基于事件觸發的二階隨機時延系統的有限時間一致

崔艷，王曉珊

山西師范大學物理與信息工程學院，山西 臨汾 041000

多智能體由于具有自主性、分布性、協調性等特點，被廣泛應用于許多科學研究，包括一致性問題[1～3]，編隊控制[4]，模擬動物集群[5]，智能體的蜂擁等問題.但是從資源利用角度看，當系統達到一致時，保持數據的狀態不再進行更新，就可以減少系統更新的次數，不會造成通信信道的負擔.于是基于事件觸發的控制策略得以發展，文獻[6]提出了一種事件觸發的分布式同步控制算法，Jiang等人采用反饋控制研究了一系列非線性系統的一致性問題.文獻[7]中，Xie等人利用每一個跟隨者的事件觸發線性反饋律來設計控制更新協議，解決了多智能體的全局領導跟隨控制問題.文獻[8]中，由Zhang等人改進的集中式和分布式事件觸發函數被用來解決領導跟隨系統網絡的一致性問題.以上文獻研究的都是基于事件觸發的多智能體系統的一致性.

除了對通信信道的更新次數的研究外，對于信道因為數據傳輸慢或者拓撲網絡變化而造成輸入數據的延遲，對系統的影響也較大，這也是研究者們關注的一個重點.已經有文獻研究了帶有時滯的多智能體系統的一致性[9～11]，文獻[9]采用頻域分析法研究了定拓撲網絡下有領導者的二階時滯系統的一致性問題，并計算出所允許的最大時滯.而文獻[10]研究了混合階多智能體系統的組一致性問題，利用模型轉換，將閉環系統轉化為等價系統，利用一系列的理論推導得出了系統到達組一致性的充分條件.隨機時滯多智能體系統的研究作為隨機多智能體系統一致穩定性分析的一部分在文獻[11]中呈現.

以上文獻都是針對多智能體系統一致性進行研究的，但是一些實際系統，要求系統在有限時間內達到一致，這樣才能精確的應用到人工智能，無人機飛行控制[12]，智能機器人機械臂的協調控制[13,14]等實際中.因此，本文不僅借助事件觸發策略，研究了二階多智能體系統的有限時間一致，而且對實際應用中存在的時延問題也進行了討論，同時對于芝諾現象的排除也給出了具體的證明過程.

本文的主要結構如下：第一部分是文章的基礎知識、一些基本的理論和必要的引理.第二部分是所設計的非線性協議和觸發條件.第三部分是一些例子及仿真的結果.最后一部分給出的是結論及今后要做的工作.

1 基礎知識和問題描述

1.1 基礎知識

1.2 問題描述

加權無向通信拓撲G(V,E,A)，每個智能體可視為拓撲圖中的頂點，智能體之間的信息傳輸可視為圖的邊，具有跟隨者和領導者的二階多智能體系統的動態模型如下：

(1)

其中，Xi(t)、Vi(t)、U(t)分別是智能體的位置狀態、速度狀態和控制輸入.x0(t),v0(t)是領導者的狀態，并且Vit(s)=Vi(t+s)

定義1 有限時間一致：多智能體系統(1)稱為有限時間一致，如果存在一個確定時間T0∈[0,+∞)，使得每一個智能體的狀態滿足以下等式：確定允許每個智能體的狀態滿足以下條件：

并且對于任意的t≥T0都滿足Xi(t)-X0(t)→0,Vi(t)-V0(t)→0,i,j∈I.

定義2[ 15]考慮系統

(2)

其中，f(x)=(f1(x),f2(x),...,fn(x))T是一個連續的向量場.如果對于任意的f(x)都有fi(εr1x1,εr2x2,...,εrnxn)=εk+rifi(x),ε>0,i∈1,2,...,n,?x∈Rn則f(x)是帶有擴張(r1,r2,...,rn)的度k(k∈R)的齊次性.

如果系統的向量場是齊次的，則該系統就是齊次的.

定義3[15]此外，考慮以下系統

(3)

(4)

其中，ri是系統狀態變量xi對應的權重.

引理1 如果系統是齊次的，并且是局部漸近穩定的，則系統是全局漸近穩定的.這個性質同樣適用于有限時間穩定.

引理2 考慮下列系統

其中，X(t),V(t),U(t)∈Rn，a,bk,τk是正的常數.

現在系統(1)具體表示為如下形式：

+β1sig(Xj(t)-Xi(t))α1+β2sig(Vj(t)-Vi(t))α2

-bisig(Xi(t-τk)-X0(t-τk))α1-bisig(Vi(t-τk)-V0(t-τk))α2

應用引理2，系統可以轉換為如下形式：

2 主要結果

定義智能體i的位置測量誤差定義為

(5)

智能體i的速度測量誤差表示為

(6)

(7)

因此，我們得到：

(8)

因此可以得到

(9)

其中，

(10)

本文所采用的協議是分布式控制協議，它不僅可以有效地降低智能體之間的連通強度，同時可以降低智能體的觸發次數.下面研究的是控制協議在拓撲網絡中的有限時間一致.

引理3 相似于參考文獻[15]的分析，如果系統(9)是漸近穩定的，且帶有擴張(2,2,...,2|α1+1,α2+1,...,αn+1)的度k=α1-1<0是齊次的，則系統可以在有限時間內達到一致.

智能體i的觸發條件表示如下：

(11)

其中，M,N是確定的正常數.

定理1 對于系統(9)中的無向連通網絡拓撲圖，結合事件觸發條件(11)，使得系統在控制協議(7)作用下實現具有隨機時延的二階系統限時間一致.

證明 構造候選李雅普諾夫函數

對V(t)進行求導，

則

(12)

因為

(13)

結合事件觸發條件得到

所以

根據LaSalle’s的不變原理，系統(9)是漸近穩定的.即，當t→+∞，有xi-x0→0;vi-v0→0,?i∈I.

接下來要證明的是系統有負的齊次度并且滿足等式(4).控制協議改寫成為u=u1+u2,

其中,R1=r1+β1,R2=r2+β2.

而且

接下來，證明事件觸發引起的芝諾現象可以排除.芝諾現象指的是在有限的事件內存在無限次觸發，即任意兩個連續觸發時刻的間隔為0.

定理2 對于多智能體系統(1)，如果設計一個事件觸發條件(11)，結合一致性控制(7)，滿足系統中任意兩個連續觸發時刻間隔tk+1-tk都不小于τ，其中

(14)

3 仿真

在這一部分中，基于事件觸發的非線性一致性控制協議應用到二階隨機時延系統中，驗證所提出理論的有效性.

圖1 拓撲圖中4個智能體的位置狀態Fig.1 Thepositionstatesofthefouragentsinthetopology圖2 拓撲圖中4個智能體的速度狀態Fig.2 Thevelocitystatesofthefouragentsinthetopology

圖3 拓撲圖中4個智能體觸發時刻的值Fig.3 Theevent-triggeredvaluesofthefouragentsinthetopology圖4 拓撲圖中4個智能體的觸發間隔Fig.4 Theevent-triggeredintervalofthefouragentsinthetopology

圖5 文獻[16]中4個智能體觸發時刻的值Fig.5 Theevent-triggeredvaluesoffouragentsin[16]圖6 文獻[16]中4個智能體的觸發間隔Fig.6 Theevent-triggeredintervaloffouragentsin[16]

4 結論

本文研究的是二階隨機時延有限時間一致問題.首先將系統通過函數轉化為一般的系統，再結合分布式事件觸發條件，提出了一個新的非線性控制輸入協議.在異步更新的控制策略下，不僅使得智能體的更新次數減少，而且拓撲中的跟隨者可以跟蹤到領導者.另外，也證明了所提出的協議和觸發條件可以排除芝諾現象.在未來的研究中，可以嘗試在高階系統中研究，還可以針對事件觸發的具體條件參數做進一步研究.另外對于系統存在的干擾或不確定性等因素，也將在以后的工作中展開.