應用圖像塊的運動模糊圖像盲恢復算法

郭立文，廖永忠

1(陜西國防工業職業技術學院 計算機與軟件學院，西安 710300) 2(湖南第一師范學院 信息科學與工程學院，長沙 410205)

1 引 言

成像過程中的相機晃動是圖像模糊的一個重要成因，去除這種運動模糊是圖像去模糊研究的一個重要研究方向，圖像去模糊過程本質是對一類病態的反卷積方程的求解，如何高效、準確的求解此類方程是圖像去模糊研究的難點問題.

圖像的盲去模糊是指在圖像的模糊核函數未知情況下的圖像去模糊方法，盲去模糊算法是當前圖像恢復研究十分活躍的一個領域，一些學者在近幾年取得很多高水平的研究成果，相關的期刊和會議上有很多此類研究的文章[1-4].MIT的Levin提出一種基于邊緣概率密度函數的模糊核估計算法[5]，用高斯混合分布模型表示自然圖像的先驗分布，然后采用期望最大化(EM)算法交替迭代實現模糊圖像的恢復.Taeg Sang Cho在文獻[6]中利用圖像直線邊緣在模糊過程中發生變化，其Radon變換與模糊核函數之間有確定的對應關系，從而確定模糊核函數的方法，然后用最大后驗概率(MAP)完成模糊圖像的恢復.Bae H提出一種快速的模糊圖像恢復算法[7]，其認為由于自然圖像梯度的稀疏分布特性，圖像模糊信息都包含在圖像的邊界中，對圖像進行分塊，然后提取一些包含較多信息邊界的塊，再把它們進行拼接，利用這個模糊圖像塊完成模糊核的估計，該算法能降低計算量.Lin Zhong 提出強噪聲下大尺寸模糊核的圖像去模糊圖像算法，先利用方向濾波去噪，然后Radon變換重構模糊核函數[8].文獻[9]以多組代價函數的優化為目標，實現圖像去模糊效果且極大的提高了算法的實時性.與此同時基于傳統的參數估計的圖像盲去模糊算法也被提出[10，11].

這些算法的計算量十分巨大，且對計算機內存要求很高.本文提出了一種新的交替快速迭代算法，能極大的提高圖像去模糊的速度，使得圖像盲去模糊算法的實時實現成為可能.

2 原理與模型

2.1 圖像模糊方程

一般來說，運動模糊圖像的數學模型為：

g(x，y)=f(x，y)?h(x，y)+n(x，y)

(1)

式中g(x，y)表示降晰后的模糊圖像，f(x，y)表示降晰前的清晰圖像，h(x，y)為模糊核函數(PSF)，n(x，y)一般假定為零均值的高斯噪聲.

2.2 Radon變換

對一個二維圖像f(x，y)，其Radon變換可以看成圖像f(x，y)沿與某一直線的一維投影，或者說是圖像f(x，y)定義在與某一直線的線積分.所以f(x，y)的Radon變換數學表達式為[12]：

(2)

式中的直線l的方程為：b-xcosθ-ysinθ=0，利用沖激函數δ(·)的特性，Radon變換的數學表達式可以寫成如下表達式：

(3)

式中b表示直線l到坐標原點的距離.

3 模糊核的估計

經驗告訴我們，如果一幅自然圖像中有直線輪廓，模糊后的結果是直線輪廓邊緣會發生明顯的變化，產生毛邊，即邊緣的模糊，而這些邊緣的模糊與模糊核函數是有直接關系，這里通過利用圖像邊緣的模糊方程來推導其與模糊核函數之間的關系.

3.1 模糊核與模糊直線邊緣關系

前面已經定義了一個二維圖像f(x，y)的Radon變換，如式(3)所示，根據二維函數的卷積定義，不考慮噪聲的影響，模糊圖像的卷積方程寫成積分方程的形式為：

(4)

假設二維圖像f(x，y)是一個理想的直線，其與x軸夾角為θ′，且θ′=θ+π/2，直線方程可以寫成如下表達式：

f(x，y)=δ(xsinθ′-ycosθ′)

(5)

又因為f(x1-x，y1-y)是f(x，y)的線性變換，所以也是直線，用沖激函數表達此直線為：

(6)

對于一個理想直線圖像，模糊后所得到的模糊圖像假設為gL(x，y)，其表達式可以重新寫為：

(7)

代入θ′=θ+π/2，有：

(8)

根據Radon變換定義，有：

(9)

gL(x1，y1)=Rh(ρxy，θ)

(10)

由此可見，當f(x，y)是一個理想直線輪廓時，模糊后的直線法向截面輪廓等于模糊核函數的Radon變換，這給我們提供了一個思路，如果找到一幅圖像中的模糊直線邊緣，就可以通過求解反Radon變換來確定模糊核函數.

3.2 模糊核實驗測試

這里選用了文獻[5]的一個模糊核函數，如圖1所示，其與一個只包含一條理想直線輪廓(不同角度)的黑白圖像互相卷積來進行實驗，對比結果如圖2所示.

圖1 測試用模糊核函數Fig.1 Kernel of testing

圖2 測試結果Fig.2 Result of testing

3.3 模糊核的估計與圖像的恢復

為簡化起見，這里分別用f，g，h表示f(x，y)，g(x，y)，h(x，y)，根據圖像的貝葉斯恢復理論有：p(f，h|g)∝p(g|f，h)p(f)p(h)，對每一個像素來說，模糊圖像的梯度值和清晰圖像的梯度值是相近的，這里假定其差值服從均值為零，方差為σ2的高斯分布[13]，故有：

(11)

考慮已知f，h后，一方面，模糊圖像g的分布由噪聲n分布規律來決定，一般假定噪聲為零均值的高斯分布，用pg表示，另一方面，為引入正則項，限制解的范圍，引入一個新的條件，前面已經推導模糊圖像的邊界與模糊核函數的Radon變換相等，這里定義為：

p(g|f，h)∝pg(g|f，h)*pe(g|f，h)

(12)

假定圖像噪聲為零均值的高斯噪聲，有：

(13)

(14)

定義代價函數：

E(f，h)=-log(p(f，h|g))

(15)

為簡化計算，加快計算速度，取p(h)為高斯分布，有：

E(f，h)=λ1‖f?h-g‖2+λ2‖f-g‖2+
λ3‖h‖2+λ4∑q‖gLθq-Rθqh‖2

(16)

圖像的去模糊過程轉變為這個方程的優化求解，交替優化這個代價函數就能得到模糊核函數和清晰圖像.

優化這類代價函數，采用交替迭代的算法，分為兩步，第一步，固定h，求解f：

(17)

式(17)包含兩個二次項，利用傅里葉變換快速求解：

(18)

第二步，固定f，求解h：

(19)

方程的三項都是二次項，但是第三項包含有Radon變換，采用了共軛梯度法進行優化求解：

(20)

式中粗體分別表示相應的算子矩陣，可得方程的解為：

(21)

4 圖像塊的處理與圖像塊的選擇

4.1 引導濾波

圖像濾波是為了去噪，由于本算法利用直線邊緣來估計模糊核，即模糊核函數只與圖像直線邊緣附近像素的變化有關，因此希望直線邊緣附近圖像在去噪同時又能保持圖像邊緣.一些簡單的去噪方法會導致圖像直線邊緣發生變異，變得更加模糊，破壞了直線邊緣所攜帶的原始信息，因此，需要選擇合適的濾波算子，在實現圖像去噪的同時，進一步平滑光滑區域部分的圖像，保持直線邊緣附近的圖像信息，這里采用引導濾波來去噪.

引導濾波是近些年提出的圖像濾波方法[14]，其核心思想是假設該輸出圖像與引導圖像(或是輸入圖像)在一個二維圖像窗口wk內滿足線性關系.

qi=akIi+bk，?i∈wk

(22)

式中，qi是輸出圖像，Ii是輸入圖像，i和k是索引，在窗口wk內，一般假定ak和bk是常數.對上式兩邊取梯度有：qi=akIi，這表明其梯度特性沒有發生變化，邊緣細節保持不變.設輸入圖像pi，通過讓輸入圖像和輸出濾波圖像的差值最小來確定兩個參數akbk的值，如下式所示：

(23)

(24)

直接采用輸入濾波圖像作為引導圖像的時候，即Ii=pi，如果=0，則是式(6)的解，輸出等于輸入，引導濾波器無效.如果>0，在圖像平滑的區域，ak的值較小或等于0，而bk的值近似于等于此時引導濾波器為加權均值濾波器；而在圖像邊緣特征比較豐富的圖像區域，ak近似于1，bk近似于0，引導濾波器也基本無效，從而保持原來圖像邊緣的基本特性.故引導濾波器的濾波效果在窗口尺寸固定的情況下，基本是由參數確定.引導濾波另外一個更重要的特性是其計算時間復雜度，引導濾波的時間復雜度為O(No)(No為待處理圖像的像素數目).圖3為對LENA圖像加噪后，分別用雙邊濾波和引導濾波去噪后效果圖像.

圖3 圖像去噪Fig.3 Image denoising

4.2 圖像塊的選擇與提取

實驗中發現，由于不同圖像的尺寸大小的差異，以及不同圖像所包含的直線輪廓數量也各不相同，故而算法的計算時間和內存消耗相差懸殊，特別是在圖像尺寸較大的情況下，計算機內存不足和計算時間過長的問題特別突出.我們已經知道圖像的直線輪廓像素數目在整幅圖像中是一個較小的值，這啟發我們可以通過提取圖像主要輪廓邊界，降低圖像尺寸來完成模糊核的估計，實現模糊圖像的恢復.

圖像的模糊核函數依賴于圖像中直線輪廓法向截面輪廓的反Radon變換，而反Radon變換的知識告訴我們，獲得在不同角度下圖像Radon變換的向量越多，提供的信息量就越大，使用最大后驗概率的獲得精確解的概率就越大.

因此，本文首先對圖像進行分塊，然后找到包含不同角度最多直線邊界的幾個塊進行拼合(本文選用4個)，拼合時候要考慮模糊核尺寸的大小，利用掩膜消除塊邊界的影響，然后利用拼合的圖像完成模糊核函數的重構，從而降低計算量和減少內存的消耗.圖4為對一幅圖像采用本方法先分塊，然后選擇合適的圖像塊，最后進行拼合后的結果.

圖4 圖像塊選擇Fig.4 Image patch choosing

這里采用了文獻[6]方法檢測邊界，因為直線輪廓的法向截面輪廓與模糊核函數的Radon變換相等，需要對提取的直線輪廓進行篩選，選擇在直線邊界附近沒有其他輪廓干擾的直線邊界作為候選邊界.

5 圖像恢復

5.1 合成模糊圖像的實驗結果

這里選用三幅自然圖像作為測試圖像，如圖5所示，從文獻[5]選擇三個模糊核函數作測試，如圖6所示，其相互卷積加2%的高斯白噪聲，得到9幅含噪的模糊圖像，分別采用本文的算法與文獻[6]的最大后驗概率法(MAP Radon)，進行對比試驗(計算機配置CPU為3.1GHz，內存為10GB，軟件MATLAB2012a)，實驗的結果如表1所示.從表可知，本文算法的計算時間和PSNR值均優于MAP Radon算法，同時，本文算法克服了MAP Radon算法占用內存大的缺點.

圖5 測試用圖像Fig.5 Image of testing

圖6 測試用模糊核函數Fig.6 Kernel of testing

表1 與算法比較PSNR值(db)和計算時間(s)Table 1 Comparison of PSNR values and the computation times

圖7 去模糊結果Fig.7 Image deblurring results

5.2 實際自然模糊圖像恢復

分別選用文獻[6]提供的測試圖像和文獻[15]提供的一副測試圖像進行實驗，實驗的結果如圖7所示，計算時間如表2所示，從表中可見，本文算法的時間是遠遠小于MAPRadon算法，且在運行過程中，不會出現該算法最常見的內存不夠的現象，在圖像的恢復質量上，本文算法恢復的圖像，在視覺上的恢復效果絲毫不遜色于對比算法所獲得的恢復效果，在一些細節上，本文算法更具有優勢.

表2 計算時間對比Table 2 Comparison of the computation time(s)

6 結 論

本文提出一種基于圖像信息塊的單幅模糊圖像盲恢復算法，通過檢測圖像的直線邊界，在圖像中找出包含最多信息邊界的圖像塊進行拼接，以此拼接圖像來估計模糊核函數，完成模糊圖像的盲恢復.實驗結果證明，相對于MAPRadon算法，本文算法在不損失恢復圖像質量的前提下，明顯提高了計算速度并降低了內存的占用量，降低了計算的時間和對硬件的要求.