基于PolyMax模態參數識別法的軸裝式制動盤模態試驗

焦標強，曹建行，呂寶佳，張化謙，宋躍超，陳德峰

（1.北京縱橫機電科技有限公司，北京 100094；2.中國鐵道科學研究院 研究生部，北京 100081）

模態參數識別技術在工程結構的健康監測、日常維護和振動控制等方面，有重要的科學研究和實際應用價值［1］。任何結構都能被簡化為“彈簧—質量—阻尼”系統，結構損失將引起模態參數的變化［2］。因此，結構模態參數變化標志著結構發生了損傷［3］，能夠用來表征結構的實際運行工況和真實的動力學特性。模態分析是求解物理空間中復雜耦合運動方程特征值，并將其轉化為1組解耦的單自由度運動方程，是研究結構動態特性、避免發生共振、提高工作穩定性的重要方法［4-5］。

制動盤作為高速列車制動系統的關鍵核心部件之一，其振動特性直接影響整車運行安全和運營成本，深入研究制動盤動力學特性對列車的穩定安全運營具有重要科學參考價值［6-7］。然而，軸裝式制動盤盤體具有多個小圓柱腹板，盤轂上具有錐形空洞，因其結構復雜不易通過有限元法獲得精確地模態參數，相比之下試驗方法更能精確地獲取其模態參數。根據信號域的不同，結構模態參數識別方法主要有頻域法［8］、時域法［9］和時頻域法。頻域法通過結構傳遞函數或頻響函數（FRF）進行模態識別；時域法是直接利用實測信號建模進行模態識別，一定程度上彌補了頻域法的不足；時頻域法在非線性非穩定信號的模態識別方面具有一定優勢，但在實際工程中能夠應用的時頻域法較少。Poly-Max模態參數識別法屬于頻域法，采用離散時間頻域模型，能夠較好解決頻域法中的數值病態問題，既適用于弱阻尼數據，也適用于強阻尼數據，能夠得到清晰易分離的穩態圖。

本文基于PolyMax模態參數識別法，對軸裝式制動盤進行模態參數識別試驗，研究制動盤的主要振動形式，分析制動盤動態特性，探究了附加質量對制動盤模態頻率的影響，為進一步優化設計制動盤的動力學提供理論參考。

1 PolyMax法模態參數識別原理

PolyMax模態參數識別法是集最小二乘復頻域法（LSCF）和最小二乘復指數法（LSCE）各自的優點，得到清晰易分離的穩態圖，通過穩態圖對極點和結構模態參與因子進行整體估計，獲得制動盤結構振動模態頻率、阻尼和模態參與因子，進而將非線性目標函數線性化處理得到頻響函數參數矩陣的線性矩陣分布模型，求解基于壓縮正則方程的最小二乘問題得到相關模態參數［10-11］。針對高度密集模態和FRF數據被噪聲污染等問題，PolyMax模態參數識別法仍能獲得清晰的穩態圖，精確地識別每一階模態參數［12］。頻域中系統的輸出和輸入關系可用右矩陣分式模型來描述，其數學模型為

其中，

式中：ω為角頻率；H(ω)為制動盤系統理論頻響函數矩陣；B(ω)為輸出參數矩陣；A(ω)為輸入參數矩陣；Ωj(ω)為基函數；n為多項式階次；βj和αj（j=0，1，…，n）分別為分子和分母多項式系數。

加權線性最小二乘估計的標準方程為

其中，

式中：0 為零矩陣；J為雅可比（Jacobian）矩陣；θ為參數矩陣；（·）H為矩陣的厄米特共軛矩陣；?為克羅內克（Kronecker）積；Nf為識別頻段內包含的譜線數；Ho（·）實測頻響矩陣的第o行；N為輸出參數最大通道數。

考慮標準方程結構特性下，根據線性方程組求解理論，求得分母系數矩陣α及其伴隨矩陣的特征值和特征向量，這樣就可得到系統極點和相應模態參與因子，其方程為

式中：I 為單位矩陣；V為特征向量矩陣；Λ為酉矩陣的特征值矩陣。

對角元素Λik與系統極點pi和pi*間存在以下關系。

其中，

式中：i為階數；Ts為采樣時間；σi為阻尼因子；ωdi為有阻尼固有頻率。由式（4）可解得

由此可解得頻率ωi和阻尼比ζi為式中：ωi為第i階無阻尼固有頻率；ζi為阻尼比。

2 制動盤模態試驗

2.1 試驗對象及設備

軸裝式制動盤主要由盤體、盤轂、擋塊、壓環、連接螺栓、防松螺母和油堵組成。采用LMS多功能數據采集器（SCADAS）進行信號采集、LMS TestLab 軟件進行數據分析，傳感器為B&K單向壓電式加速度傳感器（4個），力錘為PCB型。

2.2 測量方案

2.2.1 測量系統

測量系統是整個動態測試系統的關鍵環節，直接關系試驗的成敗和精度。測量系統主要由激勵裝置、傳感器及數據采集系統組成。通常情況下選擇測量系統時要考慮試驗要求的幅值量級、頻率范圍和測量參數以及試驗環境等諸多因素。制動盤模態試驗測量系統如圖1所示。

圖1 制動盤模態試驗測量系統

2.2.2 激勵點和測量點布置

制動盤是典型的循環對稱結構，采用柱坐標建模方式建立軸裝式制動盤幾何模型。綜合考慮模態測點覆蓋整個制動盤和激勵點數量，布置激勵點時沿徑向方向將制動盤劃分為4等份，即在制動盤面上2 圈、輪轂1 圈、擋圈1 圈，共4 圈位置上均勻布置激勵點，共有36個激勵點，如圖2（a）所示，圖中紅色圓點代表激勵點位置。

圖2 激勵點和測量點布置

為提取到制動盤的重根模態，試驗時采用了多激勵點方式，4 個加速度傳感器分別安裝在激勵點2，點10，點18 和點30 的背面，如圖2（b）所示，圖中綠色方塊代表傳感器位置。

試驗中，采用傳感器固定、力錘移動的方式進行。分析頻率為4 096 Hz，力錘錘頭選用尼龍頭。錘擊測試時，采樣點數為4 096個。

2.2.3 試驗步驟

1）建立幾何模型

試驗前在軟件LMS Test Lab 軟件中建立制動盤簡易幾何模型，按照試驗時布置的36 個激勵點和4個測量點，用粉筆在制動盤表面標記出36個激勵點和4個測量點，所建幾何模型和試驗裝置如圖3所示。

圖3 制動盤幾何模型和試驗裝置

2）數據采集

試驗時采用彈性繩將制動盤懸掛，使其處于自由狀態，將力錘和加速度傳感器與LMS 多功能數據采集器對應通道連接好，采用磁力座吸附方式將加速度傳感器吸附在制動盤標記點表面。

3）參數識別

將采集到的各激勵點數據輸入到LMS Test lab軟件的模態分析模塊中進行參數識別，選擇恰當地分析頻段得到各測量點的頻響函數和相關函數曲線。

3 制動盤模態分析結果

試驗選用的單向B&K 型加速度傳感器，質量為2.9 g，為評價傳感器附加質量對制動盤模態頻率的影響，下文分2 步進行分析。第一步，僅安裝1 個傳感器測量得到頻響函數曲線；第二步，在第1 個傳感器上再安裝1 個同型號傳感器，僅用于增加附加質量，測量傳感器仍用第1 個傳感器。2 次測量獲得的頻響函數曲線如圖4所示。從圖4可以看出：2 次測量獲得的頻響函數完全重合，這一結果表明傳感器附加質量對制動盤結構的整體模態頻率無影響。

圖4 附加質量對頻響函數的影響

試驗中當力錘產生的脈沖達到觸發水平時，數據采集器同時采集4 個傳感器的振動加速度信號，每個測量點進行3次敲擊，采用譜平均法得到不同激勵點的頻響函數曲線。這些頻響函數曲線變化規律相同，隨機列出10#測量點的頻響函數曲線如圖5所示。

圖5 10#測量點頻響函數曲線

對36 個激勵點，分別進行錘擊實驗采集各點振動信號，通過采集制動盤振動信號，根據式（1）計算得到制動盤頻響函數曲線，然后采用PolyMax 模態參數識別法，根據式（3）和式（4）計算獲得極點與參與因子，進而根據式（7）和式（8）提取制動盤模態參數，建立穩態圖如圖6所示，制動盤前10 階固有頻率和阻尼見表1，前10階模態振型如圖7所示。表1中，模態振型（m，n）表示振型中含有m個節圓和n個節徑。

綜合表1、圖5—圖7可知：制動盤振動模態有周向模態、徑向模態和混合模態，在頻率1 627 Hz附近存在頻率幾乎一致的重根模態；制動盤模態復雜性比較小，近似為實模態振型，滿足循環對稱結構的典型模態振型特征。

表1 制動盤模態參數

圖6 穩態結果

圖7 制動盤模態振型

將模態振型映射為Hilbert 空間中的向量，用振型向量間的點積即模態判定準則（Auto MAC）表征2 個模態振型向量幾何上的相關性［13］。Auto MAC值接近0，表明2個振型向量間相關性很小或正交；Auto MAC 值接近1，表明2 個振型向量間彼此平行或相關性很大。

基于PolyMax模態參數識別法獲得的制動盤模態Auto MAC 值如圖8所示。由圖8可以看出，非對角線的Auto MAC 值接近于0，對角線的Auto MAC值為1，這一結果表明制動盤不同階次振型相關性很小，無虛假模態存在，振型結果準確可靠。

4 結 論

（1）分析傳感器附加質量對制動盤模態頻率的影響，結果表明傳感器附加質量對制動盤結構各階模態頻率無影響。

圖8 模態判定準則結果

（2）基于PolyMax模態參數識別法計算軸裝式制動盤模態，得到制動盤前10 階固有頻率、阻尼和振型。結果表明制動盤的模態振型主要有周向模態、徑向模態和混合模態3種。制動盤為循環對稱結構，存在大量的重根模態。

（3）相較于有限元法，對于復雜結構采用PolyMax 模態參數識別法能更準確地識別模態參數，為制動盤結構的動力學研究奠定了基礎，同時也為工程應用提供了理論指導。