高等數學中“方程”根的問題

摘 要：在高等數學的學習中會涉及到“根”的問題，如何正確區分是方程的“根”還是“導函數”方程的根，以及“根”的存在性、唯一性;以及如何求出“根”，需要深入分析研究。本文通過對高等數學教材中涉獵到的涵蓋“根”問題的相關知識點進行了歸納梳理總結，以便達到清晰思路，舉一反三，精準解決問題的目的。

關鍵詞：高等數學;根;導函數方程

高等數學學習中 “根”的問題，是高等數學教學中一個非常重要的內容，也是一個難點所在。首先要明確是方程的根還是導函數方程的根，因為不同類型方程的根將會采用不同的解題原理。我們梳理了一下，總結出有以下兩部分的知識點中涵蓋“根”的問題。（1）閉區間上連續函數的性質（2）微分中值定理。如果我們能夠在教學中把各種知識點中“根”的問題進行歸類，無疑對學生系統掌握知識，運用知識，清晰思路都是非常好的一件事情，而且能幫助學生突破這個難點。

一、方程根的問題

在“閉區間上連續函數的性質”這一節講到“方程的根”，解決方案是“零點定理”。

如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，且f（a）與f（b）異號，那么函數f（x）在開區間（a，b）內至少有一個零點，即至少存在一點使得

所以當我們判斷出是要求“方程根”的問題，我們就會選擇“零點定理”來解決。注意做題時首先要構造“輔助函數”，再去檢驗這個函數滿不滿足“零點定理的條件，如果滿足就直接用，如果不滿足就創造條件用。

例1.證明方程在內（0，1）恰好有一個實根

分析：這個題目需要證明“存在性”和“唯一性”兩個方面。

二、導函數方程根的問題

在“微分中值定理”這一節講到“導函數方程的根”，解決方案是“羅爾定理”。

例1.設函數 f（x）=（x-1）（x-2）（x-3），試判斷方程 f '（x）=0 有幾個實根，分別在何區間？

分析：羅爾定理常用于討論導函數零點的存在性。

通過 f（a）=f（b）找出 f（x）連續、可導的區間;再利用羅爾定理判斷導數方程根的個數。

因為 f（1）= f（2）= f（3）=0 接著判斷 f（x）在[1，2]、[2，3]上是否符合羅爾定理。

解：因為 f（1）= f（2）= f（3），

且f（x）在[1，2]上連續

在（1，2）內可導，由羅爾定理，$x₁?（1，2），使 f?（x₁）=0

同理，$x₂?（2，3），使 f '（x₂）=0

故 f '（x）=0有兩個實根

又因 f '（x）=0是二次方程，至多兩個實根

一般地，n次實系數多項式至多有n個實根

故f '（x）=0有兩個實根，分別位于（1，2）和（2，3）內.

綜上：（1）導函數方程根的問題用羅爾定理（2）方程根的問題用零點定理（3）根的個數問題用單調性論證。

參考文獻

[1] 同濟大學數學教研室主編.高等數學[M].北京：高等教育出版社，1992.

[2] 楊晉浩，張勇，羅釗.高等數學（上冊）[M].北京：科學出版社，2010.

[3] 羅釗，韓天勇，王偉鈞.高等數學（下冊）[M].北京：科學出版社，2010.

作者簡介：吳文前成都大學信息科學與工程學院副教授，碩士。研究方向：數學教育。