基于分形公式的廣適驅替J 函數回歸式

2020-10-17 01:44:32朱國金陳培元

石油化工應用 2020年9期

李競，朱國金，邱凌，陳翰，陳培元

（中海油研究總院開發研究院，北京 100028）

儲層巖石的孔隙結構極端復雜，極難精確描述。孔隙度、滲透率、相對滲透率曲線、毛管壓力曲線、J 函數、歪度、迂曲度、分選系數等均是在不同角度定量表征孔隙結構。目前廣泛應用于常規儲層的驅替J 函數的冪率回歸式是經驗性的，相關參數無明確的物理意義，對于非常規儲層的驅替曲線，存在擬合程度偏低的問題。

通過分形公式的引入，揭示出現有冪率經驗回歸系數與分形維數的關系[1]，證實其在中高滲儲層中的廣泛應用具有分形理論基礎，而本文通過考慮低滲儲層的孔喉特征，基于分形公式推導出了廣適驅替J 函數回歸式，實測數據證實其有效提高了低滲儲層的擬合精度，而對于中高滲儲層，因其分形維數較小，廣適回歸式可退回為現有冪率型回歸式。廣適驅替J 函數回歸式更廣的應用范圍，更高的擬合精度以及與分形維數、毛管壓力建立的關系，對極端復雜的油氣藏孔隙結構表征具有理論和應用意義。

1 基于分形幾何公式推導廣適J 函數回歸式

根據分形幾何理論，若儲層孔隙的孔徑分布符合分形結構，則可用某種自相似的基本單元體填充這種分形結構，根據不等徑等長平直毛管束滲流模型，該單元體可為半徑和長度均為r 的平直毛細管[2]。壓汞過程中，某時刻汞所填充的毛細管數量N 與其中半徑最小的一簇毛管的半徑r 之間存在冪函數關系：

式中：a-比例常數；D-孔隙分形維數。

某時刻汞累計填充的毛管束中，任意一根毛細管的體積為πr3，累計進汞體積量充填的毛管數量為：

將式（2）代入式（1），可得任意時刻汞充填的孔隙體積（式3）和含汞飽和度（式4）：

毛管壓力與孔隙半徑的關系式為：

式中：σ-汞-空氣界面張力，一般取480 mN/m；θ-汞-空氣潤濕角，一般取140°。

由于汞對絕大多數巖心均為非潤濕相，毛管力是阻力，考慮初始時刻汞壓入最大孔徑的孔隙，由式（4）：

最終時刻汞壓入理論上最小孔徑的孔隙（實驗中常因儀器、巖心強度等限制，無法到達最小孔隙，存在殘余空氣體積VAirr和殘余空氣飽和度SAirr），由式（4）：

考慮實際情況，做飽和度標準化消除殘余空氣飽和度，僅考察汞-空氣兩相流動過程：

式（4）（5）（6）（7）代入式（8），可得：

常規中、高孔滲，好孔隙結構儲層的分形維數通常小于3[2]，由冪函數性質，式（9）、式（10）可簡化為式（11）、式（12）：

式（11）或式（12）即Brooks Corey 壓汞函數[2，4]。

低孔、低滲，差孔隙結構儲層的分形維數較大，若其大于3，由式（9）可得：

由式（10）可得：

式（13）或式（14）即李克文廣適壓汞函數回歸式[2]。

用不等徑等長毛管束滲流模型簡化為滲流狀態下的巖石孔隙空間。由泊稷葉定律，壓差Δp 作用下，黏度為μ 的汞流過半徑為ri，長度為L 的單根毛管束的流量為：

N（r）根毛細管流量加和得到多孔介質總流量：

將單根毛細管體積用其占據巖心總可動汞孔隙體積（去除殘余空氣體積）的含汞飽和度表示為：

將式（18）代入式（17），得：

聯立達西定律：

得到絕對滲透率的表達式，并考慮孔隙的連續分布，得到：

驅替J 函數定義為無因次毛管力，并消除孔隙度和滲透率的影響：

對常規中、高孔滲，好孔隙結構的儲層，將式（5）、式（12）、式（21）代入式（22），可得：

實際應用時，暫不糾結于各參數內在的相關性，式（23）簡化為：

式（24）即目前廣泛應用的J 函數冪率型經驗回歸式[3]，通過基于分形公式的推導，揭示出其應用條件是分形維數D＜3，經驗參數的物理意義是A0、B0僅與分形維數有關。

對低孔、低滲，差孔隙結構儲層，將式（10）、式（13）、式（21）代入式（22），可得：

而若代入式（14）而非式（13），將得到：

式（25）和式（26）可分別簡化為：

式（27）或式（28）即廣適的J 函數回歸式，其參數的物理意義是A1、A2與分形維數、入口壓力、最大毛管壓力有關，B1、B2與入口壓力、最大毛管壓力有關，C1、C2僅與分形維數有關。廣適J 函數回歸式的推導過程中，基于3＜D＜5 的假設，保留了項，這正對應著低滲儲層中占比較多的小孔喉。另外需要指出的是，與流體性質相關的潤濕角、界面張力，在推導過程中均被消去，即廣適函數與流體性質無關，不僅適用于壓汞過程，也適用于任意非潤濕相流體驅替潤濕相流體的過程[5-10]。