合數(shù)模上Hardy和的均值

岳霞霞

山西工程技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，山西 陽泉，045000

其中表示對同時滿足pα|q與 pα+1?q的所有素數(shù)p求積,為任意小的正數(shù).

0 引言

DirichletL-函數(shù)[2]與Hardy和是數(shù)論研究的核心內(nèi)容之一.近年來,一些學(xué)者對此開展了全方位而多層次的研究,取得了豐碩的理論成果.

徐哲峰與張文鵬[3]研究了當(dāng)k=p為素數(shù)的情形下,短區(qū)間上 Hardy和的均值,并得到了命題.

在文獻[4]中,Liu W用類似的方法得到下面漸近公式.

命題2 設(shè)p≥5為素數(shù),則

Wang X[5]推廣了素數(shù)模上 Hardy 和的均值性質(zhì),得到如下結(jié)論.

命題3 設(shè)q≥5為奇數(shù),則有

本文利用特征的基本性質(zhì)，在命題2 和命題3的基礎(chǔ)上，將進一步研究合數(shù)模上Hardy 和的均值,其主要結(jié)果如下.

定理1 設(shè)q≥5為奇數(shù)且3?q,則有

本文的第1節(jié)給出了相應(yīng)的Dirichlet 級數(shù)的恒等式，在第2節(jié)中將Hardy 和轉(zhuǎn)化為DirichletL-函數(shù)，并計算的DirichletL-函數(shù)的均值,最后估計Hardy和的均值，給出定理1 的證明.

1 關(guān)于Dirichlet 級數(shù)的恒等式

證明 由于r(n)是可乘函數(shù)，可得

根據(jù)Euler 乘積公式,有

2 Dirichlet-函數(shù)的均值

定理3 設(shè)d為奇數(shù),且m|d,k為給定的正整數(shù),則

因此有

∶=M1+M2+M3+M4

(1)

由分拆恒等式,可得

(2)

同理可得

(3)

利用 Cauchy 不等式,有

(4)

結(jié)合公式(1)～公式(4) 可得

(5)

設(shè)gcd(a,m)=1，根據(jù)文獻[7]有

從而

∶=M11-M12

(6)

由于r(n)<

M12<

(7)

現(xiàn)在計算M11.對n1和n2的求和式分成如下四種情況進行討論:

不難證明

(8)

(9)

與

(10)

結(jié)合公式 (5)～公式(10) ，取N=m3,可得

3 Hardy和的均值

利用特征和的 Fourier 展式[8]，有

由文獻[9，10]及文獻[11～13]，可得

因而