“利用導(dǎo)數(shù)求含參不等式恒成立問題中參數(shù)取值范圍”的重要方法

沈再琳

摘 要：隨著高考改革的不斷深入，各學(xué)科應(yīng)根據(jù)考試大綱要求對教學(xué)方法進(jìn)行相應(yīng)的優(yōu)化改進(jìn)。對于數(shù)學(xué)學(xué)科而言，利用導(dǎo)數(shù)求含參不等式恒成立問題是近年來的熱門考點(diǎn)，該考點(diǎn)充分考查了函數(shù)求導(dǎo)、三角函數(shù)、不等式等知識點(diǎn)內(nèi)容，知識內(nèi)容涉及廣且靈活，使得學(xué)生在應(yīng)付該類試題上往往難以下手。因此本文通過從分析該類問題的方法和思路入手，總結(jié)恒等式問題中求參數(shù)取值范圍方法，為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)化提供參考。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù);不等式恒成立;方法

前言

含參不等式恒成立中參數(shù)取值范圍問題一直是高中數(shù)學(xué)考試中的熱門考點(diǎn)，這類數(shù)學(xué)問題充分考查了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和綜合運(yùn)用，通常而言求解該類題目主要運(yùn)用函數(shù)求導(dǎo)的基本方法。所有的不等式恒成立求參數(shù)取值范圍問題，采用新建函數(shù)并求導(dǎo)能夠達(dá)到一定的化簡作用，但所有的不等式求取值范圍問題并不是僅通過函數(shù)求導(dǎo)就能解答，而是需要學(xué)生具有“變式求解”的數(shù)學(xué)思維，基于函數(shù)求導(dǎo)進(jìn)行深入的數(shù)學(xué)分析才能得出準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)結(jié)果。

一、分離參數(shù)法

分離參數(shù)法是求參數(shù)取值范圍的一種重要方法，是利用導(dǎo)數(shù)求含參不等式恒成立參數(shù)取值中的基本解題方法。分離參數(shù)法的重點(diǎn)在于將不等式中的參數(shù)分離出后能否從新式中求解最值、值域、單調(diào)性等，大多數(shù)學(xué)生無法熟練掌握分離參數(shù)法的原因，主要是由于將分離參數(shù)法與分離常數(shù)法混淆，在高中數(shù)學(xué)的不等式問題中僅通過常數(shù)是無法判斷參數(shù)的取值范圍。例1：設(shè)函數(shù)f（x）=x3+2x 2+ax，x在[1，2]時f（x）不是單調(diào)函數(shù)，求解實(shí)數(shù)a的取值范圍.這是一道典型的利用分離參數(shù)法求解不等式恒成立參數(shù)取值范圍的問題，此題的分析過程應(yīng)當(dāng)是從函數(shù)f（x）觀察入手，函數(shù)為三次冪函數(shù)并且當(dāng)x在[1，2]中不是單調(diào)函數(shù)因此在此區(qū)間內(nèi)函數(shù)具有多個單調(diào)性，函數(shù)中含有三項(xiàng)其中一次項(xiàng)含有a和x兩個變量，所以說a的取值與函數(shù)的單調(diào)性有著一定的聯(lián)系，如果在求解過程中如果不對函數(shù)進(jìn)行處理而采用帶入求解法則需要進(jìn)行多次討論，此題的最優(yōu)解法是通過對函數(shù)f（x）直接求導(dǎo)，得出f'（x）=3x 2+4x+a的二次函數(shù)，進(jìn)而利用對稱軸公式求解出二次函數(shù)對稱軸，因?yàn)閒'（x）開口朝上，所以在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，所以求得a的取值為（-16，-7）。

二、特值求解法

特值求解法在數(shù)學(xué)問題中運(yùn)用的核心思想在于選擇正確的特定值，減少函數(shù)式中未知量個數(shù)或化簡函數(shù)式，而在含參不等式問題中特值求解法更多的是為了便于對參數(shù)取值范圍的討論。例2：已知函數(shù)f（x）=ax+sinx，x∈[0，π]，若f（x） 1+cosx求a的取值范圍。面對例題應(yīng)首先分析已知量的構(gòu)成，函數(shù)是由一次函數(shù)與三角函數(shù)組成，問題需求解不大于1+cosx時參數(shù)a的取值，由于sinx與cosx函數(shù)在題目要求區(qū)間內(nèi)所反映的單調(diào)性不同并且f（x）是一次函數(shù)與三角函數(shù)的組合函數(shù)具有多重性質(zhì)，因此在求解時可以通過構(gòu)造新函數(shù)g（x）=1+sinx-cosx-ax，進(jìn)行求導(dǎo)并化簡后得到g'（x）= sin（x+ π /4）-a，對于g'（x）而言函數(shù)的值域?yàn)閇-1， ]，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值正負(fù)關(guān)系反映原函數(shù)的單調(diào)性，所以得出a -1時g（x）單調(diào)遞增且a取-1時等號成立，而當(dāng) -1

三、放縮法

放縮法是在求解不等式成立問題中如遇到不等式兩邊數(shù)量關(guān)系無法比較時而采取尋找一個中間量進(jìn)行比較的一種方法，中間量的尋找過程往往需要將原式放大或縮小，但處理后的結(jié)果可以更為準(zhǔn)確地對不等量進(jìn)行比較。放縮法應(yīng)用在利用導(dǎo)數(shù)求解含參不等式恒成立中參數(shù)取值范圍的問題時對于高中學(xué)生而言往往具有一定的難度，問題的考查點(diǎn)并不是讓學(xué)生去尋找變式關(guān)系構(gòu)造出中間變量，其重點(diǎn)應(yīng)強(qiáng)調(diào)對函數(shù)的求導(dǎo)后變量取值范圍的分析，找到不等式兩邊趨同點(diǎn)進(jìn)而構(gòu)造出中間量。放縮法需要學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，依靠全面的數(shù)學(xué)分析和準(zhǔn)確的中間量構(gòu)造來實(shí)現(xiàn)解體目的。不言而喻，放縮法凝聚了多種數(shù)學(xué)思維和方法是數(shù)學(xué)知識綜合應(yīng)用的體現(xiàn)，學(xué)生對放縮法的掌握和應(yīng)用，應(yīng)從平時不斷的練習(xí)中進(jìn)行總結(jié)歸納。

總結(jié)

綜上所述，利用導(dǎo)數(shù)求含參不等式恒成立問題中參數(shù)取值范圍的數(shù)學(xué)方法，主要包括分離參數(shù)法、特值求解法和放縮法三種，但并不是說所有不等式恒成立問題都應(yīng)圍繞著這三種方法來思考求解。高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)更多的是講求融會貫通性，只有讓學(xué)生清晰掌握各知識內(nèi)容間的聯(lián)系及數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用技巧，并通過學(xué)生的親身實(shí)踐動手求解后，才能促使學(xué)生對該類數(shù)學(xué)問題靈活作答。

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