基于“零和收益”的SBM效率分配方法及應用

郭 文， 孫 濤， 朱建軍

(1.南京財經大學 會計學院,江蘇 南京 210046； 2.南京航空航天大學 經濟與管理學院，江蘇 南京211106)

0 引言

SBM方法以系統決策單元的投入、產出松弛作為決策變量，從而直觀地體現決策單元的效率改進路徑，其在系統效率評價及其資源效率分配中具有顯著優勢。然而，由于生產系統結構及生產方式的復雜性，傳統SBM方法也面臨“壞產出”、“黑箱”、“靜態性”等一系列問題。因此，近年來學者們提出了許多SBM模型的改進方法，來解決生產實踐中一些特殊的系統效率評價及其資源效率分配決策問題[1～11]。文獻[1～3]構建了基于非期望產出的SBM(undesirable SBM)模型，解決了存在“壞產出”的生產系統效率評價問題。文獻[4～7]通過分解生產系統的內部結構(“黑箱”問題)，定量化內部子過程的連接，分別根據串聯、并聯和混合聯接形式的復雜生產系統構建了相應的網絡SBM(network SBM)模型，探討了三種情況下網絡SBM模型的優勢。“靜態性”問題是指傳統SBM模型一般按年份分別計算系統中各決策單元的效率值，注重決策單元之間效率的對比，而忽略了效率的時間變化趨勢。文獻[8]關注的是一類存在跨期變量(carry-overs)生產系統的效率問題，并利用跨期變量來定義系統效率在相鄰期間的聯系，從而實現系統效率的動態評價；與之不同的是，文獻[9～11]采用構建ML(Malmquist-Luenberger)指數的形式勾勒相鄰年份系統效率的關聯，從而實現相同決策單元，不同時期的效率對比。另外，文獻[12,13]還定義了系統投入產出變量間可能存在的可分離和不可分離關系，通過構建基于不可分離(trade-off)變量的SBM(non-separable SBM)模型，解決了投入產出變量間存在trade-off關系的系統效率評價問題[12,13]。

然而，實踐中可能存在這樣一類生產系統，系統中各決策單元間的投入產出變量存在競爭性，即系統總投入產出量固定，某一決策單元投入產出的增加(減少)會造成其他決策單元投入產出的減少(增加)[14～16]。而前文所述的SBM模型在系統決策單元效率評價的過程中沒有考慮其競爭性，可能導致決策單元效率評價的偏差，進而影響系統資源在各決策單元的有效分配，不適用于該類生產系統效率評價和資源分配決策。鑒于此，本文借鑒SBM模型的建模思路，充分考慮考慮系統決策單元間投入產出變量的競爭性，構建基于零和收益的SBM(zero sum gains SBM, ZSG-SBM)效率決策模型來實現該類復雜生產系統的效率評價及其資源的效率分配。

1 基于“零和收益”的SBM模型(ZSG-SBM)

1.1 基本原理

在經濟生產活動實踐中，不同生產單元的投入(產出)要素可能存在競爭關系，例如：在公司項目組同時實施的過程中，公司人力資源的投入總數是固定的，某一項目人力投入的增加(減少)必然造成其他項目人力投入的減少(增加)，即該項目組人力資源投入的總額是不變的，這種總額的不變性即為“零和收益”思想[10]。本文將上述“零和收益”思想引入到SBM模型中，構建了ZSG-SBM模型。為了更加清晰地解析ZSG-SBM模型的構建過程，本文給出了投入導向的ZSG-SBM模型原理示意圖如圖1所示：

根據圖1可知，投入導向的ZSG-SBM模型的決策原理是在SBM模型效率評價的基礎上，基于“零和收益”的思想對無效決策單元的投入要素松弛量進行重新分配，以實現生產系統所有決策單元到達效率前沿，即該方法對生產系統總額不變的投入要素實現了最優效率的分配。

圖1 投入導向的ZSG-SBM模型示意圖

1.2 投入導向ZSG-SBM模型

考慮一個包含m個決策單元DMUi(i=1,…,m)，每個決策單元有k個投入和l個產出的生產系統。則該生產系統的生產可能集P(x)可表示為：

(1)

文獻[8]在傳統SBM模型的基礎上[8]，給出了投入導向的SBM模型如下：

(2)

(3)

為簡化模型的推導過程，本文先假定生產系統只有1個投入要素，即k=1。則模型(3)簡化為:

θ0=minh0

(4)

(5)

根據“零和收益”的基本原理，本文給出ZSG-SBM模型的一般形式如下：

(6)

1.2.1 平均分配策略ZSG-SBM模型

圖2 平均分配策略ZSG-SBM模型示意圖

(7)

(8)

由此可得平均分配策略下的ZSG-SBM模型如下：

(9)

1.2.2 比例分配策略ZSG-SBM模型

圖3 比例分配策略ZSG-SBM模型示意圖

(10)

由此可得比例分配策略下的ZSG-SBM模型如下：

(11)

文獻[17]的研究表明，在單投入(產出)的DEA模型中，生產系統所有決策單元的該投入(產出)要素的等比例變動能很好的保持模型前沿面的凸性，并且前沿面的參考集不變[17]。綜合模型(9)和模型(11)可知，兩種策略下的ZSG-SBM模型都為非線性規劃模型，然而，相比較于比例分配策略ZSG-SBM模型，平均分配策略ZSG-SBM模型可能造成生產系統前沿面參考集的變化，增大模型的求解難度。因此，本文的應用研究中采用的是比例分配策略ZSG-SBM模型。

1.3 比例分配策略ZSG-SBM模型的求解

(12)

文獻的研究表明，對于投入導向的SBM模型，各決策單元投入要素的等比例變化不影響系統的前沿面參考集[18,19]，即：

(13)

將公式(13)代入公式(12)可得：

(14)

公式(14)可進一步轉化為：

(15)

2 實例研究

為檢驗比例分配策略ZSG-SBM模型的有效性，本文以江蘇省13市科技企業孵化器為案例，結合2012年的實際運營數據來分析其運營效率以及孵化基金的效率分配。該生產系統包含13個決策單元、各決策單元包含1個投入變量和3個產出變量。借鑒文獻[20,21]的成果，投入變量選擇科技企業孵化器的孵化基金總量[20,21]；產出變量則選擇累計畢業企業數量、在孵化企業的總收入和在孵企業從業人數三個變量。該系統具體運營數據如表1所示。

表1 2012年江蘇13市科技企業孵化器運營數據的描述性統計

資料來源：《江蘇省科技企業孵化器發展報告(2012～2013年)》。

首先，根據上述統計數據計算了2012年江蘇13市科技企業孵化器的運營效率及其迭代調整值，結果如表2所示。對比初始計算結果和第一次迭代計算的結果可知，由于ZSG-SBM模型將SBM無效決策單元的孵化基金松弛量經過比例分配方法分配給其它決策單元，迭代計算的SBM效率值和ZSG-SBM效率值整體提升至0.8983和0.9040，各市科技企業孵化器運營效率也分別有不同程度的提升。說明在效率視角下，基于ZSG-SBM模型的資源分配能夠優化生產系統整體的資源配置。其次，13個城市中，南京市、蘇州市、南通市、連云港市、淮安市、揚州市、鎮江市和宿遷市等8個城市的孵化基金總額增加，增加總量為34529.1700萬元；而無錫市、徐州市、常州市、鹽城市和泰州市5個城市的孵化基金總額相應減少，減少總量同樣為34529.1700萬元。即江蘇省13市整體的孵化基金總額不變，體現出了13市科技企業孵化器在孵化基金這一要素上的競爭關系。再次，無錫市、徐州市等8個城市在第一次迭代后的SBM效率值仍未達到效率前沿，因此，需要進一步迭代計算ZSG-SBM效率值。表2后半部分的結果顯示，在進行第三次迭代計算后，13個城市的SBM效率值和ZSG-SBM效率值均提升至1.0000，到達效率前沿，因此，第三次迭代后的孵化基金總額就是江蘇13市該要素的最優配置。

表2 2012年江蘇13市科技企業孵化器運營效率迭代計算結果

最后，本文對比了2012年江蘇13市的孵化基金實際值、孵化基金效率分配值及其差額，結果見表3。其中，科技企業孵化器孵化基金分配增加的城市包括南京市、蘇州市、南通市、連云港市、淮安市、揚州市、鎮江市和宿遷市等8個城市，進一步驗證了前文的結論。8市孵化基金分配總量需增加45686.6516萬元，占江蘇省2012年孵化基金總量的21.96%，其中僅蘇州市需要調整的孵化基金就占總額的12.90%。可見，從效率視角重新調整分配各市孵化基金的投入量可以成為江蘇科技企業孵化器整體效率改善的重要途徑。另外，江蘇13個城市科技企業孵化器的孵化基金數額差異較大，實際數額最高的3個城市為無錫市(64532.9690萬元)、蘇州市(47529.6609萬元)和常州市(21677.5980萬元)，而效率分配后數額最高的3個城市應為蘇州市(74368.6563萬元)、無錫市(33486.1375萬元)和南京市(18465.4405萬元)，這說明盲目的提高孵化基金的投入反而不利于孵化器運營效率的提高，各市應根據自身規模、在孵企業數量、從業人數等情況合理分配孵化基金，以追求全省科技企業孵化器運營效率的整體提升。

表3 2012年江蘇13市科技企業孵化器孵化基金效率分配結果

3 結論

本文提出了基于零和收益的SBM效率決策方法，相比較于傳統SBM模型，該方法考慮了決策單元之間投入(產出)要素的競爭性，更加符合投入(產出)總量固定生產系統的實際生產過程，適用于該類生產系統效率評價及其資源效率分配。其次，對比分析了平均分配策略和比例分配策略對ZSG-SBM模型評價結果的影響，在選擇比例分配策略的基礎上，利用比例分配策略ZSG-SBM模型和傳統SBM模型效率度量結果的關系，推導出ZSG-SBM模型的簡化求解方法，增強了比例分配策略ZSG-SBM模型的實用性。最后，實例研究的結果也表明，基于ZSG-SBM模型的效率分配能實現系統總量固定投入(產出)要素的最優分配。本文為投入(產出)總量固定的生產系統效率評價及其資源效率分配提供了一個新的研究視角，然而，平均分配策略ZSG-SBM模型的求解及有效性尚待進一步分析。