基于在險價值的物流網絡規劃模糊兩階段模型與精確求解方法

王 珂, 楊 艷, 周 建

(上海大學 管理學院，上海 200444)

0 引言

物流網絡的建設往往投資大、周期長并且短時間內不可逆，設施一旦建立后需要長期運營。對于確定環境下的物流網絡規劃研究已相對成熟。隨著研究的不斷深入，越來越多的學者關注到物流網絡規劃中的不確定因素。根據決策環境的不同，AGovindan等[1]將不確定環境下的物流(供應鏈)網絡規劃分為以下三類：決策環境包含隨機變量并且隨機變量的概率分布已知，此類問題主要通過隨機規劃方法進行求解[2,3]；決策環境中包含隨機變量但隨機變量的概率分布未知，魯棒優化為其提供了求解思路[4,5]；模糊環境下的物流網絡規劃問題[6～9]，則模糊集理論為其提供了有力的理論支撐。考慮到實際問題中大量存在的不確定因素，許多學者用隨機的方法來進行刻畫。然而隨機性往往需要以大量的統計數據為基礎，而在實際應用中足夠的數據往往難以獲得，比如進入新市場、開發新產品，此時決策過程中缺少足夠的數據作為參考，很多信息依賴于專家經驗。因此，模糊規劃被提出用來解決此類缺少參數準確信息的不確定性決策問題。如Qin和Ji[6]研究了模糊環境下產品回收物流網絡的設計，構建了期望值模型、機會約束模型和相關規劃模型。Balaman和SeliM[7]探究了生物能源供應鏈網絡的規劃，構建了模糊多目標混合整數線性規劃模型。Jindal和Sangwan[8]將模糊多目標混合整數線性規劃模型用于閉環供應鏈網絡的設計。李進[9]針對低碳環境下多級閉環供應鏈網絡設計問題，建立了多目標魯棒模糊優化模型。

物流網絡規劃涉及典型的兩階段決策，即選址規劃決策和運營配送決策。其中第一階段的選址規劃決策需要在一些關鍵信息(如實際的顧客需求、運營成本等)不確定的情況下事先做出，第二階段的運營配送決策則是在第一階段決策的基礎上根據一些新獲得的關鍵信息做出(如觀測到的實際顧客需求與運營成本)。由于第一階段的決策需要在一些不確定信息的實現值被觀測到之前做出，因此其選址規劃決策具有較大的風險。但大多數物流網絡規劃研究(如[4～10])以成本最小化(利潤最大化)為目標或在此基礎上考慮碳排放和企業社會責任等多目標優化，沒有針對這種兩階段決策過程進行風險分析。

為了衡量不確定信息在兩階段決策中導致的風險，在險價值(Value-at-Risk, VaR)[10]作為一種在金融投資領域已被廣泛接受的風險度量準則也被應用到物流網絡規劃中。VaR以一定置信水平下可能遭受的最大損失來表征風險水平，能夠幫助決策者清晰直觀地描繪出一項網絡規劃方案所面臨的潛在損失，從而有利于進行風險管理。同時，與期望值模型相比，VaR準則為決策者提供了更靈活的判斷標準，可以根據風險偏好選擇不同的決策方案，并將其在相應置信水平下的潛在最大損失控制在更小的范圍內。另外，相對于應用方差或標準差度量風險的方法，VaR側重對未來投資績效的管理，符合決策者更關注未來損失而非波動的事實[10]。

鑒于此，VaR被應用于設施選址及物流網絡規則中。如Wang等[11,12]定義了模糊損失函數的VaR，并將其引入到考慮模糊需求和可變運營成本的設施選址問題中，建立了以最小化投資損失的VaR為目標的模糊兩階段設施選址模型。隨后，Wang和Watada[13]在此基礎上研究了模糊隨機環境下的設施選址問題，并進一步考慮了具有可變設施容量的此類模糊隨機選址問題[14]。物流網絡規劃則是設施選址問題的擴展和應用[1]。如Bai和Liu[15]構建了基于VaR的模糊供應鏈網絡設計魯棒優化模型。Yang等[16]將VaR引入到P-樞紐中心問題中，并進一步研究了需求和運輸成本為模糊參數的供應鏈網絡設計問題，構建了兩階段雙目標供應鏈網絡設計模型[17]。

考慮到此類兩階段決策問題中模糊參數通常采用連續的規則模糊數來表示，為了得到最優解，在給定第一階段的選址決策下，第二階段需要求解一個無窮維的規劃問題來確定該決策的VaR值(對于模糊參數的每一組實現值，需要求解一次第二階段規劃模型，故當模糊參數為連續的模糊數時，需要求解無窮多次第二階段規劃模型來確定該決策的損失分布)，因此經典的數學規劃方法不再可行。針對此問題，多種復雜的混合智能算法[11～17]被提出。這些算法雖設計精巧，但只能得到近似最優解且計算量大并耗時。另外，在上述研究[11～13]中設施容量都是作為已知參數給出，但在實際的物流網絡規劃中，設施容量往往也是重要的決策問題。因此本文將設施容量也作為第一階段的決策變量，同時考慮顧客需求和運輸成本的不確定性，并將VaR引入目標函數中量化投資風險，建立以最小化投資損失的VaR為目標的模糊兩階段物流網絡規劃模型。并通過理論分析和證明將兩階段的模糊規劃模型轉化為確定的等價一階段混合整數線性規劃模型進行求解,降低了問題的求解難度并得到了模型的精確解。最后，通過不同規模的數值實驗證實了所提出模型及其求解方法的有效性。

1 問題描述與模型構建

1.1 問題描述

本文研究具有四層結構的物流網絡(圖1)，由供應商、工廠、分銷中心、顧客(群)組成。在該物流網絡中，供應商供應生產產品所需的原材料，工廠以一定的轉化率將原材料加工成產成品; 分銷中心負責將產品按照需求運送到各個顧客群，并假定只允許相鄰層級之間發生物流活動，不考慮同層節點之間和跨層級之間的物流配送。現需要對工廠和分銷中心的選址及生產能力和容量規模進行決策來對該物流網絡進行規劃建設。其中，顧客群和供應商的位置已知且固定，工廠、分銷中心的備選地址已知，各個供應商對原材料的供應能力已知, 但顧客的需求及未來的運輸成本是不確定的。

在實際的物流網絡規劃中，該問題通常涉及典型的兩階段決策。其中，第一階段是在顧客需求及未來的運輸成本不確定的情況下進行工廠和分銷中心選址規劃的戰略性決策，第二階段則是在第一階段決策基礎上根據顧客需求及運輸成本的具體觀測信息進行運營層面的配送模式安排。整個規劃決策方案由于受到不確定需求及運輸成本的影響而具有一定的投資風險，因此采用在險價值對其風險進行度量，并作為決策目標對其進行優化。

圖1 物流網絡結構

1.2 參數和變量說明

為了進一步對問題進行描述并構建模型，定義參數及決策變量如下：

指標集：

g、G：分別為供應商、供應商集合;

i、I：分別為備選工廠節點、備選工廠節點集合;

j、J：分別為備選分銷中心節點、備選分銷中心節點集合;

k、K：分別為顧客、顧客集合;

l、L：分別為工廠和分銷中心的備選容量(生產能力)序號、備選容量序號集合。

參數:

vg、mi、hj：分別為向供應商g進行采購的原材料單位采購成本、工廠i的產成品單位制造費用、分銷中心j的產品單位處理費用;

sg：供應商g的原材料供應能力;

φ：原材料轉化成產成品的轉化率;ul、wl：分別表示容量序號為l的工廠生產能力和容量序號為l的分銷中心處理能力;

pk：向顧客k收取的單位產品價格。

模糊參數：

決策變量：

1.3 模型構建

(1)

該模型的目標函數為銷售總利潤，即銷售收入減去從供應商到工廠、工廠到分配中心、分配中心到顧客的運輸費用以及原材料采購成本、生產成本和分銷處理成本。約束(1.1)～(1.3)分別為供應商供應能力、工廠生產能力和分銷中心容量約束，(1.4)和(1.5)為流量平衡約束，(1.6)為需求約束，(1.7)為決策變量的非負約束。將滿足該問題所有約束的可行決策集合表示為Q(x,d(γ))，其中q∈Q是問題的一個可行解。

給定第一階段的規劃決策x和模糊向量的實現值ξ(γ)，則規劃決策x的投資損失L(x,ξ)為：

(2)

注意的是，R(x,ξ(γ))和L(x,ξ(γ))分別表示規劃決策x在給定實現值ξ(γ)的條件下的銷售總利潤和投資損失。考慮模糊向量ξ的所有實現值ξ(γ),γ∈Г，相應地R(x,ξ)和L(x,ξ)變為兩個模糊變量。

由于模糊事件的可能性測度[18]和必要性測度[19]都缺乏自對偶的性質，本文采用Liu和Liu[20]提出的可信性測度來度量模糊事件發生的機會。根據可信性測度，模糊損失函數L(x,ξ)的可信性分布可以表示為：

Φx(λ)=Cr{γ∈Γ│L(x,ξ(γ))≤λ}

其中Cr表示可信性測度，Cr{·}=1/2(Pos{·}+Nec{·} ),Pos和Nec分別為可能性和必要性測度。

對于每一種規劃方案x，損失函數L(x,ξ)是與各個實現值ξ(γ)相關的模糊變量。給定決策變量x和置信水平α∈(0,1)，投資損失L(x,ξ)的VaR可以表示為：

VaRα(x)=sup{λ│Cr{γ∈Γ│L(x,ξ(γ))≤λ}≤α}

(3)

其中，置信水平α的取值區間可以通過令VaR0=VaR↓0和VaR1=VaR↑1擴展到[0,1]。

VaR量化了一個選址規劃決策x在一定置信水平下的潛在最大損失，使該損失最小化的第一階段決策模型如下：

(4)

其中，VaRα(x)由(1)～(3)決定。約束(4.1)和(4.2)分別表示在每個備選位置只能建立一個具有特定容量的工廠和分銷中心。

上述(1)～(4)即構成了該問題的兩階段規劃模型。

2 模型的理論分析與求解方法

2.1 模型的相關性質

為了對上述模型進行有效求解，首先對其一些理論性質進行分析，引入多元函數的單調性概念如下：

定義1(Liu[21])若實值函數f(x1,x2,…,xn)滿足：

(1)當xi≤yi,i=1,2,…,m，且xi≥yi,i=m+1,…,n，時，

f(x1,…,xm,xm+1,…,xn)

≤f(y1,…,ym,ym+1,…,yn)

有很多教材中都是選取花生和核桃。花生和核桃同屬油料作物，含有能量差異不大，稍不小心就會使實驗結果相反，有悖科學真理，因此筆者選擇成本較低的花生做該實驗。花生的種皮不易燃燒，所以實驗中把花生的種皮剝掉，以達到花生快速燃燒，并且避免更多熱量損耗的目的。由于改進裝置前一般取1粒種子充分燃燒后，水溫一般會在80～90℃，而在改進裝置后燃燒1粒種子，水很快沸騰，而且溫度繼續上升。此時，已經不能使用常規溫度計測量，為了降低水溫的升高，在改進裝置后，選用花生的一片子葉作為實驗材料。本實驗中用的是放置一年左右的飽滿而干燥的花生，原因是放置這種花生的水分較低。

(5)

(2)當xiyi,i=m+1,…,n，時，

f(x1,…,xm,xm+1,…,xn)

(6)

則稱該實值函數是嚴格單調的。

根據定義1，給定規劃決策x的損失函數L(x,ξ(γ))是關于實現值ξ(γ)的一個嚴格單調函數。

定義2(Zhou等[22])若一個模糊變量的可信性分布Φx(λ)對于λ在0<Φ(λ)<1上是連續且嚴格單調遞增的，則稱分布Φ是規則的，該模糊變量是一個規則的模糊變量。

顯然，常用的三角模糊數、高斯模糊數和柯西模糊數都是規則的模糊變量。規則的可信性分布Φ的逆函數Φ-1存在且在區間(0,1)上嚴格遞增。稱Φ-1為逆可信性分布。基于Zhou等[22]提出的規則模糊變量的運算法則，獨立規則模糊變量的嚴格單調函數可以通過其逆分布函數計算得到。

定理2(Zhou等[22])設ξ1,ξ2,…,ξn是獨立規則的模糊變量，它們的可信性分布分別為Φ1,Φ2,…,Φn。若嚴格單調函數f(x1,x2,…,xn)關于x1,x2,…,xm單調遞增，關于xm+1,xm+2,…,xn單調遞減，則ξ=f(ξ1,…,ξm,ξm+1,…,ξn)是一個規則的模糊變量且其逆分布函數為

(7)

注意，L(x,ξ(γ))是一個實值函數，而L(x,ξ)則是與所有實現值ξ(γ),γ∈Γ,相關的一個模糊變量。因為L(x,ξ(γ))的單調性，基于定理1和2，我們直接得到以下定理(證明略)。

(8)

由定理4，給定置信水平α∈(0,1)，選址規劃決策x的投資損失的VaR可以通過求解以下線性規劃得到:

(9)

2.2 最優條件和求解方法

(10)

證明在兩階段決策模型(1)～(4)中，第一階段決策模型(4)是進行選址規劃決策確定工廠和分銷中心的數量、位置和容量，在給定置信水平下使得VaR最小，同時VaRα(x)又取決于第二階段的規劃模型(1)。由定理4得，兩階段的規劃模型(1)～(4)等價于如下規劃模型：

(11)

設X是滿足約束(4.1)～(4.3)的所有可行決策的集合。對于任意給定的模型(11)的可行決策x∈X，同時也是模型(10)的可行決策，反之亦然。若x*∈X是模型(11)的最優解，則也是模型(10)的最優解，反之亦然。否則，假設x+,x*分別是模型(10)和(11)的最優解且x+≠x*。因x+是(10)的最優解，則下式成立:

所以x*不是模型(11)的最優解，與假設矛盾。證畢。

根據定理5，兩階段規劃模型(1)～(4)可以轉化為等價的確定一階段混合整數線性規劃模型(10)，進而可以借助一些成熟的工具進行求解，如LINGO、CPLEX和MATLAB。根據定理5，兩階段物流網絡規劃問題(1)～(4)的求解方法可以總結如下：

步驟2根據定理5，將模糊兩階段模型(1)～(4)轉化為等價的確定一階段混合整數線性規劃模型(10)；

步驟3利用數學規劃求解軟件，如LINGO、CPLEX、MATLAB，對一階段規劃模型(10)進行求解；

步驟4得到模型(10)的最優解即為兩階段模型(1)～(4)的最優解。

3 數值實驗分析

以一個制造企業為例，該企業預構建一個物流網絡。已知存在位置明確的原材料供應商和顧客群，待建的工廠和分銷中心的備選位置已知，待建的工廠和分銷中心分別有5種備選容量，原材料轉化為產成品的轉化率為0.8，顧客需求和單位運輸成本為模糊參數。參考Fernandes等[23]和Guo等[24]生成數據的方法，設置相關參數并生成測試數據集。設備選工廠位置的數量是供應商數量的2倍，備選分銷中心位置的數量等于備選工廠位置的數量，顧客群的數量是備選工廠廠址數量的2倍，即|K|=2|J|=2|I|=4|G|。

為了說明提出的求解方法的有效性，下面基于四個不同規模的算例進行數值實驗分析。在這些算例中，供應商數量從5逐漸增加到50，相應地，備選工廠和分銷中心數量由10增加到100，顧客數量由20增加到200。就我們所知，在類似的研究中，如[6,11-14,23,24]，50×100×100×200的問題規模已經屬于較大規模。

算例中的模糊參數均采用對稱的三角模糊數，以二元組(μ,σ)的形式表示，其中實數μ表示該模糊數的最可能取值，實數σ≥0表示左右兩邊的展值。對于一個對稱三角模糊數ξ～(μ,σ)，其期望值為μ，逆可信性分布為Φ-1(α)=μ+(2α-1)σ,α∈(0,1)。算例中模糊參數(μ,σ)的μ值利用均勻分布隨機產生，σ則根據μ生成，數據產生的具體設定如表1所示。如顧客需求dk是一個對稱三角模糊數，表示為dk(μ,σ)，其中數值dk(μ)在區間[20,30]隨機產生，并設定dk(σ)=dk(μ)/8。算例中確定性參數的數值利用均勻分布隨機產生(見表2)，在不同的規模下，這些確定性參數的取值區間不變。

表1 模型相關模糊參數的設定及求解時間

表2 模型相關確定性參數設定

我們在Intel i3 2.4GHz，RAM為4GB的普通個人筆記本電腦上利用CPLEX 12.0進行求解，每種規模的算例分別求解10次，取其求解時間的平均值作為最終的求解時間，其結果見表1。由表1可以看出，本文提出的求解算法不僅可以求解較小規模的物流網絡規劃問題，同樣可以在可接受的時間內得到較為復雜的物流網絡規劃問題的最優解。例如，對于50×100×100×200這樣較大規模的物流網絡規劃問題，利用本文提出的求解方法借助CPLEX 12.0也可以在100秒之內得到最優的規劃方案。

圖2 物流網絡規劃決策的損失分布

當決策者是風險規避型時，考慮到顧客需求和運輸成本的不確定性所帶來的風險，通常更關注可能的潛在損失，希望能夠將承擔的風險控制在一個較小的范圍內。VaR準則下，置信水平的選擇，反映了決策者的風險態度。置信水平越高，說明決策者越趨向于保守，風險厭惡程度越大。當置信水平趨近于1時，得到最壞情形下的最優解。反之，置信水平越低，決策者對風險越持樂觀的態度。當置信水平趨近于0時，得到最樂觀情形下的最優解。由表3可以看出，當置信水平取不同的數值時，物流網絡的規劃方案也會發生相應的變化，隨著置信水平的升高，工廠和分銷中心的數量相應減少。即使相同的選址，在不同的置信水平下，選址的生產能力或容量規模也可能會有不同的規劃結果。如當α=0.1和0.2時, 選址位置完全相同，但規劃了不同的生產能力。對于表3中列出的每一種規劃方案，給定置信水平α∈(0,1)，通過求解模型(9)可以得到相應的VaRα(x)，進而得到每一種規劃決策的損失分布函數Φx(λ)如圖2(a)所示。事實上，圖2(a)中所有規劃方案的損失分布函數左側的包絡線構成了完美信息條件下的規劃決策對應的損失分布，即在所有置信水平α∈(0,1)下對應的最優規劃決策構成的理想損失分布。

若決策者在進行規劃決策時，不考慮模糊參數的影響，而用模糊參數的期望值替代模型中的模糊參數，將模糊兩階段規劃問題簡化為確定的規劃問題，這種求解方法我們稱之為期望值替代方法(Expected-Value，EV)。該問題在EV方法下的規劃決策見表3的最后一行。由定理5及實驗結果(表3)均可以看出，當該問題中的不確定性參數均為獨立的對稱三角模糊數時，EV方法得到的規劃方案與VaR方法在0.5置信水平下得到的兩階段規劃結果相同，可以看作是風險中性的決策者所對應的最優決策方案。當模糊參數不具有對稱的隸屬度函數時，采用EV方法只能得到兩階段決策模式下一定置信水平對應的特定的一種規劃方案。圖2(b)比較了EV方法選址規劃的損失分布和完美信息條件下的選址規劃對應的損失分布。圖中，兩條曲線的水平距離即為在給定置信水平α∈(0,1)下，模糊兩階段決策方法最優規劃決策的投資損失的VaR值與EV方法得到的規劃方案的VaR的差值，該差值反映了基于模糊信息進行兩階段決策相比僅使用期望值代替模糊信息進行決策所帶來的價值。基于VaR的兩階段方法為決策者提供了更靈活的決策方案，可以根據不同的風險態度選擇不同的最優規劃方案，并將其在相應置信水平下的潛在最大損失控制在更小的范圍內。

4 結論

不確定因素會導致物流網絡規劃投資風險的增加。本文考慮顧客需求和運輸成本的不確定性，引入VaR作為風險衡量標準，在此基礎上建立了模糊兩階段物流網絡規劃模型。基于Zhou等[22]提出的規則模糊數的運算法則，證明了當問題中的模糊參數都是規則模糊數時，如三角模糊數、高斯模糊數和柯西模糊數，物流網絡規劃投資損失的VaR可以通過求解相應的線性規劃模型精確計算得到。因此，物流網絡規劃的模糊兩階段模型可以轉化為等價的確定一階段模型，降低了計算難度且得到問題的精確最優解。

另外，雖然本文只考慮顧客需求和運輸成本的不確定性，但本文提出的模糊兩階段物流網絡規劃模型及其求解方法同樣適用于其它具有類似結構的成本參數(如設施建設的固定費用、設施的可變運營成本、生產制造費用等)為模糊參數的情形。本文所提出的兩階段規劃模型及求解方法具有一定的普遍性，可應用于各種行業的物流網絡規劃，為現實不確定環境下的物流網絡規劃提供借鑒。