淺談向量組的極大無關組及其應用

摘 要：向量組的極大無關組是線性代數中非常重要的概念之一，有著非常廣泛的應用。尤其是在求解線性方程組的通解，以及在用正交變換化實對稱矩陣為對角矩陣時的應用。然而，在學習中發現，學生在學習向量組的極大無關組時，感覺十分抽象，學習起來有些吃力。尤其是對于普通高校文科類的學生以及民辦高校的學生，對于向量組的加我工作的概念很模糊，也不知如何去向量組的極大無關組。本文主要對向量組的極大無關組及其性質和求法，以及應用，進行梳理，歸納和總結。為同學們在學習向量組的極大無關組時提供一些思路。

關鍵詞：向量組;極大無關組：線性相關;線性無關

一.向量組的極大無關組的定義

定義：如果向量組中的部分向量組成的向量組線性無關，且向量組中的每個向量都可以由它們線性表示，則稱為向量組的一個極大無關組。

注：所謂向量組的極大線性無關組，就是向量組中個數最多的線性無關的部分組，此外，向量組的極大無關組不是唯一的，但是，線性無關向量組的極大線性無關組是唯一的，就是自身.而只含有零向量的向量組沒有極大無關組。

二. 向量組的極大無關組的性質

1.向量組與它的極大無關組等價;

2.向量組的任意兩個極大無關組等價;

3.向量組的極大無關組所含的向量個數相同：

4.秩為的向量組中，任意個線性無關的向量組都是向量組的極大無關組。

三.向量組的極大無關組的通常求法

1.初等變換法：首先將向量組作為矩陣的列，而后對矩陣進行初等行變換化成行階梯形，則的非零行的個數，即為向量組的秩，而與的列向量組的極大無關組相對應的矩陣的列向量組就是所求向量組的極大無關組。此方法通常用于“具體”的向量組的情景。

2.利用有關結論法：就是利用極大無關組的性質以及有關結論，求向量組的極大無關組。此方法通常用于求“抽象”的向量組得極大無關組得情形。

例1：設向量組，如果，且，求向量組

的一個極大無關組。

解：因為，所以線性相關，因此，向量組的極大無關組不可能同時含有，從而向量組可能的極大無關組只能是，或者是

如果線性相關，則必有，這與已知矛盾，所以線性無關，又由于可以被線性表示，所以，可以被線性表示，而中任何一個向量都可以被其本身向量組線性表示，從而，根據定義可知向量組就是向量組的一個極大無關組。

同理可證：向量組也是向量組的一個極大無關組。

3.逐個選錄法：對于一個給定得向量組，首先通過觀察法選定一個線性無關得部分向量組，然后，對于剩余得向量組采取從左到右得順序，逐個考察每個向量，如果出現不能被選錄的線性無關的部分向量組線性表示的向量，則添加該向量構成一個新的線性無關的部分向量組，以此為基礎，繼續對后續向量進行考察，逐個選錄，最終可求得向量組的極大無關組。此方法通常適用于向量組中，向量個數較少的情景。

例2求向量組

的極大無關組。

解：顯然線性無關，而，但是不能被線性表示，從而

，線性無關。因此， 就是向量組的極大無關組。

四.向量組的極大無關組的應用

1.向量組的極大無關組在向量空間中的應用

由于向量空間的基，即為向量空間的極大無關組，而對于向量組生成的向量空間，實質上就是向量組的極大無關組生成的向量空間，并且向量組的極大無關組也稱為該向量組生成的向量空間的基，其秩稱為向量空間的維數。然而，求向量空間的基，通常有兩種方法，一種是觀察法：即對于用集合表示的向量空間，可以根據向量空間的具體形式，觀察其特點，設法找出向量空間的一組線性無關的向量，使得向量空間的任何一個向量都能被它們線性表示，則它們就是向量空間的一個基。而另一種是極大無關組法：即求出向量組的極大無關組，就是向量組生成的向量空間的一個基。

2.向量組的極大無關組在求解線性方程組中的應用

對于齊次線性方程組的解空間，要求它的通解，通常是先求出齊次線性方程組的基礎解析，由于齊次線性方程組的基礎解析，實際上就是齊次線性方程組的解空間的極大無關組。然而，求齊次線性方程組的解空間的基礎解析（即極大無關組），通常也有兩種方法：一種是高斯消元法：即對于“具體”的齊次線性方程組，可以對其系數矩陣進行初等行變換，將其化為行最簡形，得到齊次線性方程組的解空間的基礎解析（即極大無關組）。而另一種是利用有關結論法：即對于“抽象”的齊次線性方程組，首先根據齊次線性方程組的解空間的維數（基礎解析所含向量的個數）與齊次線性方程組的系數矩陣的秩的關系，確定，然后，設法從已知的條件中找出齊次線性方程組的個線性無關的解向量，就是所求的齊次線性方程組的解空間的基礎解析。

向量組的極大無關組還有著非常廣泛的應用，比如，向量組的極大無關組化實對稱矩陣為對角矩陣中的應用，在求解階常系數微分方程中的應用，以及在代數學中的應用等等。由于篇幅所限，在此，就不累贅了。

參考文獻

[1] 李乃華.趙芬霞.趙俊英.李景煥.線性代數及其應用導學[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2] 北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3] 張禾瑞.郝鈵新.高等代數（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1984.

[4] 郭聿琦.岑嘉評.徐貴桐.線性代數導引[M].北京：科學出版社，2001.

作者簡介：楊付貴（1957.5）男，天津人，副教授。從事最優化方法研究。