聲波激勵下管路軸向分布雙氣泡動力學特性分析*

李想 陳勇 封皓 綦磊

1) (天津大學精密儀器與光電子工程學院, 天津 300072)

2) (國防科技大學空天科學學院, 長沙 410073)

3) (中國空氣動力研究與發展中心, 綿陽 621000)

4) (北京衛星環境工程研究所, 北京 100094)

針對基于聲學理論的管道氣泡檢測技術面臨的聲波作用下的氣泡相互作用機理問題, 本文基于自由氣泡Rayleigh-Plesset 模型, 通過引入次Bjerknes 輻射力, 構建能夠考慮管道軸向氣泡分布的可壓縮性雙氣泡動力學模型. 利用四階龍格庫塔方法開展數值計算, 對比分析了不同激勵聲波頻率與幅度作用下自由氣泡與雙氣泡模型引起的氣泡動力學特征的區別. 同時對比了液體可壓縮與不可壓縮假設引起的氣泡動力幅頻響應的區別, 表明可壓縮假設下的次Bjerknes 輻射力引起氣泡發生受迫振動, 不改變氣泡的線性共振特征; 而不可壓縮假設引起氣泡間發生強耦合, 從而改變氣泡系統的線性共振特征. 氣泡距離直接影響次Bjerknes 輻射力大小, 導致氣泡動力學趨向于非線性振動, 與線性振動的頻譜特征差別明顯. 氣泡軸向位置的變化引起外界激勵聲波的變化, 從而改變氣泡的初始振動特征. 初始特征的差異與次Bjerknes 輻射力發生耦合作用, 影響氣泡動力學特征, 甚至發生非線性振動. 研究表明, 小氣泡在共振的情況下, 與次Bjerknes 輻射力發生耦合作用, 使得雙氣泡系統更容易趨向于非線性特征; 而大氣泡則能夠較好地保持線性共振狀態.

1 引 言

氣泡檢測是航天推進管路系統在軌狀態監控的一項重要指標, 氣泡的存在不僅影響諸如壓力泵的正常工作, 而且影響燃燒室氣液混合, 引起不穩定燃燒, 導致推進系統工作不穩定, 甚至發生災難性結果[1]. 另外, 氣泡檢測可以用于評價貯箱表面張力等推進劑管理裝置性能, 也可用于監控在軌流體傳輸中氣泡吹除過程[2]. 基于聲學理論的氣泡檢測技術由于具備響應速度快、非接觸安裝等特征,得到了廣泛的重視, 并發展了“被動”以及“主動”兩大類檢測方法[3,4]. 具體而言, 被動方法通過檢測氣泡共振信號獲得氣泡尺寸信息. 主動方法基于氣泡與聲學耦合動力學機理, 根據聲波在兩相流中傳播特征從而實現氣泡檢測. 兩者的理論核心是管道流動中氣泡在聲場作用下的動力學特征.

對于聲波作用下的自由單氣泡動力學特征的研究, 已有大量的學者從建模[5]、數值計算[6,7]以及試驗[8,9]的角度開展了豐富的工作, 分別研究了氣泡的線性以及非線性[10,11]特征, 形成了較為完善的理論基礎[12]. Rayleigh[13]首先對氣泡與聲學耦合機理開展理論建模工作, 基于氣泡球形假設, 研究了單個氣泡的潰滅過程, 推導了著名氣泡徑向壁面運動學方程—Rayleigh 方程. 由于Rayleigh方程不計液體黏性、表面張力和液體可壓縮性等,后續研究者陸續對Rayleigh 方程進行了研究并修正. Hsieh 和 Plesset[5]考慮液體的黏性、液體表面張力的影響, 基于球形氣泡的假設, 形成了較為完善的氣泡壁面徑向振動Rayleigh-Plesset 方程.

由于實際氣泡檢測應用中存在大量氣泡, 氣泡相互作用使得單氣泡模型無法準確地描述多氣泡動力學特征, 研究表明, 氣泡間次級輻射形成的次Bjerknes 力[14,15]顯著影響氣泡振動特征及氣泡分布[16]. 對多氣泡動力學特征的研究主要通過兩種途徑展開, 分別為通過將氣泡與液體構成的連續介質看作整體從而分析氣泡群的整體變化以及分析氣泡群內每個氣泡的運動變化. 前者通常分析線性或弱非線性環境下氣泡群的動力學行為. Omta[17]發現了氣泡群的共振頻率遠小于單氣泡的共振頻率. Hamilton 等[18]描述了液體可壓縮性對氣泡間相互作用的影響并對氣泡群生長、合并和崩潰進行模擬. 后者重點考慮泡群內氣泡間的相互作用.Mettin 等[14]研究了強聲場中不同尺寸球形氣泡之間的次Bjerknes 力特征及其對氣泡平移變化規律的影響. Pelekasis 等[15]在確保驅動頻率的二次諧波處于雙氣泡系統中不同半徑氣泡對應的共振頻率之間的前提下, 研究了不同聲場振幅下雙氣泡之間的次Bjerknes 力對氣泡平移變化規律的影響.Doinikov[19]對多個任意空間排列的多氣泡結構中的每個氣泡的動力學特征進行了求解, 并且對不同分布下氣泡的平移與徑向運動特征進行了分析.Maiga 等[20]理論分析了雙氣泡作用下的空化現象. Yoshida 等[21]與Jiao 等[22]通過試驗驗證了次Bjerknes 力對雙氣泡動力學特征的影響, Zilonova等[23]分析了雙氣泡之間的黏彈性力問題.

圖1 管道內雙氣泡位置示意圖(二維)Fig. 1. Schematic diagram of two-bubble positions in the pipeline (two-dimensional).

上述研究主要集中于氣泡在同一橫截面內的情況, 使得所有氣泡都處于同一外界聲波激勵. 另一方面, 大量工作研究了相同尺寸大小氣泡形成的氣泡群的動力學特征. 本文擬針對基于聲學理論的管道氣泡檢測問題, 研究管道內任意分布(軸向或者徑向)的不同尺寸的雙氣泡(如圖1 所示)在外界聲場激勵下的線性與非線性動力學行為. 分析氣泡距離與氣泡軸向位置等對氣泡動力學特征的影響, 對比分析不同激勵聲波頻率與幅度等因素對氣泡動力學特征的影響, 同時研究多因素耦合作用引起氣泡動力學的變化.

2 基本方程

2.1 雙氣泡動力學模型

圖1 為二維管道內氣泡分布示意圖. 在分析過程中, 采用柱坐標系進行標記, 即x表示軸向坐標,r表示徑向坐標. 本文只考慮激勵聲波對氣泡半徑的影響, 忽略氣泡在周向的變化, 氣泡動力學滿足軸對稱特性. 假設管道流體中兩氣泡大小與位置隨機分布, 半徑為R1的氣泡1 的球心位置為 (r1, x1) ,半徑為R2的氣泡2 的球心位置為 (r2, x2) . 氣泡2對氣泡1 的次Bjerknes 作用力為p21, 氣泡1 對氣泡2 的次Bjerknes 作用力為p12. 氣泡球心之間的距離為h, 且球心連線與x軸的角度為θ, 激勵氣泡的外界聲波表示為p′.

由于雙氣泡動力學模型系統中氣泡的運動受到氣泡間次Bjerknes 輻射力的影響, 與單自由氣泡動力學特征不一致, 需要針對管路內氣泡特征進行理論建模. 在建模過程中考慮液體的黏性、表面張力等影響, 并假設泡內氣體是理想氣體且壓強分布均勻, 氣泡與液體不存在滑移現象. 為簡化建模,忽略氣泡內動力學特征, 包括水汽、氣液界面間的熱傳導, 氣泡的形成、破裂與合并. 當激勵聲波頻率足夠大時, 激勵聲波在管道中形成不同的模態,導致聲波在徑向存在復雜的分布, 從而帶來復雜的氣泡動力學特征. 針對檢測技術而言, 重點研究平面波激勵下的氣泡動力學特征. 此外, 忽略擾動在管道壁上反射引起的氣泡額外輻射力. 需要指出的是, 當氣泡在管壁附近時, 管壁的影響不可忽略[24].

在上述假設情況下, 氣泡1 與氣泡2 的動力學模型可以表示為[25]

其中,σ與η分別表示液體的表面張力系數以及剪切黏性系數;ρL表示液體密度;p∞為外界環境氣壓;p′(x1)和p′(x2) 為聲波激勵信號. 通過氣泡質量守恒(PV γ=constant,γ為氣體比熱比,V為氣泡體積)可以得到氣泡內壓強為[26]

其中,R10與R20分別表示氣泡1 與氣泡2 的平衡半徑. 此外, 氣泡輻射力可近似地表示為

式中考慮液體的可壓縮特征. 將(3)—(6)式分別代入(1)式和(2)式可以得到氣泡1 與氣泡2 在外界聲場作用下的動力學模型:

2.2 線性化分析

利用平衡半徑R1=R10(1+ε1),R2=R20(1+ε2) ,其中ε1與ε2分別表示氣泡振動引起的無量綱化半徑變化小量, (7)式和(8)式可以簡化為

忽略高階項并保留線性項可以得到:

當不考慮氣泡間相互作用時, 自由氣泡的動力學特征可以表征為

不難得到, 氣泡1 在自由振動下的阻尼系數與共振頻率為

同理, 氣泡2 在自由振動下的阻尼系數以及共振頻率分別為

當不考慮液體可壓縮特性時, 聲波擾動在液體中傳播速度為無窮大, 即cL→∞, 則(11)式和(12)式可以簡化為

(17)式描述了不可壓縮液體中雙氣泡在外界聲波擾動作用下的線性動力學特征. 其線性共振頻率fres_twobub滿足:

可以通過牛頓迭代法等求解方程(18)的根,獲得對應的雙氣泡共振頻率. 當忽略系統振動阻尼的影響(δ1=0 以及δ2=0 )時, (18)式可以簡化為

方程(9)的解析解即為不可壓縮流動中雙氣泡共振頻率.

3 數值分析

本節通過數值計算研究不同尺寸大小的氣泡在不同聲波激勵下的非線性動力學特征, 深入分析外界聲波擾動、氣泡間距離以及氣泡軸向位置等對氣泡演化的影響. 在數值計算的過程中, 外界環境氣壓 kPa, 液體密度 kg/m3,表面張力系數 N/m, 黏性系數P∞=101ρL=998σ=0.0725η=1×10?3kg/(m·s), 靜止液體中聲波的傳播速度cL=1480 m/s, 氣體比熱比γ=1.4 . 在數值計算過程p′(x)=A0cos(2πft ?2πfx/cL)A0f中, 聲波激勵信號 ,其中 為激勵聲波幅值, 為聲波激勵頻率, 不考慮激勵聲波在傳播過程中的損失. 假設兩氣泡的平衡半徑分別為R10=0.2 mm 以及R20=0.8 mm,則根據(15)式與(16)式可以得到兩氣泡的共振頻率分別為fres_1≈16.45 kHz 以及fres_2≈4.10 kHz.數值計算過程中, 結合兩氣泡的共振頻率, 激勵聲波頻率分別為2, 15 以及50 kHz; 同時, 選擇兩種激勵聲波幅度進行對比分析, 分別為1 Pa 與1 kPa.針對氣動非線性動力學系統((7)式和(8)式), 采用四階龍格-庫塔方法進行計算.

3.1 單氣泡與雙氣泡動力學對比分析

本小節分析不同聲波頻率與幅度激勵下的氣泡動力學特征, 并對比雙氣泡與自由氣泡的擾動動力學特征. 為降低氣泡二次輻射力的影響, 在雙氣泡動力學計算過程中, 兩氣泡之間的距離設置為h=8 mm, 對應氣泡間二次輻射力延時時間約為4.73×10?6s. 數值計算中時間迭代步長為10–7s,氣泡的初始狀態設置為R1,2=R10,20以及為保證激勵信號對雙氣泡的影響一致, 氣泡球心連接線與軸向坐標x軸的夾角設置為 π /2 . 圖2 給出了相應的氣泡半徑的演化過程.

具體而言, 圖2(a)表示1 Pa 幅度的激勵聲波引起的氣泡1 相對半徑(R1/R10)的演化過程,圖2(b)表示1 Pa 幅度的激勵聲波引起的氣泡2相對半徑(R2/R20)的變化過程, 圖2(c)與圖2(d)分別表示1 kPa 幅度的激勵聲波引起的氣泡1 與氣泡2 的相對半徑的演化過程. 不難看出, 在激勵幅度不變的情況下, 激勵聲波頻率越接近氣泡共振頻率, 引起的氣泡相對半徑變化幅度就越大. 具體而言, 在圖2(a)與圖2(c)中, 15 kHz 的激勵頻率與氣泡1 的自由共振頻率fres_1≈16.45 kHz 接近,引起的半徑相對變化R1/R10較其他兩種工況要大.當激勵頻率遠離共振頻率時, 氣泡的響應變弱, 表現為氣泡1 在激勵頻率為2 kHz 工況下的相對半徑變化大于50 kHz 激勵下相對半徑變化. 同理,在圖2(b)與圖2(c)中, 2 kHz 的激勵頻率與氣泡2的自由共振頻率fres_2≈4.10 kHz 接近, 引起的半徑相對變化R2/R20較其他兩種工況明顯.

通過對比圖2(a)與圖2(c)及圖2(b)與圖2(d)可以得到, 在激勵頻率相同的情況下, 激勵幅度越大, 引起的氣泡半徑變化越大. 需要指出的是, 當氣泡間距離為h=8 mm 時, 氣泡1 和氣泡2 在自由振動與氣泡間輻射力影響下的振動狀態差別不明顯.

圖2 三種不同頻率(2, 15 和50 kHz)與兩類幅度(1 Pa 與1 kPa)聲波激勵下的自由氣泡與雙氣泡設置下半徑振動特征(a) 1 Pa 聲波激勵下氣泡1 在三種激勵頻率工況下自由氣泡與雙氣泡約束對應的氣泡半徑振動特征; (b) 1 Pa 聲波激勵下氣泡2在三種激勵頻率工況下自由氣泡與雙氣泡約束對應的氣泡半徑振動特征; (c) 1 kPa 聲波激勵下氣泡1 在三種激勵頻率工況下自由氣泡與雙氣泡約束對應的氣泡半徑振動特征; (d) 1 kPa 聲波激勵下氣泡2 在三種激勵頻率工況下自由氣泡與雙氣泡約束對應的氣泡半徑振動特征; 圖例在圖(d)中給出Fig. 2. Effects of acoustic excitations with different frequencies (2, 15 and 50 kHz) and amplitudes (1 Pa and 1 kPa) on the bubble dynamics under single free and regulated two-bubble vibrations: (a) Relative radius of bubble 1 between two configurations (single free and regulated two-bubble vibrations) with the amplitude of acoustic excitation being 1 Pa; (b) relative radius of bubble 2 between two configurations (single free and regulated two-bubble vibrations) with the amplitude of acoustic excitation being 1 Pa;(c) relative radius of bubble 1 between two configurations (single free and regulated two-bubble vibrations) with the amplitude of acoustic excitation being 1 kPa; (d) relative radius of bubble 2 between two configurations (single free and regulated two-bubble vibrations) with the amplitude of acoustic excitation being 1 kPa. The figure legend is given in panel (d).

3.2 氣泡距離對雙氣泡動力學影響

本小節分析氣泡距離對雙氣泡動力學的影響.具體而言, 設置兩個工況, 即氣泡間距離h分別為2 與8 mm, 對應平衡狀態下時間延時分別為6.76×10?7與 4.73×10?6s. 數值計算中時間迭代步長為10–7s, 氣泡的初始狀態設置為R1,2=R10,20以及. 外界聲波的激勵頻率和幅度與3.1 小節保持一致. 圖3 給出兩個氣泡的相對半徑動力學特征, 圖4給出了兩個氣泡受到的相應次Bjerknes 輻射力.

圖3(a)表示1 Pa 幅度的激勵聲波引起的氣泡1 相對半徑(R1/R10)的演化過程, 圖4(a)表示氣泡2 對氣泡1 形成的次Bjerknes 輻射力. 圖3(b)表示1 Pa 幅度的激勵聲波引起的氣泡2 相對半徑(R2/R20)的變化過程, 圖4(b)表示氣泡1 對氣泡2 形成的次Bjerknes 輻射力. 圖3(c)與圖3(d)分別表示1 kPa 幅度的激勵聲波引起的氣泡1 與氣泡2 的相對半徑的演化過程. 圖4(c)與圖4(d)則表征了氣泡間相應的次Bjerknes 輻射力. 與圖2對比可以得到, 當次Bjerknes 輻射力不明顯時, 在激勵聲波頻率越接近氣泡共振頻率時, 氣泡半徑變化越明顯; 激勵聲波幅度越大, 氣泡半徑動態變化的幅度也相應增大.

圖3 三種不同頻率(2, 15 和50 kHz)與兩類幅度(1 Pa 與1 kPa)聲波激勵下的不同氣泡距離(2 與8 mm)對氣泡振動動力學特征影響 (a) 1 Pa 聲波激勵下氣泡1 在三種激勵頻率工況下不同氣泡距離對應的氣泡半徑振動特征; (b) 1 Pa 聲波激勵下氣泡2在三種激勵頻率工況下不同氣泡距離對應的氣泡半徑振動特征; (c) 1 kPa 聲波激勵下氣泡1 在三種激勵頻率工況下不同氣泡距離對應的氣泡半徑振動特征; (d) 1 kPa 聲波激勵下氣泡2 在三種激勵頻率工況下不同氣泡距離對應的氣泡半徑振動特征; 圖例在圖(a)和(c)中給出Fig. 3. Effects of acoustic excitations with different frequencies (2, 15 and 50 kHz) and amplitudes (1 Pa and 1 kPa) on the bubble dynamics under different distances, with 2 mm and 8 mm, between the two bubbles: (a) Relative radius of bubble 1 under two different bubble’s distance with the amplitude of acoustic excitation being 1 Pa; (b) relative radius of bubble 2 under two different bubble’s distance with the amplitude of acoustic excitation being 1 Pa; (c) relative radius of bubble 1 under two different bubble’s distance with the amplitude of acoustic excitation being 1 kPa; (d) relative radius of bubble 2 under two different bubble’s distance with the amplitude of acoustic excitation being 1 kPa. The figure legend is given in panel (a) and (c).

圖4 三種不同頻率(2, 15 和50 kHz)與兩類幅度(1 Pa 與1 kPa)聲波激勵下的不同氣泡距離(2 與8 mm)形成的次Bjerknes 輻射力 (a) 1 Pa 聲波激勵下氣泡1 在三種激勵頻率工況下不同氣泡距離對應的次Bjerknes 輻射力; (b) 1 Pa 聲波激勵下氣泡2 在三種激勵頻率工況下不同氣泡距離對應的次Bjerknes 輻射力; (c) 1 kPa 聲波激勵下氣泡1 在三種激勵頻率工況下不同氣泡距離對應的次Bjerknes 輻射力; (d) 1 kPa 聲波激勵下氣泡2 在三種激勵頻率工況下不同氣泡距離對應的次Bjerknes 輻射力Fig. 4. Effects of acoustic excitations with different frequencies (2, 15 and 50 kHz) and amplitudes (1 Pa and 1 kPa) on the second Bjerknes force under different distances, with 2 mm and 8 mm, between the two bubbles: (a) Relative radius of bubble 1 under two different bubble’s distance with the amplitude of acoustic excitation being 1 Pa; (b) relative radius of bubble 2 under two different bubble’s distance with the amplitude of acoustic excitation being 1 Pa; (c) relative radius of bubble 1 under two different bubble’s distance with the amplitude of acoustic excitation being 1 kPa; (d) relative radius of bubble 2 under two different bubble’s distance with the amplitude of acoustic excitation being 1 kPa.

圖3(b)與圖3(d)中, 2 kHz 的激勵聲波頻率由于接近氣泡2 的共振頻率, 激發的氣泡半徑變化與其他兩種激勵頻率相比更加顯著. 隨著時間的增加, 15 kHz 的激勵頻率在氣泡間距離為2 mm 時增加了氣泡1 的半徑變化(圖3(a)與圖3(c)), 進而導致氣泡1 對氣泡2 的次Bjerknes 輻射力增加(圖4(b)與圖4(d)), 使得氣泡2 在15 kHz 的激勵聲波的作用下其半徑變化顯著. 另一方面, 2 kHz的激勵頻率在氣泡間距離為2 mm 時對氣泡2 的影響與氣泡間距離為8 mm 時對氣泡2 的影響區別不顯著(圖4(a)與圖4(c)), 使得氣泡1 的動力學特征變化并不明顯(圖3(a)與圖3(c)). 而對于50 kHz 的激勵聲波, 其頻率與兩個氣泡的共振頻率差別較大, 氣泡間距離對氣泡動力學較小.

從圖4(a)與圖4(c)可以看到, 在氣泡初始振動階段, 8 mm 的氣泡間距離引起的次Bjerknes 輻射力存在大于2 mm 氣泡間距離的工況. 隨著時間的推移, 2 mm 氣泡間距離下的次Bjerknes 輻射力急劇增大, 使得氣泡動力學進入非線性狀態. 當激勵頻率接近于任意氣泡共振頻率時, 氣泡間的次Bjerknes 輻射力得到了顯著加強, 使得雙氣泡的半徑變化特征顯著. 由圖3 可以得到, 當氣泡半徑比較小時, 共振頻率高, 相應的次Bjerknes 輻射力的影響顯著提前(對應15 kHz 激勵聲波工況). 當次Bjerknes 輻射力遠離氣泡共振頻率(50 kHz)時,其對初始氣泡動力學特征的影響較小.

3.3 氣泡軸向位置的影響

本小節對氣泡軸向位置的影響進行分析, 通過改變兩氣泡球心連線與軸向坐標x軸夾角θ的大小實現軸向位置的改變. 在數值計算過程中,θ分別取值0, π /2 , π , 對應三種不同位置. 此外, 氣泡球心距離設置為2 mm, 激勵聲波幅度為1 kPa. 數值計算中時間迭代步長為10–7s, 氣泡的初始狀態設置為R1,2=R10,20以及. 圖5—圖7 給出了氣泡半徑的動態演化過程圖.

物理上而言, 當θ=π/2 時, 兩個氣泡的軸向位置一致, 激勵信號對兩個氣泡的相位和幅度保持一致. 當θ=0 時, 兩個氣泡的軸向位置不同, 且滿足x2?x1=2 mm. 當θ=π 時, 兩氣泡的軸向位置滿足x2?x1=?2 mm. 針對θ=0 以及θ=π 的工況, 外界激勵聲波對兩氣泡存在相位的差別.

當聲波激勵頻率為2 kHz 時, 三種位置工況(θ=0,θ=π/2 與θ=π )對應的相位延時分別為0.017π , 0 以及?0.017π . 由圖5 可以看出, 在上述延遲工況下, 氣泡1 與氣泡2 的相對半徑變化趨勢在三種工況下基本保持一致. 當聲波激勵頻率為15 kHz 時, 三種位置工況對應的相位延時分別為0.1274π , 0 以及?0.1274π .

圖5 2 kHz 聲波激勵下不同氣泡位置對氣泡振動過程的影響 (a)三種不同相對位置工況下氣泡1 相對半徑動態變化圖;(b)三種不同相對位置工況下氣泡2 相對半徑動態變化圖Fig. 5. Effects of different bubble locations on the bubble’s dynamics with the frequency of acoustic excitation being 2 kHz: (a) The radius dynamics of bubble 1 under three different locations; (b) the radius dynamics of bubble 2 under three different locations.

圖6 15 kHz 聲波激勵下不同氣泡位置對氣泡振動過程的影響 (a)三種不同相對位置工況下氣泡1 相對半徑動態變化圖;(b)三種不同相對位置工況下氣泡2 相對半徑動態變化圖Fig. 6. Effects of different bubble locations on the bubble’s dynamics with the frequency of acoustic excitation being 15 kHz: (a) The radius dynamics of bubble 1 under three different locations; (b) the radius dynamics of bubble 2 under three different locations.

圖7 50 kHz 聲波激勵下不同氣泡位置對氣泡振動過程的影響 (a)三種不同相對位置工況下氣泡1 相對半徑動態變化圖;(b)三種不同相對位置工況下氣泡2 相對半徑動態變化圖Fig. 7. Effects of different bubble locations on the bubble’s dynamics with the frequency of acoustic excitation being 50 kHz: (a) The radius dynamics of bubble 1 under three different locations; (b) the radius dynamics of bubble 2 under three different locations.

由圖6 可得, 氣泡1 與氣泡2 的相對半徑趨勢在初始狀態存在微小區別. 隨著時間的增加, 由于次Bjerknes 輻射力的影響, 氣泡1 與氣泡2 的相對半徑變化在三種工況下的演化趨勢差別明顯. 相位的不一致帶來次Bjerknes 輻射力的變化, 次Bjerknes 輻射力的改變不僅影響相位的變化, 而且明顯改變氣泡半徑的變化幅度. 當聲波激勵頻率為50 kHz 時, 三種位置工況對應的相位延時分別為 0.4245π , 0 以及?0.4245π .

由圖7 可得, 氣泡1 與氣泡2 的相對半徑趨勢在初始狀態下存在較大區別. 隨著時間的推移, 三種工況對應的氣泡1 與氣泡2 的相對半徑的演化存在明顯區別, 表明相位的改變與次Bjerknes 輻射力形成了如圖6 所示的非線性耦合. 由于激勵聲波的頻率為50 kHz, 與氣泡的共振頻率差別比較大, 使得非線性耦合較15 kHz 時的工況弱, 表現為圖7 所示的氣泡相對半徑比圖6 中氣泡相對半徑變化弱.

3.4 氣泡脈沖響應

本小節分析雙氣泡對應的脈沖響應頻譜圖. 為避免氣泡軸向位置對氣泡半徑振動的影響, 氣泡球心連線與軸向坐標軸角度設置為θ=π/2 . 在數值計算過程中, 采用窄脈沖信號, 脈沖寬度為3×10?7s, 脈沖幅度為1 kPa. 在分析次Bjerknes 輻射力影響時, 氣泡球心距離設置為8 mm. 圖8 給出了自由單氣泡與次Bjerknes 輻射力影響下的氣泡脈沖響應幅頻曲線.

圖8(a)給出了自由單氣泡在脈沖激勵下的氣泡動力學幅頻響應圖. 不難看出, 氣泡1 對應的共振頻率為16.5 kHz, 與(15)式得到的理論共振頻率16.45 kHz 基本一致. 氣泡2 對應的共振頻率為4.1 kHz, 與(16)式得到的理論共振頻率4.1 kHz保持一致. 當考慮兩氣泡之間的次Bjerknes 輻射力時, 圖8(b)為氣泡1 與氣泡2 的幅頻響應圖. 不難看出, 氣泡1 與氣泡2 包含了4.1 與16.5 kHz 的信號特征. 由于次Bjerknes 輻射力的影響, 氣泡1與氣泡2 的線性動力學過程((11)式和(12)式)可以理解為次Bjerknes 輻射力作用下的受迫振動,使得氣泡的頻譜響應既包含自身共振頻率, 也包含次Bjerkness 輻射力的頻譜特征.

圖9 給出了氣泡間距為2 mm 時氣泡1 與氣泡2 的幅頻響應. 由3.2 節可以得到, 當氣泡間距為2 mm 時, 氣泡在次Bjerknes 輻射力的作用下表現為非線性振動, 可以在圖9 中觀察到若干諧波頻譜特征. 由于兩氣泡表現為次Bjerknes 輻射力作用下的非線性受迫振動, 兩氣泡的頻譜特征顯著區別于圖8 所示工況的頻率特征. 氣泡1 與氣泡2的頻譜不一致反映了非線性次Bjerknes 輻射力的不一致, 符合圖4(c)與圖4(d)表現的結論. 從圖9可以看到, 非線性特征的諧波基頻約為17.60 k Hz,與線性工況(圖8(b))下16.45 kHz 略有區別.

圖8 脈沖激勵下氣泡幅頻響應曲線 (a)自由單氣泡對應的幅頻響應圖; (b)氣泡間距離為8 mm 下雙氣泡對應的幅頻響應圖Fig. 8. Amplitude-frequency response chart of bubble dynamics under pulse excitation: (a) Amplitude-frequency response chart of free single bubble system; (b) amplitude-frequency response chart of two-bubble coupled system with bubble distance being 8 mm.

圖9 雙氣泡非線性振動對應的頻譜響應曲線Fig. 9. Amplitude-frequency response chart of nonlinear two-bubble dynamics under pulse excitation.

需要指出的是, 考慮液體可壓縮性特征獲得的頻譜特征與不可壓縮假設下頻譜特征((18)式和(19)式)明顯不一致. 在當前參數設置下, (19)式的不可壓縮雙氣泡線性系統的共振頻率約為124 Hz, 與數值計算結果(圖8 與圖9)不一致.

4 結 論

針對基于聲學理論的管道氣泡檢測技術問題,本文開展了聲波作用下的管道內雙氣泡動力學建模工作. 在傳統自由氣泡Rayleigh-Plesset 模型的基礎上, 引入可壓縮流體次Bjerknes 輻射力, 獲得了雙氣泡耦合動力學模型. 基于該模型, 詳細分析了存在次Bjerkness 輻射力時雙氣泡的線性/非線性動力學特征, 并與自由氣泡的動力學特征進行對比分析. 研究結果表明, 次Bjerknes 輻射力使得氣泡處于受迫振動, 在線性變化范圍內, 任意氣泡的動力學幅頻數據包含了雙氣泡所有的頻譜信息. 在非線性范圍內, 兩氣泡的頻譜特征不一致, 表明次Bjerknes 輻射力在非線性階段的復雜性. 此外, 相較于線性特性, 非線性氣泡振動的基頻與自由氣泡共振頻率不一致, 發生了偏移.

本文通過分析氣泡球心距離以及氣泡軸向位置作用下雙氣泡系統動力學特征, 表明氣泡球心距離對次Bjerknes 輻射力影響明顯, 從而顯著改變雙氣泡振動動力學特征. 氣泡球心距離越小, 雙氣泡越趨向于非線性振動. 氣泡軸向位置顯著影響氣泡振動的初始狀態. 當外界激勵頻率與氣泡共振頻率一致時, 初始狀態的不同與次Bjerknes輻射力形成正反饋過程, 加強了氣泡趨向于非線性振動.

針對基于聲學理論的氣泡檢測而言, 由于外界聲波激勵產生的次Bjerknes 輻射力對氣泡動力學特征會產生明顯的影響, 氣泡檢測中需要降低次Bjerknes 輻射力的影響. 針對小氣泡檢測而言, 激勵聲波的頻率要遠離待檢測氣泡的共振頻率范圍,同時, 激勵聲波的幅度要相對較小. 除此之外, 激勵聲波的持續時間也不宜過長, 防止氣泡在次Bjerknes 輻射力作用下形成非線性振動, 帶來氣泡的破裂等. 針對大氣泡檢測而言, 當考慮利用共振特征進行氣泡檢測時, 需要防止氣泡進入非線性振動導致共振頻率的偏移. 針對含有不同半徑的氣泡檢測而言, 激勵聲波的幅度要相對較小, 同時激勵聲波應略小于大氣泡共振頻率, 進而利用共振特征對大氣泡進行檢測, 同時可以較長時間維持小氣泡線性小幅振動.