遵循數學抽象規律 提高法則教學效率
——以去括號法則為例*

韓詩貴 (江蘇省錫山高級中學實驗學校 214177)

數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征，貫穿于數學的產生、發展、應用的整個過程[1]．大到一個數學體系的公理化、解決實際問題的模型化，小到一個概念的定義、一個證明的方法，都離不開數學抽象．從某種意義上說，數學的學習過程就是發展數學抽象的過程．史寧中教授認為，數學概念或命題的抽象過程大體可以分為三個階段，或者說三個層次：第一是簡約化階段，把握事物關于數量或者圖形的本質，把繁雜問題簡單化，給予清晰表達；第二是符號階段，去掉具體內容，利用符號和關系術語，表述已經簡約化的事物；第三是普適化階段，通過假設和推理，建立法則、模式和模型，在一般意義上描述一類事物的特征或規律[2]．

日常教學中，每一個數學概念與法則的形成都伴隨著數學抽象，常常會經歷數學抽象的不同形式和不同階段．根據抽象規律設計教學流程，組織活動，這是數學教學的需要，也是發展學生數學抽象、使核心素養在課堂教學中落地的需要．本文以蘇科版教材七年級(上)第3章第5節“去括號”為例，結合D市青年教師評課時執教這節課的不同教學過程，談談去括號法則中的數學抽象及相應的教學建議．不當之處，敬請批評指正．

1 從數學抽象的視角分析去括號法則

1.1 抽象的簡約階段

抽象的簡約階段，是用數學的文字語言清晰表達的階段．通常要經歷對同一類事物的觀察、分析、比較等過程，從中抽取關于數量、空間形式或結構關系方面的共同屬性，舍棄非本質屬性，最后用簡潔的語言進行闡述，從而形成嚴謹的數學概念或結論．譬如，去括號法則的教學，常常經歷具體數的運算過程，計算：(1)5+(2-1)，5+2-1；(2)-6+(-4+3)，-6-4+3；(3)-9.5-(-5-7)，-9.5+5+7…，進而得到等式(1)5+(2-1)=5+2-1；(2)-6+(-4+3)=-6-4+3；(3)-9.5-(-5-7)=-9.5+5+7…在此基礎上，學生觀察各組等式兩邊符號的變化情況，并用語言概括發現的結論．在分析與比較上述等式的過程中，抽取從左到右符號的變化規律，即括號前是“+”，去括號之后，括號內的各數的符號不變，而括號前是“-”時，去括號之后，括號內各數的符號改變．這是簡約化過程，或者說是抽象概括的過程，也是從感性的具體到理性的抽象、發展學生數學抽象能力的過程．通過觀察、分析、比較不同的數與式及其恒等變形，根據它們反映的共同規律，進行簡約化處理.像這樣的現象在初中代數教學中隨處可見，尤其是法則與公式的教學，常常是不能省略的過程．

1.2 抽象的符號階段

抽象的符號階段，是用字母或數學符號表示結論的階段．我們知道，數學符號是數學抽象的結晶，也是現代數學的基礎．符號作為一種特殊的語言，有其自身的獨特之處，譬如，精確、簡約、形式化等，它便于邏輯論證和交流，提高了思維的效率，具有其他形式不可替代的優越性．去括號法則在經歷簡約化之后，用含有字母的式子表示概括的結果，這一過程即為抽象的符號階段．如，用字母符號表示法則的一般性結論．即(1)a+(-b+c)=a-b+c；(2)a-(-b+c)=a+b-c．這里的“a”“b”“c”，從形式上看，就是一個字母，但在這里的真實含義可以表示一個具體的數，也可以表示單獨一個字母或其他整式，甚至可以是復雜的代數式．但是單從符號的形式上看不到它的真實含義，這一點也正說明了符號的抽象性．在數學概念與命題的教學中，抽象的符號化是數學發展的必然過程，也常常是教與學必不可少的過程．

1.3 抽象的普適階段

抽象的普適階段，是指數學命題經歷應用、推理等過程，明晰抽象的結論所適用的范圍．譬如，在去括號法則形成之后，為了幫助學生理解法則的適用范圍和適用的模式，常常會安排適量的、有針對性的練習，這是抽象普適化的一個過程，也是促進學生理解法則的過程，不僅要理解法則中符號的變化規律，還要理解法則中“a”“b”“c”的具體意義．xy-(2x2-3)=xy-2x2+3，在這里“a”“b”“c”表示的是一個式子，或一個數，而在 2b-[ab-(3ab-2a)]-7a中，如果先去中括號，那么“a”“b”“c”還可能表示一個多項式．去括號法則的練習與應用是根據法則進行演繹推理的過程，是學生理解與掌握法則的過程，也是學生接受抽象的普適化過程．

通常情況下，去括號法則的教學應該經歷上述三個抽象階段，這是一個循序漸進的過程，也符合認知規律．但是因為去括號這一知識點安排在“代數式”這一章，去括號之前剛剛學習了代數式、代數式的值、合并同類項等知識，所以蘇科版教材先通過賦予字母具體的數字，求代數式的值，然后在比較不同代數式值的結果中歸納去括號法則，這是整體編排的需要，同時也彰顯了知識的發展規律：因為合并同類項的需要，所以才研究去括號，有了去括號法則，才能簡化代數式．教材在法則簡約化的過程中也融合了法則符號化的部分過程．實際上，學生第一次見到“a+(-b+c)”“a-b+c”“a-(-b+c)”“a+b-c”等式子與經歷簡約化后的認識是完全不一樣的，第一次見到的式子僅僅是一個代數式而已，而經歷簡約化之后，“a+(-b+c)=a-b+c”“a-(-b+c)=a+b-c”才是一個抽象的結論和抽象的法則．

2 從數學抽象的視角審視不同的教學流程及其建議

在D市青年教師執教“去括號法則”的評課活動中，所有教師均創設了實際問題的情境，列出 含有括號的代數式，進而提出研究去括號的必要性．在探究法則的過程中，多數教師的流程大致如下：

第一步，字母取不同的數求代數式的值，得到表1或與表1類似的數據(學生自主獲得或教師直接提供)；

表1

第二步，問題1：你發現了什么？

第三步，問題2：你能運用所學的知識解釋這個法則的合理性嗎？

第四步，用文字語言概括結論；

第五步，運用去括號法則進行整式運算，即去括號法則的應用．

這樣的處理基本是按照教材的順序，符合學生的認知規律，也遵循了數學抽象的層次性．不同教師課堂教學的差異體現在細節的處理上.當然，細節的處理影響了教學的效果，也反映了教師的教學理念與教學基本功．

在所有教師的教學中，去括號法則的探索只有教師M與其他教師不同．在他的教學中，跳過了通過數字的計算發現結論的環節，直接通過演繹推理證明去括號的兩個標準式子．如，a+ (-b+c)=a+(+1)(-b+c)=a+(+1)(-b)+(+1)(+c)=a-b+c①，以及a-(-b+c)=a+(-1)(-b+c)=a+(-1)(-b)+(-1)(+c)=a+b-c．依據乘法分配律進行形式化的推理，得到“a+(-b+c)=a-b+c”和“a-(-b+c)=a+b-c”．因為跳過了具體數字的計算與體驗，縮短了法則的發現與探究的過程，所以課堂上學生有更多時間用于去括號的練習．

關于教師M對這一環節的處理，筆者以為值得商榷．首先，運用乘法分配律能推導式子①嗎？為什么不是a+(-b+c)=a+(+1)(-b+c)=a+[(+1)(-b)+(+1)(+c)]=a+(-b+c) ②，從學生學習的角度審視，等式②的過程是否更合理一些呢？利用分配律可得，a-(-b+ c)=a+(-1)(-b+c)=a+[(-1)(-b)+ (-1)c]=a+(b-c) ③，這樣的變形可以接受．也就是說，如果等式①成立，那么能夠得到a-(-b+c)=a+(b-c)=a+b-c．可見，用乘法分配律證明去括號的兩個結論的邏輯起點是+(-b+c)= -b+c ④．問題在于如何讓學生理解這個邏輯起點？若等式④成立是否就說明了去括號法則的正確性呢？有數學家曾說過：不要試圖去證明符號法則的邏輯必要性，更不要把不可能的證明講得似乎成立．歷史上大多數學家遇到的困難，恰恰正是今天學生會遇到的學習障礙，試圖利用邏輯演繹的冗長語言來消除這些困難是不可能成功的．其實，在初中數學的數與代數部分，像這樣的情況還有很多，如數的運算法則、運算律、因式分解，等等，其實只要舉例說明、學生能夠接受就行，無需從邏輯上進行嚴格的證明．其次，剛升入七年級的學生對事物的認識還停留在感性的、具體的階段，初次認識用字母表示具體的數，關于字母的形式化的抽象思維尚未形成，此時，形式化的推理對于絕大多數學生而言是有障礙的.跳過數字計算發現結論的階段，使學生對去括號法則的理解失去了感性的基礎和抽象的過程，也就失去了熟悉法則和發展數學抽象的機會，必然會增加學生的記憶負擔，而彌補這一缺陷，許多教師的策略只有大量練習、重復練習．

從數學抽象的視角看，理解數學需要認識數學知識形成中的數學抽象的層次與過程，理解學生需要了解不同年齡階段的學生的數學抽象能力，而理解教學需要遵循數學抽象的規律，設計符合學生抽象能力的教學活動．厘清數學命題的不同抽象階段與抽象過程，才能有的放矢，培養學生的數學抽象能力才能從不自覺走向自覺．這是提高教學效率的需要，更是發展學生核心素養的需要．