正定二次型在實際中的應用

摘?要：二次型的理論及其性質是線性代數的主要內容之一，二次型的理論及其應用及其廣泛，其中正定二次型又是二次型中一類重要的二次型，有著非常重要的理論和實用價值。在文【1】中，簡介了二次型及其在實際中的應用，在文【2】中，淺析探討了正定二次型的理論及其性質，而在文【3】中重點探討了正定二次型及其在最優化方法中的應用。文【4】中主要是研討了正定二次型在高等代數中的應用。為使讀者能夠比較全面的深入了解，正確清晰的理解和掌握正定二次型的理論及其應用，本文主要是針對正定二次型在幾何，最小二乘法及其物理力學等實際中的一些應用作一些簡介。如有不當之處，歡迎讀者給予批評指正。

關鍵詞：正定二次型;正定矩陣;最小二乘法;線性方程組

一、在解決二次曲線和二次曲面方程中的應用

二次型的理論探討是從18世紀開始的，它的起源是對二次曲線和二次曲面

的分類問題的討論，直到1858年，維爾斯托拉斯在他人研究的著作的基礎上，不僅給出對同時化兩個二次型成為平方和的一般的方法，而且還證明了，如果二次型是正定的，那么即使某些特征值相等，這個化簡也是可能的。

如果，取的前行所構成的列向量，由范德蒙德行列式可知，的前行所構成的列向量線性無關，從而，相應“接長”的維列向量也線性無關。因此，對于任意的，必有，這時，故為正定矩陣。綜上所述，為正定矩陣的充分必要條件是：。

四、在物理力學問題中的應用.

由于在物理力學問題中，經常需要同時將兩個二次型轉化為標準型來實現，這是正定二次型在物理力學問題中應用中很重要的一個問題.

定理?設是階正定矩陣，是階實對矩陣，則必存在階非奇異矩陣，使得其中為對角陣.

證明：因為是正定矩陣，所以存在階非奇異矩陣，使得，令，顯然仍為實對稱矩陣，所以存在階正交矩陣，使得.取，則為階非奇異矩陣，且有

另外正定二次型在研究系統的穩定性、廣義重積分、物理學電阻器功率的消耗等方面都有廣泛的應用.由于篇幅所限，這里就不在累贅了。

參考文獻

[1]?楊付貴.二次型及其在實際中的應用[J].科教導刊

[2]?楊付貴.正定二次型及其性質的探討[J].科教導刊

[3]?楊付貴.正定二次型及其在最優化中的應用[J].科教導刊

[4]?楊付貴.正定二次型及其在高等代數中的應用[J].科教導刊

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[8]?王燕軍.最優化理論與方法[M].上海：復旦大學出版社，2005.

作者簡介：楊付貴（1957.5）男，天津人，副教授。從事最優化方法研究。