基于高階距離場的橢球面內插方法研究

劉云　馮俊　蕢露超

摘 要 由于傳統的內插方法大多基于歐式平面，在地球投影至平面的過程中，往往會產生裂縫和變形。在較大范圍的地理空間內，這些誤差會對內插結果造成較大的影響。本文針對這一情況，基于反距離加權法設計插值算法設計了針對橢球面的插值算法，并與原有幾種插值算法進行了精度的比較。

關鍵詞 等值線;距離場;插值

1研究背景和意義

根據已觀測點的測值對未觀測點的測值進行估算的方法為插值。過去通過地面實時測量空間數據的方法已無法滿足對廣大區域范圍進行數據獲取的需求，而現階段大范圍數據采集方式如衛星遙感雷達觀測等雖然可以對較大地理范圍進行實時觀測，但仍舊不可避免會因噪聲而影響觀測結果。插值正是解決這一問題較為有效的途徑。

目前為止，已經出現了各種各樣的內插算法，每種方法都有其各自的適用領域和優缺點.但這些算法大多基于歐式平面，針對較小地域范圍內進行插值時，其結果較為精確[1]。但針對經緯度跨度較大時，由地圖投影導致的變形愈發明顯。在針對等值線數據時，等值線與待內插點之間的距離計算則較為復雜，計算效率較低。

為解決以上兩個問題，需要設計一種適應于研究區域為大范圍橢球面，數據類型為等值線的插值算法，較為高效率和準確地獲取待內插點的插值。

2研究現狀

內插算法發展至今，已出現多種多樣的內插算法。根據數據源不同將內插方法分為離散點插值、離散點等值線共同插值和等值線插值等。

離散點內插方法主要包括根據采樣點的值賦予采樣區域內所有點的值泰森多邊形法[2]樣點的距離為權重進行插值的反距離加權法、構造采樣點的多階導數連續的曲面函數進行內插的樣條函數法[3-4]、以到采樣點的距離和數據點之間的整體排列作為權重，用半變異函數模型代表空間中隨距離變化的函數求出內插值的克里金插值法[5-6]等算法。而等值線內插法則主要包括將等值線轉化為等指點進行內插的方法、和借助輔助線生成新等值線的輔助線法以及綜合了局部內插和整體插值有點的ANUDEM法[7-9]。每一種算法都有其優缺點，和適用范圍，因此針對以上算法存在的不足，國內外很多學者都對其進行了改進，在保留其優勢的同時，對其劣勢進行了補足。

3高階距離場內插

3.1 算法原理

本文研究的數據類型為等值線數據。等值線，一般為線上所有值相等，且連續、閉合的曲線。根據這一特性，可以將等值線間的區域視作為一塊整體。相鄰等值線間的待內插點，僅受這兩條等值線間的影響，其數值則與等值線到該點的距離有關。而反距離加權法則可以很好地反映待內插點與數值點之間的距離對內插結果的影響，因此本文設計算法基于反距離加權法。

反距離加權法得優勢在于算法較為簡單、效率較高且易于實現，能較為直觀得反映距離對插值結果得影響，但由于其原本適用于離散點插值，容易受到周圍采樣點中極值的影響[10]，且在針對等值線內插方面實現較為復雜且效率低下。而這僅是在針對歐式平面下得計算，在進行大地線距離計算時會更復雜。為解決這一問題，需要引入距離變換得方法提高等值線間距離計算的效率。

在地圖代數中，距離變換是計算并標識空間點（對參照體）距離的變換或過程。通過對矢量圖形進行柵格化處理，以到最近點的距離值作為灰度值獲得彩色位圖。

以往的距離變換所采用的尺度大多以歐式距離、棋盤距離等為主，而由于本文研究范圍較廣，直接采用投影到歐式平面上的距離會影響實驗結果精度，因此采用大地線距離作為尺度。同時本文采用高階距離變換，獲取任一點到最近的n個數據點的最短大地線距離。根據這一距離作為權重計算待內插點的值。

4實驗步驟

本文數據為亞洲地區的真實溫度等值線數據，為東經0-180度且北緯0～80度之間的地理范圍。數據量較為龐大且復雜，可以較好地反映設計算法的運行效率及精度。

依據等值線與等值線之間的間隔，基于區域大小和特征，選擇合適的分辨率對研究區域數據進行柵格化，獲取柵格影像。對該柵格影像，以大地線為尺度，進行測地變換，獲取研究區域內1至k階距離場數據。

根據橢球面距離場數據獲取待內插點至等值線的大地線距離和等值線所代表的值，以此作為權重，計算得到該點的插值。并通過特征點數據精度比較的方法，與現有的插值算法進行結果的精度比較，評價設計算法的精度。

5實驗結果

本文對研究區域內的低中高緯三個區域內隨機選取50個采樣點進行內插結果的比對，以逼近誤差作為評判標準，數值量化比較各內插算法的精度。

通過多種方法對比得到的表 5?1可以發現，TIN法所求得的逼近誤差最小值是所有誤差方法內最小的，而本文方法的逼近誤差的最大值則為最小，由逼近誤差的平均值可以從一定程度上體現出ANUDEM和本文方法的誤差較小，結果較為精確。但僅從最小值、最大值和平均值很難完全反映出算法的誤差，因此將每個點的逼近誤差進行匯總，繪制成相應的連線，通過圖標的形式更為直觀地反映誤差分布情況。

從圖 5?2中可以看出，克里金插值、TIN法和直接反距離加權法這三種方法的折線離中央位置更遠，且在某些點處的值相較于另外幾種方法更大。樣條法的折線變化情況則相對較為舒緩，但也出現部分偏離的情況。而ANUDEM和本文所用方法則相對平滑，雖然也存在部分誤差較大的地方，但更接近于真實數據，體現出本文設計算法精度較高的優點。

6總結與展望

本文算法主要依據現有的反距離加權法進行改進，利用高階距離場來進行待內插點與等值線間的位置關系來計算內插值。其優點在于針對等值線數據類型，在算法效率方面，利用高階距離場計算待內插點到等值線的距離，其算法效率僅于分辨率有關，效率優于同等情況下的矢量方法計算。在精度方面，由于采用大地線距離計算，相對于歐式距離，在針對大范圍的地理區域時，其精度結果相較于投影到歐式平面的反距離加權法更加接近于真實數據，其精度也較其他的歐式平面下的算法有優勢。

但本實驗也暴露了設計算法的補足，首先由于本文設計算法僅與區域的分辨率有關，在針對同樣分辨率的同一區域下時，數據點數目較少的情況下，其算法效率可能并不比其余算法的效率要高。其次，根據研究區域的不同，采用合適的投影方法可以有效地降低投影導致的誤差[11]，在這一情況下，本文算法精度也可能不會優于其他算法。

針對以上不足，在接下來的研究中，會對外推公式進行研究，對極值圈內的結果進行外推，提高極值圈內內插結果的精度，同時也會針對更加復雜的數據，采用更高階的距離場進行內插，提升在復雜情況下的內插結果精度。

參考文獻

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