表示為Γ1=px=|x〉,Γ2=py=|y〉 ,Γ3=dx2?y2=. 在上述四個基矢下系統有效哈密頓量表示為

其 中Mij=?Γi|k·p|Γj〉是不同基矢Γi和Γj的 交 疊積分. 如果進行基矢變換, 在新的基矢空間p±和d±下, 系統的有效哈密頓量重寫為

(6)式的結果取決于MB的值. 如果MB< 0,對應拓撲平庸相; 如果MB> 0, 對應拓撲非平庸相. 正常情況下,εp<εd,M> 0,MB< 0,Cs=0, 對應拓撲平庸; 反轉情況下,εp>εd,M< 0,MB> 0,Cs=±1 , 對應拓撲非平庸態. 圖4 中C+和C–分別代表自旋反向的兩個簡并態的自旋陳數. 在本文研究的系統中, 通過散射體和基體材料的反轉, 出現軌道的反轉, 為實現光量子霍爾效應創造了條件. 當拓撲非平庸態結構與拓撲平庸態結構相接構成邊界, 如果兩個結構存在公共帶隙, 在帶隙里面就會形成類似量子電子霍爾效應的螺旋邊界態.

4 贗自旋霍爾效應邊界態的構建

4.1 超胞及邊界態模式分析

圖5 邊界態的構建與分析 (a) 超胞; (b) 超胞的帶結構;(c) 模式分析; 圖(c)給出圖(b)邊界態A 和B 兩點在拓撲非平庸層(中間層)左、右兩側邊界激發的模場Ez 和邊界靠非平庸層一側的能流矢量, 它們分別對應不同旋轉方向的贗自旋, 分別用旋轉箭頭表示; 由于邊界處能流矢量比渦旋處能流矢量大很多, 為了看清矢量旋轉方向, 將矢量圖的位置向非平庸層方向進行了適當的偏離Fig. 5. Construction and analysis of the edge states: (a) Supercell; (b) bands of the supercell; (c) mode analysis. The mode field Ez of the energy flow vectors of points A and B in (c) reveal the pseudo spins at the two edges of the middle non-trivial layer in (a). Because the energy flow vectors at the edge are much larger than those in the vortex,we move the vector plots to the non-trivial layer for a proper distance.

在圖4 結構參數的基礎上, 構建三明治結構的超胞, 如圖5(a)所示. 中間D 型結構層屬拓撲非平庸相, 兩邊A 型結構層屬拓撲平庸相. 超胞產生的投影能帶如圖5(b)所示, 波矢掃描方向為G-K方向. 此帶隙位置和圖4 公共帶隙基本一致, 相對帶隙寬度 ?ω/ωc= 13%. 與用晶胞縮放產生的帶隙寬度相比較, 具有明顯的優勢. 例如, 從文獻[19]估算出相對帶隙寬度 ?ω/ωc= 6.3%. 在文獻[28]中, 形成邊界態的兩個光子晶體的公共帶隙頻率從7.40 GHz到7.56 GHz, 相對帶隙寬度為2.14%.文獻[36]是通過晶胞中心介質柱半徑的變化產生贗自旋邊界態, 其頻率帶隙更小, 大約為0.00021c/a.較大的帶隙寬度能保證邊界態有較好的局域性, 提高邊界態的傳輸性能. 圖5(b)帶隙中的兩條粗(紅)線屬于邊界態色散曲線, 上面兩點A和B對應kx=?0.1 ( 2π/a) . 值得注意的是, 曲線上每一點對應二重簡并, 是受時間反轉對稱保護的贗自旋順時針和贗自旋逆時針的兩個態, 分別屬于D 型結構層左右不同的邊界. 在圖5(c)中, 畫出了點A和B對應的模場Ez的分布以及界面處的能流密度矢量, 左側圖形對應超胞左邊界, 右側圖形對應超胞右邊界. 可以看出, 模場完全局域在兩種結構的界面處. 從放大的能流矢量可以看出, 能流矢量渦旋不在邊界, 而是偏向非平庸層一側. 從能流的旋轉方向看, 點A在拓撲非平庸層的左邊界是順時針贗自旋, 右邊界是逆時針贗自旋; 點B相反,在拓撲非平庸層的左邊界是逆時針贗自旋, 右邊界是順時針贗自旋. 對下面的帶也可作同樣的分析,不過在同一波矢處, 上下帶模式點的贗自旋方向正好相反. 這樣在每個邊界上(不管是左側邊界跡是右側邊界), 都存在2 個邊界態, 每個邊界態對應一個特定的贗自旋, 且方向被鎖定, 因此, 這種邊界態是手性的. 由于受時間反轉對稱的保護, 在同一邊界, 兩個相反贗自旋的邊界態彼此正交, 因此后向的散射被禁止, 邊界態具有拓撲保護的性能.

4.2 拓撲邊界態傳輸

上述拓撲邊界態的性質可以通過Comsol 軟件電磁波頻域模擬來驗證. 構建圖6 兩種結構的邊界模型, 上半空間是拓撲非平庸結構, 下半空間是拓撲平庸結構, 對應圖5 超胞右側邊界, 四周為散射邊界條件. 在邊界中間設置贗自旋源(白色六角星), 頻率分別為0.476 ( 2πc/a) 和0.437( 2 πc/a), 分別位于圖5(b)中AB和CD所在的位置, 記錄歸一化電場Ez幅度的分布. 根據圖5(c)右邊界模場的自旋方向, 在圖6(a)中, 逆時針自旋源只能激發模式A, 邊界態被鎖向–k方向(A點群速度為負),向左傳輸; 在圖6(b)中, 順時針自旋源只能激發模式B, 邊界態被鎖向+k方向(群速度為正), 向右傳輸. 在圖6(c)中, 贗自旋源方向與圖6(a)相同, 激發模式D, 邊界態也是向左傳輸; 在圖6(d)中, 贗自旋源方向與圖6(b)相同, 激發模式C, 邊界態向右傳輸. 插圖顯示介質柱內能流的旋轉方向, 與贗自旋源方向一致, 證明傳播方向與自旋方向鎖定的關系. 因此在同一邊界看自旋方向, 模式A 和D、模式B 和C 同向; 而模式A 和B、模式C 和D 反向. 從能流矢量和場的分布可以看出, 此處邊界態具有較強的局域性, 電場幅度向邊界兩側延伸很少, 這也是該結構拓撲邊界態的優越性.

圖6 贗自旋源(白色六角星)激發的電磁波邊界態傳輸 (a) 頻率位置為AB, 逆時針自旋; (b) 頻率位置為AB, 順時針自旋;(c) 頻率位置為CD, 逆時針自旋; (d) 頻率位置為CD, 順時針自旋Fig. 6. Edge state transmission of electromagnetic wave excited by pseudospin source (white hexagon star): (a) Frequency position at AB and counterclockwise spin; (b) frequency position at AB and clockwise spin; (c) frequency position at CD and counterclockwise spin; (d) frequency position at CD and clockwise spin.

圖7 拓撲邊界態魯棒性的驗證, 白色六角星為贗自旋源位置 (a) 電場Ez 幅度的分布, 障礙物(插圖黑色區域)介電常數2.25;(b) 電場Ez 幅度的分布, 障礙物介電常數11.7; (c) 邊界態沿z 型路線傳輸Ez 場的分布, 插圖為局部放大的能流矢量分布; (d) 邊界態沿z 型路線傳輸的能流矢量和Ez 場的分布, 和圖(c)比較, 源向右移動3 個晶格常數距離Fig. 7. Robust of the topological boundary states and the pseudo-spin source position represented by white hexagonal star: (a) The distribution of the Ez field amplitude with the obstacle (the black area in the illustration) permittivity 2.25; (b) the distribution of the Ez field amplitude with the obstacle permittivity 11.7; (c) the distribution of the Ez field from the edge state transmission along the z-type route (the inset shows a locally amplified Poynting vector distribution); (d) the distribution of the Ez field and the energy flow vectors from the edge state transmission along the z-type route with the source moved 3a to the right.

下面驗證拓撲邊界態抗干擾的魯棒特性. 二維介質柱陣列和介質板打孔結構的異質結結構在制作上容易在界面上形成缺陷, 這些缺陷會產生逆向散射, 對傳輸造成不利的影響, 其影響程度可以檢驗拓撲邊界態魯棒性的大小. 在圖6(b)的邊界上設置結構缺陷, 如圖7(a)和圖7(b)插圖所示, 在本為空氣的區域(黑色)設置成介質構成缺陷. 當缺陷介電常數分別為2.25 和11.7 時, 傳輸結果如圖7(a)和圖7(b)所示. 當缺陷介電常數與空氣相近時, 傳輸結果幾乎沒有變化. 但是當缺陷介電常數與空氣相差較大時, 在逆方向上出現一定的反射, 這種逆反射說明自旋對傳輸方向的鎖定并不是完全的, 也說明了本文結構的局限性. 這種不完全性來源于圖5(b)中邊界態曲線并沒有完全關閉帶隙. 接著把邊界設置成z 型, 如圖7(c)和圖7(d)所示. 在邊界上設置角頻率為 0.474 6(2πc/a) 順時針的自旋源(白色六角星). 對一般的z 型波導, 電磁波在彎曲處會遇到強烈的散射而無法傳輸, 但是對于現在的拓撲邊界態波導, 源設在邊界左側, 電磁波完全繞過拐角, 幾乎沒有損耗地沿著波導傳輸,圖7(c)顯示電場Ez的傳輸結果, 右邊插圖顯示局部拐角處能流矢量的分布情況. 可以看出, 整個電磁波能量完全局域在邊界, 通過拐角時幾乎沒有散射和能量的損耗, 達到理想的傳輸. 進一步把源沿邊界向右移動3 個晶格常數距離, 其他條件不變,場圖和能流矢量如圖7(d)所示. 除逆向有少量的反射外, 電磁波基本向右傳輸.

5 結 論

本文不僅發現了三角晶格體系具有雙重簡并形成的p 軌道和d 軌道, 還發現了能通過散射體和基體的反轉直接實現能帶的反轉和拓撲相變. 這里沒有了同類型結構實現能帶反轉需要經歷帶隙打開到關閉再到重新打開的過程, 這樣在模型的設計上給我們提供了更多的自由度, 在優化結構后還獲得了局域性非常好的邊界態模式. 構建了基于上述拓撲相優化后的邊界結構, 電磁波模擬仿真的結果驗證了該結構的邊界態具有量子自旋霍爾效應特有的單向自旋鎖定和拓撲保護的特性. 研究為光量子自旋霍爾效應體系的設計提供了新的方向.