應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的“曲切轉(zhuǎn)化”策略*

李建新 (江蘇省泰興中學(xué) 225400)

1 尋找切點(diǎn)——透視一類超越函數(shù)的零點(diǎn)問題

例1已知函數(shù)f(x)=ex-2x+a有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．

分析 對于函數(shù)有零點(diǎn)的問題，一是直接求解，借助函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理求參變量的取值范圍；二是分離參變量，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題；三是數(shù)形結(jié)合，即轉(zhuǎn)換成兩個不同函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)的問題．我們推薦第三種做法．

解函數(shù)f(x)=ex-2x+a有零點(diǎn)，所以方程ex=2x-a有解．令y=ex，y=2x-a，則本題轉(zhuǎn)化為直線y=2x-a與曲線y=ex有公共點(diǎn)．易求出斜率為2且與曲線y=ex相切的直線方程是y=2x+2-2 ln 2．結(jié)合圖象可知：當(dāng)-a≥ 2-2 ln 2，即a≤-2+2 ln 2時符合題意．

借助切線，舉一反三，我們可以解決很多類似的問題．

變式1已知函數(shù)f(x)=ex-a(x+1)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．g(x)=(a+e)x，若存在x0∈R，使得f(x0)=g(x0)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．

例2(2019·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在曲線y=lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)(-e,-1) (e為自然對數(shù)的底數(shù))，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是．

分析 題中提到“在點(diǎn)A處的切線”，因此A就是切點(diǎn)，故可以從點(diǎn)A出發(fā)．設(shè)A(x0,lnx0)，求出切線方程，然后利用點(diǎn)(-e,-1)在切線上得關(guān)于x0的方程，解方程即可得點(diǎn)A的坐標(biāo)．

圖1

變式(2013·江蘇20改編)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-ax，其中a為實(shí)數(shù)，若函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

由以上的題目可以看出，如果我們平時能有一定的知識儲備，無論是例題還是變式，我們都能迅速進(jìn)入解題狀態(tài)，贏得解題先機(jī)．

2 探求切線——破譯含參不等式的恒成立問題

例3若不等式ex≥kx恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．

分析 這是一個不等式恒成立的問題，處理此問題一般有三個角度：第一是分參；第二是構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)f(x)=ex-kx，令f(x)min≥0即可；第三可以數(shù)形結(jié)合，分別令y1=ex及y2=kx，只要函數(shù)y1的圖象在y2的圖象上方(允許有重合的點(diǎn))即可.這里我們推薦第三種方法．

解因?yàn)閥=ex，所以y′=ex，設(shè)過原點(diǎn)的直線y=mx與曲線y=ex相切于點(diǎn)A，A(x0,ex0)，則點(diǎn)A處的切線方程可以表示為y= ex0· (x-x0)+ex0，即y=ex0x+(1-x0)ex0．因?yàn)榇饲芯€過原點(diǎn)，所以得關(guān)于x0的方程(1-x0)ex0=0，解得x0=1．所以切線方程為y=ex，觀察圖象可知0≤k≤e符合題意．

說明 我們之所以建議選擇第三種解法，是避免“小題大做”：第一、第二種方法雖然可以解決問題，但要涉及分類討論，容易給學(xué)生帶來不必要的麻煩．而第三種方法由數(shù)形結(jié)合聯(lián)想切線，解題過程也簡單．

最小二乘估計(jì)中，僅考慮觀測值的偶然誤差，不考慮系統(tǒng)誤差和模型誤差，得到的參數(shù)解是最優(yōu)線性無偏估計(jì)量，但是在實(shí)際問題中，如果不考慮模型誤差和實(shí)驗(yàn)環(huán)境的影響，有時會嚴(yán)重影響參數(shù)估值結(jié)果。為克服以上參數(shù)模型的局限，半?yún)?shù)回歸模型提供了一種新方法。半?yún)?shù)回歸的函數(shù)模型可以表達(dá)為：

變式1已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足lna=b，c+3=d，則(a-c)2+(b-d)2的最小值是．

分析 初看題目條件，變量較多，變量間的關(guān)系虛無縹緲．再看需要解決的目標(biāo)問題，易聯(lián)想到兩點(diǎn)間距離公式．由此想到本題的條件可分別表示成曲線y=lnx和直線y=x+3，從而回歸到例4的類型中，但不同點(diǎn)是本題求的是距離的平方，答案為8．

變式2已知不等式(m-n)2+(m-lnn+λ)2≥2對任意m∈R，n∈(0,+∞)恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是．

說明 變式2可借助GGB、幾何畫板，由圖象可以看出，當(dāng)直線l平移至與曲線相切時，切線l′與l之間的距離即為所求．變式1、變式2加入了大量的抽象字母對學(xué)生進(jìn)行迷惑，要利用式子的幾何意義提出問題，再回到曲線與切線的解題思路上來．

3 切線降維——尋根復(fù)雜函數(shù)的代數(shù)論證問題

例5證明：x>0時，ex>lnx+2．

分析 這是一個不等式證明的問題，處理此問題一般有三個角度:第一是構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)f(x)=ex-2-lnx，去證f(x)min；第二可以令f(x)=ex，g(x)=2+lnx，然后去證f(x)min>g(x)max；第三可以尋找中間量h(x)，去證明ex>h(x)>lnx．下面主要介紹第三種方法．

解設(shè)直線l:y=kx+b與曲線f(x)=ex(e為自然對數(shù)函數(shù)的底數(shù))相切于點(diǎn)A(x1,ex1)．由f(x)=ex得f′(x)=ex，故f′(x1)=ex1，因此該切線可以表示成y=ex1(x-x1)+ex1，即y=ex1x+(1-x1)ex1．

令f(x)=ex-x-1，則f′(x)=ex-1，因?yàn)閤>0，所以f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)>f(0)=0，即f(x)=ex-x-1>0，所以ex>x+1．同理可證明x+1≥ lnx+2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立．故ex>x+ 1≥lnx+2成立， 即得x>0時，ex>lnx+2．

圖2

兩個曲線的公切線問題一直是高考的一個熱點(diǎn)問題，這其中涉及求值、求范圍或者證明等式問題．本題中公切線就是聯(lián)系函數(shù)y=ex和函數(shù)y=lnx+2的紐帶和橋梁，是證明不等式時重要的中間量，從而將證明不等式的問題巧妙地轉(zhuǎn)化成了求解公切線方程的問題(圖2)．

諸如此類的問題還有很多，我們不再一一列舉．由此，切線的引入為放縮作了鋪墊．通過探究，我們可以積累相應(yīng)的結(jié)論，為順利完成函數(shù)壓軸題做好準(zhǔn)備．